【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第14讲《特殊的平行四边形全章复习与测试》预习讲学案

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第14讲 特殊的平行四边形全章复习与测试
【学习目标】
1. 理解矩形、菱形、正方形的概念.
2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.
3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.
【基础知识】
一．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
二．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
三．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

四．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
五．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
六．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
七．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

八．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
九．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
十．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
【考点剖析】
一．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
1．（2021春•威宁县期中）如图所示，AE、BD是△ABM的高，AE、BD交于点C，且AE＝BE，BD平分∠ABM．
（1）求证：BC＝2AD；
（2）求证：AB＝AE+CE；
（3）求∠MDE．

【分析】（1）判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠EAB＝∠EBA＝45°，根据角平分线的定义求出∠ABD＝∠MBD＝22.5°，再求出∠MAE＝22.5°，然后求出∠MAB＝∠M＝∠BCE＝67.5°，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD＝MD，利用“角角边”证明△AME和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AM＝BC，即可得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得ME＝CE，再根据BM＝BE+ME，等量代换即可得证；
（3）根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】证明：（1）∵AE是△ABM的高，AE＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAB＝∠EBA＝45°，
∵BD平分∠ABM，
∴∠ABD＝∠MBD＝22.5°，
∵BD是△ABM的高，
∴∠MAE＝∠MBD＝22.5°，
∴∠MAB＝∠M＝∠BCE＝67.5°，
∴AB＝BM，
∵BD平分∠ABM，
∴AD＝MD，
在△AME和△BCE中，，
∴△AME≌△BCE（AAS），
∴AM＝BC，
∴BC＝AM＝2AD，
即BC＝2AD；
（2）∵△AME≌△BCE，
∴ME＝CE，
∵BM＝BE+ME，
∴AB＝AE+CE；
（3）解：∵DE＝AD＝MD，
∴∠MDE＝180°﹣2×67.5°＝45°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据相等的度数求出相等的角从而判断出等腰三角形和三角形全等的条件是解题的关键．
二．菱形的性质（共1小题）
2．（2019秋•普宁市期中）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，若AB＝10，AC＝12，求BD的长．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求得OA的长，在直角△AOB中利用勾股定理求得OB的长，则BD即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝6，BD＝2OB．
∴在Rt△AOB中，OB＝＝＝8，
∴BD＝2OB＝16．
【点评】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直且平分，因而边长、对角线的计算一般转化为直角三角形的边的计算．
三．菱形的判定（共1小题）
3．（2019秋•福田区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，连接CD，CE∥AB，BE∥CD，且CE＝AD．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝6，求BC的长．

【分析】（1）先证明四边形BDCE是平行四边形，得出CE＝BD，证出BD＝CD，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝BD，即可得出四边形BDCE是菱形；
（2）连接DE，由菱形的性质得出BC⊥DE，BD＝BE，OB＝OC，由线段垂直平分线的性质得出BE＝DE，证出BE＝DE＝BD，由等边三角形和菱形的性质得出∠EBC＝∠EBD＝30°，求出OE＝EB＝3，由勾股定理求出OB，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴CE＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝AD，
又∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝BD，
∴四边形BDCE是菱形；
（2）解：连接DE，如图所示：
由（1）得：四边形BDCE是菱形，
∴BC⊥DE，BD＝BE，OB＝OC，
∵EF⊥BD，点F是BD的中点，
∴BE＝DE，
∴BE＝DE＝BD，
∴∠DBE＝60°，∠EBC＝∠EBD＝30°，
∴OE＝EB＝3，
∴OB＝＝＝3，
∴BC＝2OB＝6．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．
四．菱形的判定与性质（共1小题）
4．（2021春•盐都区期中）拿出平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．如果把DC沿CB方向平行移动，▱ABCD的边、内角、对角线都随着变化．当平移DC使BC＝AB时：
（1）▱ABCD四条边的大小有什么关系？结合图形说明理由．
（2）对角线AC、BD的位置有什么关系？结合图形说明理由．

【分析】（1）根据菱形的判定定理，即可解答；
（2）根据菱形的性质即可解答．
【解答】解：（1）▱ABCD四条边相等，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴BC＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴▱ABCD四条边相等；
（2）对角线AC、BD互相垂直，
理由：由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴对角线AC、BD互相垂直．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
五．矩形的性质（共1小题）
5．（2021春•大安市期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
（1）以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 　（10，6）　；
（2）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形A1B1C1D1，则C1的坐标为 　（14，6）　，长方形A1BCD1的面积为 　36　cm2；
（3）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形A1BCD1的面积 　（﹣12t+60）cm2或（12t﹣60）cm2　（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形A1BCD1的面积是三角形FBB1的3倍？

