【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第16讲《图形的相似全章复习与测试》预习讲学案

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第16讲 图形的相似全章复习与测试
【学习目标】
（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念；
（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方；
（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；
（4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；
【基础知识】
一．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．
②合比性质．若＝，则＝．
③分比性质．若＝，则＝．
④合分比性质．若＝，则＝．
⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．
二．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
三．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
四．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
五．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
六．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
七．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
八．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
九．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
十．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
十一．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
十二．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【考点剖析】
一．比例的性质（共1小题）
1．（2022•鼓楼区二模）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答．
【解答】解：A．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；
B．因为＝，所以mn＝20，故此选项不符合题意；
C．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；
D．因为＝，所以4m＝5n，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
二．比例线段（共1小题）
2．（2021秋•覃塘区期末）已知四条线段2，3，4，x成比例，则x的值不可能是（　　）
A．6 B． C．8 D．
【分析】根据题意列出比例式子，再根据比例的基本性质，易求x．
【解答】解：∵2，3，4，x成比例，
∴2x＝3×4或3x＝2×4或4x＝2×3，
解得x＝6或x＝或x＝．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是利用了两内项之积等于两外项之积．
三．平行线分线段成比例（共2小题）
3．（2022•江安县模拟）如图，AF∥BE∥CD，AB＝6，BC＝1.8，EF＝5，则线段FD的长（　　）

A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，则可求出ED的长，然后计算FE+ED即可．
【解答】解：∵AF∥BE∥CD，AB＝6，BC＝1.8，EF＝5，
∴，即，
∴ED＝1.5，
∴FD＝FE+ED＝5+1.5＝6.5．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
4．（2022•广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
又∵DG＝2，DF＝10，＝，
∴＝，
∴AG＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
四．相似图形（共1小题）
5．（2022•汝阳县一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（　　）
A．关于直线对称的两个图形
B．两个正三角形
C．两个等腰三角形
D．两个半径不等的圆
【分析】根据相似图形的概念判断即可．
【解答】解：A、关于直线对称的两个图形全等，
∴它们是相似图形，本选项不符合题意；
B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴它们是相似图形，本选项不符合题意；
C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
∴它们不一定是相似图形，本选项符合题意；
D、两个半径不等的圆是相似图形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
五．相似多边形的性质（共1小题）
6．（2021秋•泸西县期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B等于（　　）


A．55° B．65° C．75° D．85°
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，
∴∠E＝∠A＝85°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠C＝360°﹣85°﹣120°﹣90°＝65°，
故选：B．
【点评】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等．
六．相似三角形的性质（共1小题）
7．（2022•沈阳模拟）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．
（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．

【分析】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明；
（2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CG＝CD，
∴AB＝CG，
∴四边形ABCG是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝，
即BE＝＝，
∵△AEB∽△DEC，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴AG＝BC＝3．
【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．
七．相似三角形的判定（共1小题）
8．（2022春•新罗区校级月考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．

【分析】利用两边及其夹角法即可作出证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD，
∴，
又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，
∴△ADQ∽△QCP．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题，熟练掌握三角形相似的三个判定定理是解答本题的关键．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022•鄂州一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．
（1）若FD＝3FB，求的值；
（2）若，，求S△FDC的值．

【分析】（1）证明∠DCB＝∠BDF，再由∠F＝∠F，得到△BDF∽△DCF，即可解决问题；
（2）证明△BDC∽△BCA，得到＝＝，根据△BDF∽△DCF计算，求得S△FDC．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ABC＝∠DCB+∠ABC，
∴∠A＝∠DCB，
∵E是AC的中点，
∴ED＝EA，
∴∠A＝∠EDA，
∵∠BDF＝∠EDA，
∴∠DCB＝∠BDF，
∵∠F＝∠F，
∴△BDF∽△DCF，
∴＝＝；
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，
∴S△ABC＝×2×＝15，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵∠A＝∠DCB，
∴△BDC∽△CDA，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴S△CBD＝3，
∵△BDF∽△DCF，
∴＝（）2＝，
∴S△FDC＝4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，同时还渗透了对直角三角形的性质等几何知识的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
九．相似三角形的应用（共1小题）
10．（2022•新城区模拟）阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG＝2米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF＝9米，点D、B、F、G在一条直线上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教学楼CD的高度为16米，请你求出假山的高度AB．

