【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第13讲《相似三角形的性质与图形的位似》预习讲学案

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第13讲 相似三角形的性质与图形的位似
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
【基础知识】
一．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
二．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
二．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【考点剖析】
一．相似三角形的性质（共6小题）
1．（2020秋•南京期末）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是它们的中线，求证：AD：A′D′＝AB：A′B′．

【分析】根据中线的性质得到BD＝BC，B′D′＝B′C′，证明△ABD∽△A′B′D′，根据相似三角形的性质定理证明即可．
【解答】证明：∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，
∴BD＝BC，B′D′＝B′C′，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，＝＝＝，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AD：A′D′＝AB：A′B′．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2．（2020秋•渠县期末）如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．

【分析】根据相似三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，因为AF是∠BAC的平分线，所以∠BAF＝∠CAF，然后根据三角形外角的性质求得∠AGD＝∠AFC，即可判定△AGD∽△AFC，根据相似三角形的性质求得＝＝，即可求得AG：GF＝2：1．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC，
∴∠AGD＝∠AFC，
∴△AGD∽△AFC，
∴＝＝，
∴AG：GF＝2：1．
【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键．
3．（2020秋•合肥期末）如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB＝70°，根据相似三角形的性质得出＝，∠BAD＝∠CAE，求出＝，∠BAC＝∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED＝∠ACB即可．
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∵△ABD∽△ACE，
∴＝，∠BAD＝∠CAE，
∴＝，∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC∽△DAE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝70°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出△BAC∽△DAE．
4．（2020秋•台江区校级月考）如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证：＝．

【分析】由△ABC与△A′B′C′相似可得∠ABD＝∠A′B′D′，可证明△ABD∽△A′B′D，可得＝，同理可证明＝，可得出结论．
【解答】证明：∵△ABC∽A′B′C′，
∴∠ABD＝∠A′B′D′，
∵AD和A′D′是高，
∴∠ADB＝∠A′D′B′，
∴△ABD∽△A′B′D，
∴＝，
同理可得＝，
∴＝．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键．
5．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；
（2）若AP＝，求BE；
（3）若△PFD∽△BFP，求．

【分析】（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求解；
（2）首先证得△PAD≌△EQP，可以证得△BEQ是等腰直角三角形，即可求解；
（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
∵∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠FPB＝90°，
∴∠ADP＝∠FPB＝32°；
（2）过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP＝∠A＝90°，
又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，
∴△PAD≌△EQP（AAS），
∴EQ＝AP，AD＝AB＝PQ，
∴AP＝EQ＝BQ＝，
∴BE＝；
（3）∵△PFD∽△BFP，
∴＝，
∵∠A＝∠PBC，∠ADP＝∠FPB，
∴△APD∽△BFP，
∴＝，
∴AP＝BP，
∴＝．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确探究三角形相似的性质是解题的关键．
6．（2020秋•历下区期中）如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．

【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵AD＝4，CD＝2AD，
∴CD＝8，
∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，即＝＝，
解得，AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝5．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形得到对应边成比例是解题的关键．
二．位似变换（共3小题）
7．（2018秋•邵阳县期末）如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？

【分析】利用相似三角形的判定与性质得出△OAE∽△OBF，进而得出AE∥BF，再利用位似图形的定义求出即可．
【解答】解：△ACE与△BDF是位似三角形，
理由：∵AC∥BD，CE∥DF，
∴＝，＝，
∴＝，
又∵∠AOE＝∠BOF，
∴△OAE∽△OBF，
∴∠OAE＝∠OBF，
∴AE∥BF，
又∵△ACE与△BDF对应点相交于点O，
∴△ACE与△BDF是位似三角形．

【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确利用位似图形的定义得出是解题关键．
8．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．

【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用三角形面积公式可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积．
【解答】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝（）2＝，
∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4，
∵EF：FC＝1：2，
∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF，
∴S△BEF＝2，
∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式．
9．如图，AB与CD相交于点E，AC∥DB，△ACE与△BDE是位似图形吗？

【分析】利用位似图形的定义求出即可．
【解答】解：△ACE与△BDF是位似三角形，
理由：∵AC∥BD，
∴△ACE∽△BDF，
又∵△ACE与△BDF对应点相交于点E，
∴△ACE与△BDF是位似三角形．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确利用位似图形的定义得出是解题关键．
三．作图-位似变换（共3小题）
10．（2021秋•南岗区期末）在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1，画出按1：3缩小后的图形，并直接写出缩小后的图形的周长．

