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【暑假提升】北师大版数学四年级（四升五）暑假预习：第3单元《倍数和因数》讲义（知识点+例题+练习）（含解析）
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这是一份【暑假提升】北师大版数学四年级（四升五）暑假预习：第3单元《倍数和因数》讲义（知识点+例题+练习）（含解析），共14页。试卷主要包含了偶数和奇数的定义，找因数，找质数，数的奇偶性，11不能被2整除等内容，欢迎下载使用。
北师大版五年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义
第3单元 倍数和因数
在认识数的时候，同学们最先了解的是整数和小数，如今随着学习内容的深入，还需要全面掌握其他数的概念和运用。
1、认识自然数和整数，联系乘法认识倍数与因数
（1）像0，1，2，3，4，5，6，…这样的数是自然数。
（2）像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数是整数。
（3）我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。
（4）倍数与因数是相互依存的关系，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
（5）补充知识点：
一个数的倍数的个数是无限的。因数个数是有限的。
一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（6）2，5的倍数的特征
2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。
5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。
2、偶数和奇数的定义
（1）是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
（2）能判断一个数是不是2或5的倍数。能判断一个非零自然数是奇数或偶数。
（3）补充知识点：既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
（4）3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（5）同时是2和3的倍数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2的倍数，又是3的倍数。
（6）同时是3和5的倍数的特征：个位上的数是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是3的倍数，又是5的倍数。
（7）同时是2，3和5的倍数的特征：个位上的数是0，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2和5的倍数，又是3的倍数。
（8）6的倍数的特征：既是2的倍数又是3的倍数的数。
（9）9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
3、找因数
（1）在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。方法：运用乘法算式，思考：哪两个数相乘等于这个自然数。
（2）补充知识点：一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
4、找质数
（1）理解质数与合数的意义。
一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。
1既不是质数也不是合数。
（2）判断一个数是质数还是合数的方法：
一般来说，首先可以用“2，5，3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2，5，3；如果还无法判断，则可以用7，11等比较小的质数去试除，看有没有因数7，11等。只要找到一个1和它本身以外的因数，就能肯定这个数是合数。如果除了1和它本身找不到其他因数，这个数就是质数。
5、数的奇偶性
（1）运用“列表”“画示意图”等方法发现规律：
小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。通过“列表”“画示意图”的方法会发现“奇数次在北岸，偶数次在南岸”的规律。
（2）能够运用上面发现的数的奇偶性解决生活中的一些简单问题。
（3）通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律
偶数＋偶数=偶数 奇数＋奇数=偶数
偶数＋奇数=奇数 偶数－偶数=偶数
奇数－奇数=偶数 偶数－奇数=奇数
奇数－偶数=奇数 偶数 × 偶数=偶数
偶数 × 奇数=偶数 奇数 × 奇数=奇数
【例1】李阿姨到文具店买书包，书包的单价已看不清楚，他买了3个书包，售货员说应付140元，李阿姨认为不对。你能解释这是为什么吗？
【分析】根据3的倍数的特征进行判断，即看各位数字和是不是3的倍数。
【解答】解：1+4+0＝5，5不是3的倍数，所以140不是3的倍数，所以李阿姨的观点是正确的。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
【例2】42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程）
【分析】写出两个整数的积等于42的所有乘法算式，偶数因数作每组人数，另一个因数作组数，组数不能为1。
【解答】解：两个整数的积等于42，偶数因数作每组人数，另一个因数作组数，组数不能为1。
1×42＝42
偶数因数42作每组人数，组数为1，不符合题目组数大于1的要求。
2×21＝42
3×14＝42
6×7＝42