【分析】依据△GEF∽△GCD，可得＝，进而得出BD＝9米．再根据△FAB∽△FCD，可得＝，进而得出假山的高度AB为8米．
【解答】解：∵CD⊥DG，EF⊥DG，
∴EF∥CD，
∴△GEF∽△GCD，
∴＝，即＝，
解得BD＝9．
∵CD⊥DG，AB⊥DG，
∴AB∥CD，
∴△FAB∽△FCD，
∴＝，即＝，
解得AB＝8，
∴假山的高度AB为8米．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
一十．作图-相似变换（共1小题）
11．（2022•延平区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝4．
（1）在AC上求作一点D，连接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）点M，N分别是BD、BC中点，若AD＝1，求的值．

【分析】（1）利用尺规作图作∠ABD＝∠C即可；
（2）由M，N分别是BD，BC的中点知AM、AN分别是△ABD，△ABC的中线，根据相似三角形的性质可得，代入计算即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求作的点；

（2）连接AM、AN，
∵M，N分别是BD，BC的中点，
∴AM、AN分别是△ABD，△ABC的中线，
∵△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB＝2，
∴．
【点评】本题主要考查作图—相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
一十一．位似变换（共1小题）
12．（2020秋•兴化市期末）如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．

（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍；
（2）分别写出A，B两点的对应点A'，B'的坐标．
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形得出对应点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△OA′B′，即为所求；
（2）A'的坐标是（﹣6，2），B'的坐标是（﹣4，﹣2）．

【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
一十二．作图-位似变换（共1小题）
13．（2022•广西模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣5）、B（﹣3，﹣1）、C（﹣5，﹣4）．
（1）画出将△ABC向上平移6个单位长度后对应的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，为位似比，在第一象限内，画出△ABC的位似图形△A2B2C2；
（3）点M是BC的中点，请直接写出点M分别在△A1B1C1和△A2B2C2中的对应点M1和M2的坐标．

【分析】（1）根据平移的性质即可作图．
（2）根据位似图形的性质即可作图．
（3）根据平移的性质和位似图形的性质即可解答．
【解答】解：（1）作图如图，△A1B1C1即为所求．

（2）作图如图，△A2B2C2即为所求．

（3）∵点M是BC的中点，
∴点M的坐标为（﹣4，﹣），
向上平移6个单位长度可得M1（﹣4，），
根据位似的性质，横纵坐标都变为原来的，且在第一象限，
∴M2（2，）．
【点评】本题考查平移和位似的图形变换及性质，根据要求作出图象是解题的关键．
【过关检测】

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．
【解答】解：A、＝，则5y＝6x，故此选项错误；
B、＝，则5x＝6y，故此选项正确；
C、＝，则5y＝6x，故此选项错误；
D、＝，则xy＝30，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
2．（3分）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是（　　）
A．12m B．11m C．10m D．9m
【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．
【解答】解：设旗杆的高度为x，
根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：，
∴x＝＝12m，
∴旗杆的高度是12m．
故选：A．
【点评】解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．
3．（3分）已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（　　）
A．1cm B．10cm C．cm D．cm
【分析】根据第四比例项的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．
【解答】解：∵线段d是线段a、b、c的第四比例项，
∴a：b＝c：d
∴d＝
∵a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，
∴d＝＝＝10cm
∴线段a，b，c的第四比例项d是10cm．
故选：B．
【点评】熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解．
4．（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于（　　）

A．60m B．40m C．30m D．20m
【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
∵∠AEB＝∠DEC，
∴△BAE∽△CDE，
∴
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴
解得：AB＝40，
故选：B．
【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
5．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
6．（3分）能判定△ABC∽△DEF的条件是（　　）
A．＝ B．＝，∠A＝∠F
C．＝，∠B＝∠E D．＝，∠A＝∠D
【分析】根据相似三角形的判定条件：两组对应边成比例，且其夹角相等的两个三角形的相似，进行判断即可．
【解答】解：A、当时，不能判定△ABC∽△DEF，故A不符合题意；
B、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故B不符合题意；
C、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故C不符合题意；
D、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两组对应边成比例，且其夹角相等的两个三角形的相似．
7．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）

A．6 B．6.25 C．6.5 D．7
【分析】首先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA＝OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO＝CO，
∵AC＝＝10，
∴AO＝AC＝5，
∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝＝6.25．
故选：B．