【分析】（1）由AB＝10，BC＝6，即得C（10，6），
（2）长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，C（10，6）可得C1（14，6），根据AB＝10，AA1＝4，得A1B＝6，即得长方形A1BCD1的面积为36（cm2）．
（3）当t≤5时，长方形A1BCD1的面积为﹣12t+60（cm2），当t＞5时，长方形A1BCD1的面积为12t﹣60（cm2），由题意得：﹣12t+60＝×2t×6×3，可得t＝2．
【解答】解：（1）∵AB＝10，BC＝6，
∴C（10，6），
故答案为：（10，6）；
（2）如图：

∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，
∴AA1＝CC1＝2×2＝4，
而C（10，6），
∴C1（14，6），
∵AB＝10，AA1＝4，
∴A1B＝6，
又BC＝6，
∴长方形A1BCD1的面积为6×6＝36（cm2），
故答案为：（14，6），36；
（3）当t≤5时，如图：

∵A1B＝AB﹣AA1＝10﹣2t，
∴长方形A1BCD1的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（cm2），
当t＞5时，如图：

∵A1B＝AA1﹣AB＝2t﹣10，
∴长方形A1BCD1的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（cm2），
故答案为：（﹣12t+60）cm2或（12t﹣60）cm2；
当t≤5时，如图：

长方形A1BCD1的面积为﹣12t+60，
△FBB1面积为×2t×6，
由题意得：﹣12t+60＝×2t×6×3，
解得t＝2；
当t＞5时，如图：

同理可得：12t﹣60＝×2t×6×3，
解得t＝﹣10（舍去），
∴t＝2．
【点评】本题考查直角坐标系，涉及矩形性质，三角形面积等，解题的关键是画出图形，用含t的代数式表示相关线段的长度．
六．矩形的判定（共1小题）
6．（2021春•乾安县期中）如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】（1）由AE⊥CE于E，AF⊥CF于F可得∠AEC＝∠AFC＝90°，再由，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，能证出∠ECF＝90°，从而得证．
（2）由矩形的性质可证NE＝NC，从而可代换出内错角相等，两直线平行，又因为N是AC的中点，由三角形中位线定理相应的推论可知M是AB的中点．
（3）求出∠ACE＝∠EAC＝45°，求出AE＝CE，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）＝×180°＝90°，
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形；
（2）MN∥BC且MN＝BC；
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE＝NC，
∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN＝CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC；
（3）解：△ACB是直角三角形（∠ACB＝90°），
理由是：∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACF＝∠DCF＝45°，
∵四边形AECF是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAC＝∠ACF＝45°＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∵四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是菱形．

【点评】此题考查的知识点是矩形的判定和性质，菱形的判定及三角形的中位线定理，关键是①由已知推出四边形AECF的三个角为直角；②由矩形的性质可证NE＝NC，从而可代换出内错角相等，两直线平行，又因为N是AC的中点，由三角形中位线定理相应的推论可知M是AB的中点．
七．矩形的判定与性质（共1小题）
7．（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．

【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝＝3，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
八．正方形的性质（共1小题）
8．（2021秋•苏家屯区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，AD＝12cm，以CD为边在四边形ABCD外部作面积为169cm2的正方形CDEF，∠ABC＝90°．
（1）连接AC，求AC和CD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）连接AC，根据勾股定理得AC，再由正方形面积得CD；
（2）由勾股逆定理可证明∠CAD＝90°，由四边形ABCD的面积为AB•BC+AD•AC即可求得四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝4cm，BC＝3cm，∠ABC＝90°．
∴AC＝＝＝5cm，
∵正方形CDEF面积为169cm2，
∴CD＝＝13cm，

（2）∵AD＝12cm，且122+52＝132，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴四边形ABCD的面积为AB•BC+AD•AC＝×12×5+×3×4＝36（cm2）．

【点评】此题主要考查了勾股定理及勾股逆定理、正方形的性质，清楚勾股定理与勾股逆定理的书写过程是此题的关键．
九．正方形的判定（共1小题）
9．（2021秋•兴平市期中）已知，如图，在Rt△ABC中，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．

【分析】过E作EM⊥AB，根据角平分线的性质可得EF＝ED＝EM．再证明四边形EFDC是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDEF是正方形．
【解答】证明：过E作EM⊥AB，
∵AE平分∠CAB，
∴EF＝EM，
∵EB平分∠CBA，
∴EM＝ED，
∴EF＝ED，
∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，
∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，
∴四边形EFDC是矩形，
∵EF＝ED，
∴四边形CDEF是正方形．

【点评】此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．
一十．正方形的判定与性质（共1小题）
10．如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形．