答：可以分成21组，每组2人；
也可以分成3组，每组14人；
还可以分成7组，每组6人。
【点评】此题重点在于找出42的所有因数，并判断因数的奇偶性。
【例3】妈妈给小明买了3件相同价格的夏装，收银员说：应付245元。对吗？为什么？请你说明理由。
【分析】根据3的倍数的特征，各位上的数字之和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数；依此即可判断。
【解答】解：不对。
因为3件夏装价格相同，应付的钱数应是3的倍数，245不是3的倍数，所以不对。
【点评】本题主要考查了3的倍数特征及实际应用。
【例4】将下面各数分别填入到指定的圈里。
【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数），一个数除了1和它本身还有其它因数，这个数叫作合数。
【解答】解：
【点评】本题考查了质数，合数，奇数，偶数的区分。
【例5】李老师的车牌号码从左往右的数字依次是：①10以内最大的质数；②既是奇数又是合数的数；③既是质数又是偶数；④既不是质数也不是合数的奇数；⑤最小的合数。你知道李老师车牌号的数字部分是多少吗？
【分析】10以内最大的质数是7；既是奇数又是合数的一位数是9；既是质数又是偶数的数是2；既不是质数也不是合数的奇数是1；最小的合数是4；据此解答。
【解答】解：①10以内最大的质数是：7；
②既是奇数又是合数的数是：9；
③既是质数又是偶数的数是：2；
④既不是质数也不是合数的奇数是：1；
⑤最小的合数：是4；
李老师车牌号的数字部分是：79214。
【点评】本题关键是理解质数、奇数、偶数、合数等概念，熟记这些数的特点。
一．选择题（共8小题）
1．如果两个数的积是偶数，那么这两个数（ ）
A．都是偶数 B．都是奇数
C．至少有一个偶数
2．一个两位数是2的倍数，这个两位数最大可能是（ ）。
A．90 B．99 C．98 D．100
3．要使4□5这个三位数是3的倍数，则□里最大可以填（ ）
A．3 B．6 C．9
4．一个数的最大因数与最小倍数相比较，（ ）。
A．相等 B．倍数小于因数
C．无法确定 D．倍数大于因数
5．两个质数的和是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．合数
6．在□里填上一个数字，使7□2是3的倍数，有（ ）种填法。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．把24个苹果放在两个筐里，可以让每个筐里的苹果同样多。下边多少个苹果也可以使每个筐里放的苹果同样多？（ ）
A．19个 B．11个 C．16个
8．11+23+35+51+89+225+4999+6888的和是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．无法判断
二．填空题（共10小题）
9．24的因数有 。在这些数中，奇数有 ，质数有 。
10．2□6是一个三位数，在□中填一个质数，使这个三位数是3的倍数，那么□里应填 。
11．因为18÷6＝3。所以 和 是 的因数， 是 和 的倍数。
12．一个数只有1和它本身两个 ，这个数叫作质数。
13．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是 ，最小倍数是 ，108的所有因数中，质数有 个。
14．4□，□中最大填 时，这个数能被3整除，这个数的因数有 。
15．有一个三位数45□，如果它是3的倍数，□里可以填 （填出所有的可能性），如果它同时也是2、5的倍数，□里可以填 。
16．请列举出三个5的倍数： 、 、 。5的倍数中最小的是 。
17．在1，2，4，1l，18，23，35中，奇数有 ，偶数有 ，质数有 ，合数有 。
18．三个连续奇数的和是51，这三个奇数分别是 、 和 。
三．判断题（共5小题）
19．5个连续奇数的和一定是5的倍数。 （判断对错）
20．用数字5、7、6组成的三位数一定都是3的倍数。 （判断对错）
21．36的最大因数是它本身，它的最小倍数也是它本身。 （判断对错）
22．如果两个数互质，那么这两个数一定都是质数。 （判断对错）
23．根据24÷5＝4.8.我们就可以说24是倍数，5是因数。 （判断对错）
四．操作题（共2小题）
24．将各队的球衣找出来
25．把2的倍数涂上红色。
1328，561，720，818，3114，8885。
五．应用题（共6小题）
26．幼儿园小班的人数在10到20人之间，刘阿姨拿了48颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？
27．有42个同学表演团体操，每排的人数相同，有几种站法？（每排至少2人，至少2排）
28．三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？
29．明明、丽丽、欣欣分别在朋友圈集赞。一段时间后，三人获得的点赞数为连续偶数。已知他们集赞的总数比集赞最少的欣欣多18个赞。他们一共集了多少个赞？
30．一个两位数，交换个位与十位上的数字所得的两位数仍是质数。这样的两位数有多少个？
31．4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据奇数和偶数的性质：奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，因此要使积是偶数，那么两个因数中要么都是偶数，要么至少有一个偶数。
【解答】解：如果两个数的积是偶数，那么这两个数要么都是偶数，要么至少有一个偶数。
故选：C。
【点评】此题考查了奇数和偶数的性质。
2．【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数，从所有的两位数中找出最大的且是2的倍数的数即可。
【解答】解：一个两位数是2的倍数，个位上最大应是8，十位上最大是9，所以这个两位数最大可能是98。
故选：C。