【分析】根据位似图形的性质即可画出矩形．
【解答】解：如图，缩小后的图形的周长为6．

【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，根据相似比为3：1，确定矩形的边长是解题的关键．
11．（2021秋•郾城区期末）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）B点的对应点B′的坐标是 　（﹣6，2）　；C点的对应点C′的坐标是 　（﹣4，﹣2）　
（3）在BC上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P′的坐标是 　（﹣2x，﹣2y）　．

【分析】（1）（2）把B、C点的横纵坐标都乘以﹣2得到B′、C′点的坐标，然后描点即可；
（3）把P点的横纵坐标都乘以﹣2得到P′点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△OB′C′为所作；

（2）B点的对应点B′的坐标是（﹣6，2）；C点的对应点C′的坐标是（﹣4，﹣2）；
（3）在BC上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
故答案为：（﹣6，2），（﹣4，﹣2）；（﹣2x，﹣2y）．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系先写出对应的坐标，然后描点画图．
12．（2021秋•槐荫区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；
（2）求出△A'B'C'的面积．

【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A′B′C′的面积．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）△A′B′C′的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×2﹣×2×4＝6．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握以原点为位似中心的对应点的坐标的关系是解决问题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022•凉州区模拟）已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝（　　）
A．2 B． C．3 D．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，
∴＝＝＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．
2．（2022•泸县一模）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝5，A'D'＝3，则△ABC与△A'B'C'面积的比是（　　）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
【分析】根据相似三角形的性质：对应中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝5，A'D'＝3，
∴两三角形的相似比为：5：3，
则△ABC与△A'B'C'的面积比是：25：9．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形性质，注意（1）相似三角形对应中线的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．（2022•大足区模拟）若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
4．（2022•滦南县模拟）如图，△ABO与△A'B'O'是以点M为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点M到点A和点A'的距离之比（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应线段的比值，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：∵△ABO与△A'B'O'是以点M为位似中心的位似图形，
∴MA：MA′＝：2＝1：2，
∴点M到点A和点A'的距离之比为：1：2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
5．（2022•成都模拟）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使它与△ABC的相似比为2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）

A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
6．（2021秋•运城期末）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长比为（　　）

A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：9
【分析】根据位似与相似的关系、相似三角形的性质解答．
【解答】解：∵OA：OA'＝1：2，
∴AC：A′C′＝1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：2，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
二．填空题（共10小题）
7．（2021秋•高阳县期末）如图，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为　42°　．

【分析】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．
【解答】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，
∴∠B＝42°，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠E．
∴∠E＝42°．
故答案是：42°．
【点评】本题考查相似三角形的性质的运用，全等三角形的对应角相等，是基础知识要熟练掌握．
8．（2022•蓬江区校级一模）两个相似三角形的面积比为4：9，其中一个三角形的周长为12cm，则另一个三角形的周长是 　18cm或8　cm．
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
∵一个三角形的周长为12cm，
设另一三角形周长为xcm，
∴12：x＝2：3或x：12＝2：3，
解得：x＝18或8，
∴另一个三角形的周长是18cm或8，
故答案为：18cm或8．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
9．（2021秋•澧县期末）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，点D为边AB的中点，点E在边AC上，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝　　．
【分析】当△ABC∽△ADE时，，代入相关数值解答．
【解答】解：当△ABC∽△ADE时，，
∵点D为边AB的中点，
∴AD＝AB＝4，
∴，即AE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
10．（2021秋•天府新区期末）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为　1：3　．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
11．（2022•乌鲁木齐一模）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应周长的比值是　3：2　．
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应周长的比值为3：2，
故答案为：3：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
12．（2022•淮安区模拟）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为　3：5　．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是9：25，
∴两个相似三角形的相似比是3：5，
∴对应边上的中线的比为3：5，
故答案为：3：5．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．
13．（2021秋•禅城区校级月考）若两个相似三角形的相似比是5：7，则它们的对应高线的比是 　5：7　．
【分析】根据似三角形对应高的比等于相似比解答．
【解答】解：两个相似三角形的相似比是5：7，
∴它们的对应高线的比是5：7，
故答案为：5：7．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．
14．（2022春•崆峒区校级月考）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A'B'CD'E，已知OA＝10cm，OA'＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A'B'CD'E'的周长比是 　1：2　．