【分析】通过证明△AEN，△DNM，△MCF，△FBE全等，先得出四边形ENMF是菱形，再证明四边形EFMN中一个内角为90°，从而得出四边形EFMN是正方形的结论．
【解答】解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【分析】利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断．
【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
2．（3分）下列性质中菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
【分析】根据菱形的性质解答即可得．
【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；
B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；
C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；
D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线是解题的关键．
3．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　）

A．4 B．4 C．3 D．5
【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解．
【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，得出△OAB为等边三角形是解题关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（　　）

A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF
【分析】当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．根据三角形中位线定理证明即可；当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，当EF＝FC，可证EF＝BF，可得四边形DBFE是菱形，由此即可判断；
【解答】解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE＝BC，EF＝AB，
∴DE＝EF，
∴四边形DBFE是菱形．
故B正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，
当EF＝FC，可证EF＝BF，可得四边形DBFE是菱形，
故C、D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
5．（3分）如图（1），小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（　　）

A． B． C． D．
【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来
【解答】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，展开得到结论．
故选：C．
【点评】此题主要考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
6．（3分）如图，直线l上有三个正方形A，B，C．若正方形A，C的面积分别为4和3，则正方形B的面积为（　　）

A．6 B．23 C．7 D．120
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠EDF＝∠HFG，然后证明△DEF≌△FGH，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【解答】解：如图，

∵A、B、C都是正方形，
∴DF＝FH，∠DFH＝90°，
∵∠DFE+∠HFG＝∠EDF+∠DFE＝90°，
∴∠EDF＝∠HFG，
在△DEF和△FGH中，
，
∴△DEF≌△FGH（AAS），
∴DE＝FG，EF＝HG，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF2＝DE2+EF2＝DE2+HG2，
∴SB＝SA+SC＝4+3＝7，
故选：C．
【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题关键是证明△DEF≌△FGH．
7．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，AE、EF为折痕，点C落在AD边上的G处，并且点B落在EG边的H处，若AB＝，∠BAE＝30°，则BC边的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，可求EC长，相加即可．
【解答】解：连接CC1．
Rt△ABE中，∠BAE＝30°，AB＝，
∴BE＝AB×tan30°＝1，AE＝2，∠AEB1＝∠AEB＝60°，
由AD∥BC，那么∠C1AE＝∠AEB＝60°，
所以△AEC1为等边三角形，
那么△CC1E也为等边三角形，
那么EC＝EC1＝AE＝2，
∴BC＝BE+EC＝3．
故选：A．

【点评】考查了翻折变换（折叠问题）和学生的逻辑思维能力，注意使用翻折前后得到的对应边相等，对应角相等这个知识点及相应的三角函数等知识．
8．（3分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB＝2，∠A＝120°时，AC等于（　　）

A． B． C． D．2
【分析】首先连接AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB＝2，∠A＝120°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案．
【解答】解：连接AC，
∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，
∴AB＝BC，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2．
故选：D．

【点评】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题能证得△ABC是等边三角形是解此题的关键．
9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝70°，则∠ACD的大小为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据菱形的对角相等的性质求得∠BCD的度数，然后利用菱形的对角线平分一组对角即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AC平分∠BAD和∠BCD，
∵∠BAD＝70°，
∴∠BCD＝70°，
∴∠ACD＝∠BCD＝35°，
故选：B．
【点评】考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角相等，对角线平分一组对角，难度不大．
10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为3，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分，则该矩形的面积是　24或40　．
【分析】矩形的四个角都是直角，内角平分线，可组成等腰直角三角形，因此矩形的宽可有两种情况．
【解答】解：∵矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分，
∴矩形的长为8，宽为5或3．
∴面积为40或24．
故答案为：40或24．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形的四个角都是直角，以及等腰直角三角形的性质．
12．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是　4　．

【分析】在Rt△AOD中求出AD的长，再由菱形的四边形等，可得菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC＝3，DO＝BD＝2，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝＝，
∴菱形ABCD的周长为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
13．（3分）在平行四边形ABCD中，请你添加一个条件，使它成为矩形，则你添加的条件是　∠A＝90°　．
【分析】此题属于开放题；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可添加∠A＝90°；根据对角线相等的平行四边形是矩形，可添加AC＝BD．
【解答】解：答案不唯一，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴可添加：∠A＝90°、AC＝BD等．
故答案为：∠A＝90°．
【点评】此题考查了矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．解题的关键是注意添加自己最熟悉的判定方法．
14．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是　1　．