【点评】熟练掌握2的倍数的特征是解决此题的关键。
3．【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数字和是3的倍数。
【解答】解：4+5+9＝18
18是3的倍数，所以最大能填9。
故选：C。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
4．【分析】一个数的因数是有限的，它的最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，找不到最大的倍数。
【解答】解：由分析可知：一个数最大的因数与最小的倍数相等。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数的意义，明确：一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身。
5．【分析】根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数。
【解答】解：例如：2、3、5是质数。
2+3＝5 2+5＝7，5和7既是奇数也是质数，3+5＝8，8是偶数，也是合数。
两个质数的和是奇数或偶数。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解奇数、偶数、质数和合数的意义，掌握奇数和质数的区别，偶数与合数的区别。
6．【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。
【解答】解：7+2＝9
所以□里可以填0、3、6、9共4种填法。
故选：D。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
7．【分析】由题意可知，“下边多少个苹果也可以使每个筐里放的苹果同样多”，选项中苹果的个数能否被2整除，由此进行解答即可。
【解答】解：19、11不能被2整除。
16能被2整除。
故选：C。
【点评】本题考查了能被2整除的数的特征。
8．【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，据此判断。
【解答】解：只需算出个位上数字的和即可：1+3+5+1+9+5+9+8＝41，41不是2的倍数；
所以11+23+35+51+89+225+4999+6888的和是奇数。
故选：A。
【点评】本题主要考查了奇偶数的灵活运用能力。
二．填空题（共10小题）
9．【分析】利用找一个因数的方法找出24的所有因数；然后根据在自然数中，不是2的倍数的数是奇数，只有1和它本身两个因数的数是质数，由此即可得到答案。
【解答】解：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，在这些因数中，奇数有1、3，质数有2、3。
故答案为：1、2、3、4、6、8、12、24；1、3；2、3。
【点评】此题考查了找一个因数的方法和奇数、质数的含义。
10．【分析】一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，除了1和它本身不再有其它因数的数是质数。
【解答】解：2+6＝8
8+1＝9
8+4＝12
8+7＝15
所以在□中填一个质数，使这个三位数是3的倍数，1，4都不是质数，所以□里只能填7。
故答案为：7。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征以及质数的特征是解决此题的关键。
11．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。
【解答】解：因为18÷6＝3。所以3和6是18的因数，18是3和6的倍数。
故答案为：3，6，18；18，3，6。
【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在。
12．【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，则最小的质数是2。
【解答】解：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
故答案为：因数。
【点评】本题考查学生对质数意义的理解与应用。
13．【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。108分解质因数是：108＝2×2×3×3×3，所以108的所有因数中，质数有2和3。
【解答】解：“108”的最大因数是108，最小倍数是108，108的所有因数中，质数有2个。
故答案为：108，108，2。
【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数和倍数的方法，以及质数的意义。
14．【分析】3的倍数特征：把一个数的各位上的数相加的和，如果相加的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。据此可知，要使4□能被3整中可以填2、5、8，最大填8。这个数就是48。根据因数的定义可知，1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝48，则48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
【解答】解：4□，□中最大填48时这个数能被3整除，这个数的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
故答案为：48，1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
【点评】本题考查3的倍数特征以及因数的定义。找因数时，从最小的自然数从1找起，一直找到它本身，一对对找。