【分析】根据已知可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2．
故答案为：1：2．
【点评】此题考查了位似图形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题关键．
15．（2021秋•兴宁市期末）如图，已知点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的动点，请你在不增加任何辅助图形与字母的情况下，补充一个条件，使图中的两个三角形是以点C为位似中心的位似图形，则可以补充的条件是 　CD：CA＝CE：CB（或CD：CE＝CA：CB，或CD：DA＝CE：BE，或DE∥AB，或∠CDE＝∠A，或∠CED＝∠B等）　．

【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
【解答】解：使图中的两个三角形是以点C为位似中心的位似图形，则可以补充的条件是：CD：CA＝CE：CB（或CD：CE＝CA：CB，或CD：DA＝CE：BE，或DE∥AB，或∠CDE＝∠A，或∠CED＝∠B等）．
故答案为：CD：CA＝CE：CB（或CD：CE＝CA：CB，或CD：DA＝CE：BE，或DE∥AB，或∠CDE＝∠A，或∠CED＝∠B等）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
16．（2021秋•揭西县期末）在平面直角坐标系中，△ABC中点A的坐标是（2，3），以原点O为位似中心把△ABC放大，使放大后的三角形与△ABC的相似比为3：1，则点A的对应点A′的坐标为 　（6，9）或（﹣6，﹣9）　．
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．
【解答】解：以原点O为位似中心，把△ABC放大，使放大后的三角形与△ABC的相似比为3：1，
则点A（2，3）的对应点A′的坐标为（6，9）或（﹣6，﹣9）．
故答案为：（6，9）或（﹣6，﹣9）．
【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
三．解答题（共6小题）
17．（2020秋•市中区期中）已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，求△A′B′C′的另两条边的长、周长及最大角的大小．
【分析】由△ABC的三边长分别为6，8，10，可判定△ABC是直角三角形，又由和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，可得相似比为1：3，则可求得另两条边的长，继而求得周长；然后由相似三角形的对应角相等，求得最大角的大小．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为6，8，10，且62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的最大角是90°，
∵和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：10：30＝1：3，
∴另两条边的长分别为：6×3＝18，8×3＝24，
∴周长为：18+24+30＝72，最大角为90°．
【点评】此题考查了相似三角形的性质以及勾股定理的逆定理．注意相似三角形的对应边成比例、对应角相等．
18．如图，△ABC与△DEF相似，∠C＝∠F＝35°，∠B＝115°，求未知边x，y的长度和∠D的度数．


【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，∠D＝∠A，
∴，
解得：x＝6，y＝3.5．
∵∠C＝35°，∠B＝115°，
∴∠D＝∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝30°．
【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
19．（2016秋•鼓楼区校级期中）如图△ABC∽△ACD，∠D＝90°，AC＝，AD＝2，求AB及BC的长．

【分析】首先利用相似三角形的对应边的比相等求得AB的长，然后利用勾股定理求得BC的长即可．
【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴，
∵AC＝，AD＝2，
∴，
解得：AB＝2.5，
∵∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠D＝90°，
∴BC＝＝．
【点评】考查了相似三角形的性质，了解相似三角形对应边的比等于相似比是解答本题的关键，难度不大．
20．（2020秋•香坊区期末）网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上．
（1）在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①；
（2）在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②；
（3）请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为　9：4　．

【分析】（1）以三角形的一个顶点为位似中心画出原图形的位似图形；
（2）以矩形一个顶点为位似中心画出原图形的位似图形；
（3）分别计算出所画图形的面积，然后计算它们的比．
【解答】解：（1）如图1，
（2）如图2，

（3）图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为9：4．
故答案为9：4．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．
21．（2021•淮南一模）平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（3，﹣4），C（6，﹣3）．
（1）画出将△ABC向上平移6个单位后得到的△A1B1C1；
（2）以点M（1，2）为位似中心，在网格中画出与△A1B1C1位似的图形△A2B2C2，且使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．

【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）延长MA1到A2使MA2＝2MA1，延长MB1到B2使MB2＝2MB1，延长MC1到C2使MC2＝2MC1，从而得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．

【点评】本题考查了作图﹣位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．也考查了平移变换．
22．（2020秋•邵阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；
（2）已知△ABC的面积为，则△A1B1C1的面积是　14　．

【分析】（1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把△ABC的面积乘以4得到△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）∵△ABC和△A1B1C1关于原点位似，
∴＝4S△ABC＝4×＝14．
故答案为14．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形