【分析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于△BOC面积．
【解答】解：由题意可知
△DEO≌△BFO，
∴S△DEO＝S△BFO，
阴影面积＝三角形BOC面积＝×2×1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，不是很难，会把两个阴影面积转化到一个图形中去．
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：　AC＝BD或AB⊥BC　，使得该菱形为正方形．

【分析】根据正方形判定定理进行分析．
【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC．
【点评】本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为　5　．

【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，由勾股定理可求AD＝CD＝5，再根据平行四边形的判定定理得四边形OCED为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形OCED是矩形，则该矩形的对角线相等，即CD＝OE＝5．
【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，
∴∠AOD＝90°，
∴AD＝＝5＝CD
∵DE∥AC，CE∥BD
∴四边形OCED为平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形OCED为矩形
∴CD＝OE＝5
故答案为：5
【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
17．（3分）如图，线段AB⊥BC，以C为圆心，BA为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是 　有一个角是直角的平行四边形是矩形　．

【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论．
【解答】解：∵AB＝CD，CB＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边相等的四边形是平行四边形），
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点评】此题考查矩形的判定，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边形ABCD＝18，则BD的最小值为　6　．

【分析】由勾股定理可得AB2+AD2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，由S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，可得18＝+S△BCD，即当S△BCD值最大时，BD最小，则可求BD的最小值．
【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，
∴2AB2＝BD2，
∵S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
∴18＝+S△BCD，
∴当S△BCD值最大时，BD最小，
∵（CD﹣BD）2≥0
∴CD2+BD2≥2BD×CD
∴BD×CD≤
∴S△BCD≤
∴当S△BCD＝时，BD的长度最小，
∴18＝
∴BD＝6
故答案为：6
【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练运用完全平方公式是本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（4分）已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

【分析】先根据题中已知条件判定四边形AEDF是平行四边形，然后再推出一组邻边相等．
【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形．
【点评】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
20．（5分）如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于O，∠BAD＝60°．
（1）求对角线AC，BD的长；
（2）求菱形的面积．

【分析】利用已知条件易求BD的长，再由勾股定理可求出AO的长，进而可求对角线AC的长，利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AB＝AD＝10cm，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝10cm，
∵AC平分∠BAD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝30°，BO＝BD＝5，
在Rt△AOB中，AO＝＝5，
∴AC＝2AO＝10（cm）
（2）菱形的面积为：＝50（cm2）．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．
21．（5分）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于点E．
（1）请判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝6，BC＝9，求四边形OCED的面积．

【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，证得四边形CODE是平行四边形，由矩形的性质，易得OC＝OD，即可判定四边形CODE是菱形，
（2）由矩形的性质求出△OCD的面积，再由菱形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）四边形OCED是菱形，理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∵四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC＝BO＝OD．
∴四边形OCED是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝9，
∴△OCD的面积＝矩形ABCD的面积＝×AB×BC＝×6×9＝，
∵四边形OCED是菱形，
∴四边形OCED的面积＝2△OCD的面积＝27．
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形，属于中考常考题型．
22．（8分）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．
求证：四边形BEDF是正方形．

【分析】由题意知，四边形BEDF是矩形，只要证明有一组邻边相等即可得到，四边形BEDF是正方形．
【解答】证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°．
∴四边形BEDF为矩形．
又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DF＝DE．
∴矩形BEDF为正方形．

【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
23．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE＝DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF＝∠FDA，利用等角对等边，可得AE＝DF，从而可证▱AEDF实菱形．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF，
同理∠DAE＝∠FDA，
∵AD＝DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE＝DF；

（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF＝∠FDA．
∴AF＝DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．
【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．
24．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试确定AD与EF的位置关系，并说明理由．

【分析】要证AD⊥EF，需证四边形AEDF是菱形．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，先证四边形AEDF是平行四边形，再证AF＝DF即可．
【解答】解：AD⊥EF．
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠1＝∠ADF，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠ADF．
∴AF＝DF．
∴四边形AEDF是菱形．
∴AD⊥EF．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，熟练地应用菱形性质是解题关键．
25．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC＝OD，再根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形．
（2）方法一：解直角三角形求出BC＝2．AB＝2，根据矩形和菱形的性质得出，S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，即可求出菱形的面积．
方法二：解直角三角形求出BC＝2．AB＝DC＝2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF＝BC＝1，OE＝2OF＝2，即可求出菱形的面积．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC＝OD，
∴▱OCED是菱形；
（2）方法一：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，
∴BC＝2，AB＝2，
∵S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，
∴S菱形OCED＝×2×2＝2．
方法二：解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，
∴BC＝2，
∴AB＝DC＝2，
如图，连接OE，交CD于点F，

∵四边形OCED为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF＝BC＝1，
∴OE＝2OF＝2，
∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×2×2＝2．
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．