15．【分析】根据2、3、5的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，同时是2、3、5的倍数的特征个位上必须是0，且各位上的数字之和是3的倍数。
【解答】解：一个三位数45□，如果它是3的倍数，□可以可以填0、3、6、9；
一个三位数45□，如果它是3的倍数，同时也是2、5的倍数，□里可以填 0。
故答案为：0、3、6、9，0。
【点评】此题考查的目的是掌握2、3、5的倍数的特征。
16．【分析】末尾是0或者5的数是5的倍数。一个数的最小倍数是它本身。据此解答。
【解答】解：5的倍数有：5、10、15。（答案不唯一）
5的倍数中最小的是5。
故答案为：5、10、15、5。（前三个空答案不唯一）
【点评】考查了5的倍数的特征，末尾是0或者5的数是5的倍数，一个数的最小倍数是它本身。
17．【分析】根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数。
【解答】解：在1，2，4，1l，18，23，35中，奇数有1、11、23、35，偶数有2、4，质数有2、11、23，合数有4、18、35。
故答案为：1、11、23、35；2、4；2、11、23；4、18、35。
【点评】此题考查的目的是理解奇数、偶数、质数和合数的意义，掌握奇数和质数的区别，偶数与合数的区别。
18．【分析】根据连续奇数的特点，两个相邻的连续奇数相差2，最小的一个比中间的少2，最大的一个比中间的一个多2，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍，求出中间的一个奇数，再求出相邻的另外两个，一个是中间的奇数减2，一个是加2，据此解答。
【解答】解：51÷3＝17；
17﹣2＝15；
17+2＝19；
故答案为：15，17，19。
【点评】本题是考查奇数的意义及特点，两个连续奇数相差2，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍。
三．判断题（共5小题）
19．【分析】举出5个连续的奇数，求出它们的和，再根据5的倍数的特征进行判断即可。
【解答】解：例如：5、7、9、11、13这5个连续奇数，5+7+9+11+13＝45
45是5的倍数，所以5个连续奇数的和是5的倍数，通过举例可知5个连续奇数的和一定是5的倍数。
故答案为：√。
【点评】熟练掌握5的倍数的特征是解题的关键。
20．【分析】一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。
【解答】解：5+7+6＝18
18是3的倍数，所以用数字5、7、6组成的三位数一定都是3的倍数的说法是正确的。
故答案为：√。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
21．【分析】一个数的因数是有限的，最小是1，最大是它本身；一个数的倍数是无限的，最小是它本身；据此解答。
【解答】解：36的最大因数是它本身，它的最小倍数也是它本身；
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要是考查因数和倍数的意义．要记住一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身。
22．【分析】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数；1和任何非0自然数是互质数，1既不是质数也不是合数；由此解答。
【解答】解：根据互质数的意义，互质的两个数不一定都是质数，1和任何非0自然数是互质数，1既不是质数也不是合数；因此互质的两个数不一定都是质数。
所以此说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查了根据质数和互质数的意义解决问题。
23．【分析】根据倍数和因数的意义：如果数a能被数b整数（b不为0），则a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。据此判断即可。
【解答】解：24÷5＝4.8，5不能被24整除，所以原题干错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了因数和倍数的意义，倍数和因数不能单独存在。
四．操作题（共2小题）
24．【分析】根据偶数和奇数的定义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，即个位上是0、2、4、6、8的数；不是2的倍数的数叫做奇数，即个位上是1、3、5、7、9的数，由此求解．
【解答】解：分类如下：
【点评】解决本题关键是正确的区分奇数和偶数．
25．【分析】根据2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数。据此涂色即可。
【解答】解：
【点评】熟练掌握2的倍数的特征是解题的关键。
五．应用题（共6小题）
26．【分析】根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出48的因数有哪些，根据题意可以平均分给多少个小朋友，由此解答。
【解答】解：48的因数有：1，2，3、4，6，8，12，16，24，48．
根据题意不可能分给1个小朋友，幼儿园小班的人数在10到20人之间，因此可以平均分给12、16个小朋友。
答：小朋友的人数可能是12、16。
【点评】此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题。
27．【分析】首先对42分解因数，然后找出42的因数，进而确定站法即可。
【解答】解：将42分解因数，42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7，所以42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。
根据每排至少2人，至少2排，可得共有6种情况：
