【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第11讲《相似多边形与相似三角形的判定》预习讲学案

第11讲 相似多边形与相似三角形的判定

【学习目标】

1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；

2、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.

3、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；

4、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.

【基础知识】

一．相似图形

（1）相似图形

我们把形状相同的图形称为相似图形．

（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：

①相似图形的形状必须完全相同；

②相似图形的大小不一定相同；

③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．

（3）相似三角形

 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．

二．相似多边形的性质

（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．

（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．

（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．

（4）相似多边形的性质为：

①对应角相等；

②对应边的比相等．

三．相似三角形的判定

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

【考点剖析】

一．相似图形（共4小题）

1．（2021秋•漳州期末）下列说法正确的是（　　）

A．任意两个菱形都相似 

B．任意两个正方形都相似 

C．任意两个等腰三角形都相似 

D．任意两个矩形都相似

2．（2021秋•汨罗市期中）用同一张底片洗出的两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图象的相似比是　   　．

3．（2020秋•邵东市期末）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是　   　．

4．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值．

二．相似多边形的性质（共3小题）

5．（2021秋•旬邑县期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．

（1）∠B＝　   　°．

（2）求边x，y的长度．

6．（2020春•海淀区校级期末）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．

7．（2020•余干县模拟）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．

三．相似三角形的判定（共7小题）

8．（2022•未央区校级开学）如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形，请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角形，并说明理由．

9．（2021秋•东昌府区校级月考）已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，CD、C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且＝，求证：△ABC∽△A′B′C′．

10．（2020秋•耒阳市期末）如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．

11．（2021秋•武功县期中）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．

12．（2020秋•金川区期末）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．

13．（2020•江西一模）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．

求证：△ABE∽△DEF．

14．（2020•余干县模拟）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．

【过关检测】

一．选择题（共6小题）

1．（2021秋•准格尔旗期末）如图，下列条件不能判定△ACD与△ABC相似的是（　　）

A． B． C．∠ADC＝∠ACB D．∠ACD＝∠B

2．（2022春•钦北区校级月考）如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE（C与E重合），当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（　　）

A．3对 B．4对 C．6对 D．8对

3．（2021秋•莲池区期末）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）

A． B． 

C． D．

4．（2021秋•滦州市期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．

5．（2021秋•三明期末）下列各组图形中，不一定相似的是（　　）

A．任意两个等腰直角三角形 

B．任意两个等边三角形 

C．任意两个矩形 

D．任意两个正方形

6．（2021秋•赞皇县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（　　）

A．甲与丙 B．甲与乙 

C．乙与丙 D．三个矩形都不相似

二．填空题（共7小题）

7．（2021秋•雁塔区校级期中）已知四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，相似比为3：4，其中四边形ABCD的周长为18cm，则四边形A′B′C′D′的周长为 　   　cm．

8．（2021秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长　   　．

9．（2021秋•金塔县期末）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝　   　时，△ABC与△DEF相似．

10．（2021秋•船营区校级期末）已知：如图，若使△ABC∽△ADE成立，则需　   　条件（只添一种即可）．

11．（2021秋•永年区期中）如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为　   　时，△ACB与△ADC相似．

12．（2021秋•秦淮区期末）将一张长方形纸片对折，若得到的小长方形与原长方形相似，则原长方形的长与宽的比是 　   　．

13．（2022•通州区一模）如图，在△ABC中，点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是 　   　（写出一个即可）．

三．解答题（共7小题）

14．（2021秋•东港区校级期末）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD＝∠CAE．

（1）请你写一个适当的条件，使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是　   　或　   　，并选择其中之一证明．

（2）由（1）能否得出其他的相似三角形？如果能，请说明理由．

15．（2020春•肇源县期末）如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．

16．（2021秋•六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1．

17．（2021秋•滨湖区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EF的长度x．

18．（2020秋•新乐市期中）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．

求证：△ABC∽△ACD．

19．（2020•宿迁模拟）求证：三边成比例的两个三角形相似．

如图：已知在△ABC和△A'B'C'中，，求证：△ABC∽△A'B'C'．

20．（2019秋•富平县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．