【点评】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
9．（3分）如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F．已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，
当△PAE∽△PBC时，＝，即＝，
解得，x＝，
当△PAE∽△CBP时，＝，即＝，
解得，x＝2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝　4：3　．

【分析】根据位似图形具有相似三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，
∴AO：OD的值为：4：3，
故答案为：4：3．
【点评】本题考查了位似变换，正确掌握位似变换的性质是解题的关键．
12．（3分）若＝＝＝2，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　8　．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：＝＝＝2，
由等比性质，得，
a+c+e＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了比例等性质，利用了等比性质．
13．（3分）如图，点P在△ABC的边AC上，请添加一个条件 　∠ABP＝∠C（答案不唯一）　使得△ABP∽△ACB．

【分析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A为公共角，再有一对应角相等即可．
【解答】解：在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对应角相等即可，即∠ABP＝∠C，
故答案为：∠ABP＝∠C（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
14．（3分）如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 　（5﹣5）　cm．

【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，
故答案为：（5﹣5）．
【点评】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
15．（3分）如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 　6　m．

【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．
【解答】解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，
∴EF＝＝＝6（m）．
答：电线杆的高度是6m．
故答案为：6．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解答时利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比解题．
16．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　2或12　．

【分析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可．
【解答】解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
当时，△ABP∽△PDC，即；
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12，
BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
故答案为：2或12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
17．（3分）如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为　　m．

【分析】先求出点C到AB边的距离，再根据相似三角形△ACB和△DCE对应高的比等于相似比列式求解即可．
【解答】解：∵一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2，
∴另一直角边长为：＝2（m），
则斜边长为：＝2.5，
设点C到AB的距离为h，
则S△ABC＝×2.5h＝1.5，
解得：h＝1.2，
∵正方形GFDE的边DE∥GF，
∴△ACB∽△DCE，
＝，
即＝，
解得：x＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，相似三角形对应高的比等于相似比的性质，读懂题目信息并熟记性质是解题的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝　s或　s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．

【分析】先用t表示出AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t，再利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到当＝时，△BPC∽△BAC或当＝时，△BPC∽△BCA，然后利用比例线段得到关于t的方程，再解方程求出t即可．
【解答】解：如图，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t，
∵∠PBC＝∠ABC，
∴当＝时，△BPC∽△BAC，即＝，解得t＝，
当＝时，△BPC∽△BCA，即＝，解得t＝，
即当t＝s或s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．
故答案为s或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意分类讨论思想的应用．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2
（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．

【分析】（1）在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，然后在Rt△PHC中表示出PH的长度，根据面积为3.6cm2，列方程求解．
（2）分∠PQC＝90°与∠CPQ＝90°两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，
CQ＝tcm，
过点P作PH⊥BC于点H，
则PH＝（10﹣2t）cm，
根据题意，得 t•（10﹣2t）＝3.6，
解得：t1＝2，t2＝3．
答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．

（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，
∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴＝，即＝，解得t＝（秒）；
如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，
∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴＝，即＝，解得t＝（秒）．
综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答（2）时要注意分类讨论．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝2，CD＝4．求BD的长．

【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD＝∠B，又由∠CDB＝∠ACB＝90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∵AD＝2，CD＝4，
∴＝，
∴BD＝8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；
（2）请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1；
（3）点P（a，b）为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为　（2a+2，2b）或（﹣2a﹣2，﹣2b）　．

【分析】（1）根据平移的规律，将点O、A、B向右平移1个单位，得到O1、A1、B1，连接O1、A1、B1即可；
（2）连接OA1并延长到A2，使OA2＝2OA1，连接OB1并延长到B2，使OB2＝2OB1，连接OO1并延长到O2，使OO2＝2OO1，然后顺次连接即可；
（3）分别根据平移和位似变换坐标的变化规律得出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△O1A1B1即为所求作三角形；

（2）如图，△O2A2B2即为所求作三角形；
（3）点P（a，b）为△OAB内一点，位似变换后的对应点P′的坐标为（2a+2，2b）或（﹣2a﹣2，﹣2b），
故答案为：（2a+2，2b）或（﹣2a﹣2，﹣2b）．
【点评】本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．
22．（8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD；∠ADC＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．