①每排2人，排成21排；
②每排3人，排成14排；
③每排6人，排成7排；
④每排7人，排成6排；
⑤每排14人，排成3排；
⑥每排21人，排成2排；
答：有6种不同的排法。
【点评】找出42的因数，进而分析确定排法是解答本题的关键所在。
28．【分析】可用连续三个奇数的和除以3，得到的是这三个连续奇数的平均数即连续三个奇数的中间一个数，然后再用中间的数分别减去2、加上2即可得到答案。
【解答】解：三个连续奇数的平均数为：225÷3＝75，
三个连续奇数中第一个奇数为：75﹣2＝73，
三个连续奇数中第三个奇数为：75+2＝77。
答：这三个奇数分别是73，75，77。
【点评】此题主要利用计算平均数的方法求得三个连续奇数的中间一个数，然后再分别计算出另外两个数即可。
29．【分析】根据他们集赞的总数比集赞最少的欣欣多18个赞，可以写出数量关系“他们集赞的总个数一欣欣集赞的个数＝18”，也就是明明和丽丽一共集了18个赞；同时明明和丽丽集赞的个数是两个连续的偶数，而18＝8+10，所以明明和丽丽集赞的个数是8和10，与8相邻又比8小的偶数是6，因此他们一共集了6+8+10＝24（个）赞。
【解答】解：他们集赞的总个数一欣欣集赞的个数＝18，也就是明明和丽丽一共集了18个赞；
18＝8+10
8﹣2＝6
6+8+10＝24（个）
答：他们一共集了24个赞。
【点评】解决此题关键是明确相邻两个偶数相差2，还要明确他们集赞的总个数一欣欣集赞的个数＝18，也就是明明和丽丽一共集了18个赞。
30．【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，列举出即可。
【解答】解：一个两位质数，交换个位和十位上的数字后所得的两位数仍是质数，
这样的数有11、13、31、17、71、37、73、79、97共9个。
答：这样的两位数有9个。
【点评】根据质数的意义进行分析解答是完成本题的关键，完成本题要注意将这个数的数字交换之后，看是否还是质数。
31．【分析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3＝21（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，当油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重2÷4＝（千克），最重的两瓶内的油为13﹣×2＝12（千克）；当油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2＝（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。
【解答】解：每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为（8+9+10+11+12+13）÷3＝21 （千克），21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶。
而质数中是偶数的质数只有2，分两种情况求解：
（1）当空瓶重量和为2，油重量和为19；每个空瓶2÷4＝（千克），故最重两瓶（即重13的两瓶）有13﹣×2＝12（千克）；
（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重19÷4＝千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2＝（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。
答：最重的两瓶内有12千克油。
【点评】本题主要考查了有关偶数、质数以及奇数的知识，解题的关键是求出4瓶油（加瓶）的质量。
北师大版五年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义
第3单元 倍数和因数
在认识数的时候，同学们最先了解的是整数和小数，如今随着学习内容的深入，还需要全面掌握其他数的概念和运用。
1、认识自然数和整数，联系乘法认识倍数与因数
（1）像0，1，2，3，4，5，6，…这样的数是自然数。
（2）像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数是整数。
（3）我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。
（4）倍数与因数是相互依存的关系，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
（5）补充知识点：
一个数的倍数的个数是无限的。因数个数是有限的。
一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（6）2，5的倍数的特征
2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。
5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。
2、偶数和奇数的定义
（1）是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
（2）能判断一个数是不是2或5的倍数。能判断一个非零自然数是奇数或偶数。
（3）补充知识点：既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
（4）3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（5）同时是2和3的倍数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2的倍数，又是3的倍数。
（6）同时是3和5的倍数的特征：个位上的数是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是3的倍数，又是5的倍数。
