【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第06讲《公式法与因式分解法求解一元二次方程》预习讲学案

第06讲 公式法与因式分解法求解一元二次方程

【学习目标】

1．了解公式法和因式分解法的概念、一元二次方程求根公式的推导过程，会用配方法和公式法解一元二次方程；

2．掌握运用公式法和因式分解法解一元二次方程的基本步骤；

3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，通过求根公式的推导，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【基础知识】

一．解一元二次方程-公式法

（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．

（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；

②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；

③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．

二．根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

三．解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

【考点剖析】

一．解一元二次方程-公式法（共3小题）

1．（2020秋•上海期末）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．

2．（2021秋•晋安区校级月考）解一元二次方程：x2﹣x﹣7＝0

3．（2021•越秀区校级三模）解方程：2x2+4x﹣3＝0．

二．根的判别式（共2小题）

4．（2022•西城区二模）已知关于x的一元二次方程﹣mx+m﹣5＝0．

（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；

（2）若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．

5．（2022•海淀区校级模拟）已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．

三．解一元二次方程-因式分解法（共5小题）

6．（2022•南昌模拟）解方程：x2﹣x＝0．

7．（2021秋•环江县期末）解方程：x2+6x+8＝0．

8．（2021秋•南沙区期末）解方程：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．

9．（2021秋•惠州期末）解方程：x2﹣x﹣20＝0．

10．（2022•芜湖一模）解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．

【过关检测】

一．选择题（共6小题）

1．（2022•和平区一模）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

2．（2022•双柏县模拟）已知一元二次方程x2+mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）

A．m＝0 B．m＝4 C．m＝0或m＝4 D．m＝0或m＝﹣4

3．（2022•鹤壁模拟）一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝5﹣3x的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．没有实数根

4．（2022•铜仁市模拟）已知关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，下列说法正确的是（　　）

A．方程有两个相等的实数根 

B．方程有两个不相等的实数根 

C．没有实数根 

D．无法确定

5．（2021秋•九龙县期末）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0的根．则三角形的周长（　　）

A．19 B．11或19 C．13 D．11

6．（2021秋•任丘市期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解为（　　）

A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2

二．填空题（共9小题）

7．（2022春•南关区校级月考）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　   　．

8．（2021秋•封丘县期末）方程（x﹣2）2＝2（x﹣2）的根是　   　．

9．（2022•乳山市模拟）一元二次方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解为 　   　．

10．（2022•渌口区一模）已知关于x的方程x2﹣kx+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　   　．

11．（2022春•拱墅区月考）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+4＝0有实数根，则a的取值范围为 　   　．

12．（2021秋•伊通县期末）一元二次方程3x2＝3﹣2x的根的判别式的值为 　   　．

13．（2021秋•咸丰县期末）若一元二次方程x2﹣2x﹣3a＝0无实根，则a取值范围是 　   　．

14．（2022春•温州期中）一元二次方程x2＝7x的解是 　   　．

15．（2021秋•科左中旗期末）一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是　   　．

三．解答题（共6小题）

16．（2022春•金东区期中）解方程：2x2﹣3x＝0．

17．（2020秋•伍家岗区期末）解一元二次方程：x2+4x＝﹣4．

18．（2022春•琅琊区校级月考）解一元二次方程：（x﹣1）（x﹣2）＝5．

19．（2022•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．

20．（2021秋•海淀区校级期末）解方程：x2﹣4x＝2x﹣9．

21．（2021秋•丹阳市期末）解一元二次方程：

（1）（x﹣2）2＝9；               （2）x2+2x﹣3＝0．