【分析】（1）证明∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠ACB＝90，即可解决问题；
（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠EAC＝∠ECA，根据角平分线的定义，可得∠CAD＝∠CAB，根据平行线的判定，可得答案．
【解答】证明：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）CE∥AD；
∵E是AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD＝∠CAB，
∴CAD＝∠ECA，
∴CE∥AD．
【点评】该题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．
23．（8分）如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．

【分析】（1）由DF与AB垂直，AD、BE为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）DF2＝FM•FN，理由为：由（1）相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到三角形BFD与三角形DFA相似，得比例，等量代换即可得证；
（3）首先证明FB＝2FM，FD＝4FM，根据（2）的结论求出FM的长，进而求出FB，FD，以及FN的长，再利用锐角三角函数定义求出AF，以及AB的长，利用勾股定理求出BD的长，即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，AD、BE是△ABC的高，
∴∠BFD＝∠AFD＝∠AEB＝∠ADB＝90°，
∴∠FBM＝90°﹣∠BAC，∠N＝90°﹣∠BAC，
∴∠FBM＝∠N，
∵∠FBM＝∠N，∠BFD＝∠AFD，
∴△BFM∽△NFA；
（2）解：DF2＝FM•FN，理由为：
证明：∵△BFM∽△NFA，
∴＝，
∴FM•FN＝FB•FA，
∵∠FBD+∠FDB＝90°，∠FBD+∠FAD＝90°，
∴∠FDB＝∠FAD，
∵∠BFD＝∠AFD，∠FDB＝∠FAD，
∴△BFD∽△DFA，
∴＝，即DF2＝FB•FA，
∴DF2＝FM•FN；
（3）解：∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB＝∠BAC+∠N＝90°，
∴∠FDB＝∠N＝∠FBM，易证△ENM∽△FBM∽△FDB，
∴＝＝，
∴FB＝2FM，FD＝2FB＝4FM，
∵DF2＝FM•FN，
∴（4FM）2＝FM•（4FM+12），
解得：FM＝1或FM＝0（舍去），
∴FB＝2，FD＝4，FN＝FD+DN＝16，
∵＝tanN＝，
∴AF＝8，AB＝AF+BF＝10，
在Rt△BFD中，BD＝＝＝2，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴AC2﹣（AC﹣2）2＝102﹣（2）2，
解得：AC＝5．
【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．（10分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足．

（1）已知：∠APC＝90°，求证：△ABP∽△PDC．
（2）已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值．
（3）已知：AB＝2，CD＝3，点P是直线BD上的一动点，设PB＝x，BD＝y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式．
【分析】（1）由于AB⊥BD，CD⊥BD，可知∠B与∠D为直角，又∠APC＝90°，则∠APB+∠CPD＝90°，可以得出∠A＝∠CPD，从而证出△ABP∽△PDC．
（2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），然后分两种情况讨论：①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出比例式，从而求出线段PB的值．
（3）分三种情形情况讨论：当点P在线段BD时①△ABP∽△PDC；②△ABP∽△CDP．据此，即可利用相似三角形的性质列出含x、y的比例式，从而求出y关于x的函数解析式，当点P在线段BD的延长线上，当点P在线段DB的延长线上时，分解求解即可；
【解答】解：（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°①，
∴∠A+∠APB＝90°，
又∵∠APB+∠CPD＝90°，
∴∠A＝∠CPD②，
∴由①②，△ABP∽△PDC．
（2）设PB＝x，则PD为（7﹣x），
①△ABP∽△PDC时，
，
即，
解得，（x﹣1）（x﹣6）＝0，
x＝1或x＝6，
②△ABP∽△CDP．
，
即，
解得x＝．
综上所述，PB＝1，或PB＝6，或PB＝．
（3）当P 线段BD上时①△ABP∽△PDC时，
，
即，
整理得，y＝x+；
②△ABP∽△CDP．
，

整理得，y＝x．
当点P在在BD的延长线上时，③△ABP∽△PDC时，
，
∵PD＝PB﹣BD＝x﹣y，
，
y＝x﹣．
当P在DB的延长线时，④△PBA∽△CDP，＝，
∴＝，
∴y＝﹣x．
⑤△PAB∽△PCD时，＝，
∴＝，
∴y＝x．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三道题步步深入，前一道题为后面的题提供思路，要注意这一点，同时题目也体现了分类讨论思想的重要作用．