（7）同时是2，3和5的倍数的特征：个位上的数是0，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2和5的倍数，又是3的倍数。
（8）6的倍数的特征：既是2的倍数又是3的倍数的数。
（9）9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
3、找因数
（1）在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。方法：运用乘法算式，思考：哪两个数相乘等于这个自然数。
（2）补充知识点：一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
4、找质数
（1）理解质数与合数的意义。
一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。
1既不是质数也不是合数。
（2）判断一个数是质数还是合数的方法：
一般来说，首先可以用“2，5，3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2，5，3；如果还无法判断，则可以用7，11等比较小的质数去试除，看有没有因数7，11等。只要找到一个1和它本身以外的因数，就能肯定这个数是合数。如果除了1和它本身找不到其他因数，这个数就是质数。
5、数的奇偶性
（1）运用“列表”“画示意图”等方法发现规律：
小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。通过“列表”“画示意图”的方法会发现“奇数次在北岸，偶数次在南岸”的规律。
（2）能够运用上面发现的数的奇偶性解决生活中的一些简单问题。
（3）通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律
偶数＋偶数=偶数 奇数＋奇数=偶数
偶数＋奇数=奇数 偶数－偶数=偶数
奇数－奇数=偶数 偶数－奇数=奇数
奇数－偶数=奇数 偶数 × 偶数=偶数
偶数 × 奇数=偶数 奇数 × 奇数=奇数
【例1】李阿姨到文具店买书包，书包的单价已看不清楚，他买了3个书包，售货员说应付140元，李阿姨认为不对。你能解释这是为什么吗？
【分析】根据3的倍数的特征进行判断，即看各位数字和是不是3的倍数。
【解答】解：1+4+0＝5，5不是3的倍数，所以140不是3的倍数，所以李阿姨的观点是正确的。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
【例2】42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程）
【分析】写出两个整数的积等于42的所有乘法算式，偶数因数作每组人数，另一个因数作组数，组数不能为1。
【解答】解：两个整数的积等于42，偶数因数作每组人数，另一个因数作组数，组数不能为1。
1×42＝42
偶数因数42作每组人数，组数为1，不符合题目组数大于1的要求。
2×21＝42
3×14＝42
6×7＝42
答：可以分成21组，每组2人；
也可以分成3组，每组14人；
还可以分成7组，每组6人。
【点评】此题重点在于找出42的所有因数，并判断因数的奇偶性。
【例3】妈妈给小明买了3件相同价格的夏装，收银员说：应付245元。对吗？为什么？请你说明理由。
【分析】根据3的倍数的特征，各位上的数字之和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数；依此即可判断。
【解答】解：不对。
因为3件夏装价格相同，应付的钱数应是3的倍数，245不是3的倍数，所以不对。
【点评】本题主要考查了3的倍数特征及实际应用。
【例4】将下面各数分别填入到指定的圈里。
【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数），一个数除了1和它本身还有其它因数，这个数叫作合数。
【解答】解：
【点评】本题考查了质数，合数，奇数，偶数的区分。
【例5】李老师的车牌号码从左往右的数字依次是：①10以内最大的质数；②既是奇数又是合数的数；③既是质数又是偶数；④既不是质数也不是合数的奇数；⑤最小的合数。你知道李老师车牌号的数字部分是多少吗？
【分析】10以内最大的质数是7；既是奇数又是合数的一位数是9；既是质数又是偶数的数是2；既不是质数也不是合数的奇数是1；最小的合数是4；据此解答。
【解答】解：①10以内最大的质数是：7；
②既是奇数又是合数的数是：9；
③既是质数又是偶数的数是：2；
④既不是质数也不是合数的奇数是：1；
⑤最小的合数：是4；
李老师车牌号的数字部分是：79214。
【点评】本题关键是理解质数、奇数、偶数、合数等概念，熟记这些数的特点。
一．选择题（共8小题）
1．如果两个数的积是偶数，那么这两个数（ ）
A．都是偶数 B．都是奇数
C．至少有一个偶数
2．一个两位数是2的倍数，这个两位数最大可能是（ ）。
A．90 B．99 C．98 D．100
3．要使4□5这个三位数是3的倍数，则□里最大可以填（ ）
A．3 B．6 C．9
4．一个数的最大因数与最小倍数相比较，（ ）。
A．相等 B．倍数小于因数
C．无法确定 D．倍数大于因数
5．两个质数的和是（ ）
A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．合数
6．在□里填上一个数字，使7□2是3的倍数，有（ ）种填法。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．把24个苹果放在两个筐里，可以让每个筐里的苹果同样多。下边多少个苹果也可以使每个筐里放的苹果同样多？（ ）
A．19个 B．11个 C．16个
8．11+23+35+51+89+225+4999+6888的和是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．无法判断
二．填空题（共10小题）
9．24的因数有 。在这些数中，奇数有 ，质数有 。
10．2□6是一个三位数，在□中填一个质数，使这个三位数是3的倍数，那么□里应填 。
11．因为18÷6＝3。所以 和 是 的因数， 是 和 的倍数。
12．一个数只有1和它本身两个 ，这个数叫作质数。
13．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是 ，最小倍数是 ，108的所有因数中，质数有 个。
14．4□，□中最大填 时，这个数能被3整除，这个数的因数有 。
15．有一个三位数45□，如果它是3的倍数，□里可以填 （填出所有的可能性），如果它同时也是2、5的倍数，□里可以填 。
16．请列举出三个5的倍数： 、 、 。5的倍数中最小的是 。
17．在1，2，4，1l，18，23，35中，奇数有 ，偶数有 ，质数有 ，合数有 。
18．三个连续奇数的和是51，这三个奇数分别是 、 和 。
三．判断题（共5小题）
19．5个连续奇数的和一定是5的倍数。 （判断对错）
20．用数字5、7、6组成的三位数一定都是3的倍数。 （判断对错）
21．36的最大因数是它本身，它的最小倍数也是它本身。 （判断对错）
22．如果两个数互质，那么这两个数一定都是质数。 （判断对错）
23．根据24÷5＝4.8.我们就可以说24是倍数，5是因数。 （判断对错）
四．操作题（共2小题）
24．将各队的球衣找出来
25．把2的倍数涂上红色。
1328，561，720，818，3114，8885。
五．应用题（共6小题）
26．幼儿园小班的人数在10到20人之间，刘阿姨拿了48颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？
27．有42个同学表演团体操，每排的人数相同，有几种站法？（每排至少2人，至少2排）
28．三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？
29．明明、丽丽、欣欣分别在朋友圈集赞。一段时间后，三人获得的点赞数为连续偶数。已知他们集赞的总数比集赞最少的欣欣多18个赞。他们一共集了多少个赞？
30．一个两位数，交换个位与十位上的数字所得的两位数仍是质数。这样的两位数有多少个？
31．4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据奇数和偶数的性质：奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，因此要使积是偶数，那么两个因数中要么都是偶数，要么至少有一个偶数。
【解答】解：如果两个数的积是偶数，那么这两个数要么都是偶数，要么至少有一个偶数。
故选：C。
【点评】此题考查了奇数和偶数的性质。
2．【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数，从所有的两位数中找出最大的且是2的倍数的数即可。
【解答】解：一个两位数是2的倍数，个位上最大应是8，十位上最大是9，所以这个两位数最大可能是98。
故选：C。
【点评】熟练掌握2的倍数的特征是解决此题的关键。
3．【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数字和是3的倍数。
【解答】解：4+5+9＝18
18是3的倍数，所以最大能填9。
故选：C。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
4．【分析】一个数的因数是有限的，它的最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，找不到最大的倍数。
【解答】解：由分析可知：一个数最大的因数与最小的倍数相等。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数的意义，明确：一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身。
5．【分析】根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数。
【解答】解：例如：2、3、5是质数。
2+3＝5 2+5＝7，5和7既是奇数也是质数，3+5＝8，8是偶数，也是合数。
两个质数的和是奇数或偶数。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解奇数、偶数、质数和合数的意义，掌握奇数和质数的区别，偶数与合数的区别。
6．【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。
【解答】解：7+2＝9
所以□里可以填0、3、6、9共4种填法。
故选：D。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
7．【分析】由题意可知，“下边多少个苹果也可以使每个筐里放的苹果同样多”，选项中苹果的个数能否被2整除，由此进行解答即可。
【解答】解：19、11不能被2整除。
16能被2整除。
故选：C。
【点评】本题考查了能被2整除的数的特征。
8．【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，据此判断。
【解答】解：只需算出个位上数字的和即可：1+3+5+1+9+5+9+8＝41，41不是2的倍数；
所以11+23+35+51+89+225+4999+6888的和是奇数。
故选：A。
【点评】本题主要考查了奇偶数的灵活运用能力。
二．填空题（共10小题）
9．【分析】利用找一个因数的方法找出24的所有因数；然后根据在自然数中，不是2的倍数的数是奇数，只有1和它本身两个因数的数是质数，由此即可得到答案。
【解答】解：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，在这些因数中，奇数有1、3，质数有2、3。
故答案为：1、2、3、4、6、8、12、24；1、3；2、3。
【点评】此题考查了找一个因数的方法和奇数、质数的含义。
10．【分析】一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，除了1和它本身不再有其它因数的数是质数。
【解答】解：2+6＝8
8+1＝9
8+4＝12
8+7＝15
所以在□中填一个质数，使这个三位数是3的倍数，1，4都不是质数，所以□里只能填7。
故答案为：7。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征以及质数的特征是解决此题的关键。
11．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。
【解答】解：因为18÷6＝3。所以3和6是18的因数，18是3和6的倍数。
故答案为：3，6，18；18，3，6。
【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在。
12．【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，则最小的质数是2。
【解答】解：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
故答案为：因数。
【点评】本题考查学生对质数意义的理解与应用。
13．【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。108分解质因数是：108＝2×2×3×3×3，所以108的所有因数中，质数有2和3。
【解答】解：“108”的最大因数是108，最小倍数是108，108的所有因数中，质数有2个。
故答案为：108，108，2。
【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数和倍数的方法，以及质数的意义。
14．【分析】3的倍数特征：把一个数的各位上的数相加的和，如果相加的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。据此可知，要使4□能被3整中可以填2、5、8，最大填8。这个数就是48。根据因数的定义可知，1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝48，则48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
【解答】解：4□，□中最大填48时这个数能被3整除，这个数的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
故答案为：48，1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
【点评】本题考查3的倍数特征以及因数的定义。找因数时，从最小的自然数从1找起，一直找到它本身，一对对找。
15．【分析】根据2、3、5的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，同时是2、3、5的倍数的特征个位上必须是0，且各位上的数字之和是3的倍数。
【解答】解：一个三位数45□，如果它是3的倍数，□可以可以填0、3、6、9；
一个三位数45□，如果它是3的倍数，同时也是2、5的倍数，□里可以填 0。
故答案为：0、3、6、9，0。
【点评】此题考查的目的是掌握2、3、5的倍数的特征。
16．【分析】末尾是0或者5的数是5的倍数。一个数的最小倍数是它本身。据此解答。
【解答】解：5的倍数有：5、10、15。（答案不唯一）
5的倍数中最小的是5。
故答案为：5、10、15、5。（前三个空答案不唯一）
【点评】考查了5的倍数的特征，末尾是0或者5的数是5的倍数，一个数的最小倍数是它本身。
17．【分析】根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数。
【解答】解：在1，2，4，1l，18，23，35中，奇数有1、11、23、35，偶数有2、4，质数有2、11、23，合数有4、18、35。
故答案为：1、11、23、35；2、4；2、11、23；4、18、35。
【点评】此题考查的目的是理解奇数、偶数、质数和合数的意义，掌握奇数和质数的区别，偶数与合数的区别。
18．【分析】根据连续奇数的特点，两个相邻的连续奇数相差2，最小的一个比中间的少2，最大的一个比中间的一个多2，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍，求出中间的一个奇数，再求出相邻的另外两个，一个是中间的奇数减2，一个是加2，据此解答。
【解答】解：51÷3＝17；
17﹣2＝15；
17+2＝19；
故答案为：15，17，19。
【点评】本题是考查奇数的意义及特点，两个连续奇数相差2，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍。
三．判断题（共5小题）
19．【分析】举出5个连续的奇数，求出它们的和，再根据5的倍数的特征进行判断即可。
【解答】解：例如：5、7、9、11、13这5个连续奇数，5+7+9+11+13＝45
45是5的倍数，所以5个连续奇数的和是5的倍数，通过举例可知5个连续奇数的和一定是5的倍数。
故答案为：√。
【点评】熟练掌握5的倍数的特征是解题的关键。
20．【分析】一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。
【解答】解：5+7+6＝18
18是3的倍数，所以用数字5、7、6组成的三位数一定都是3的倍数的说法是正确的。
故答案为：√。
【点评】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
21．【分析】一个数的因数是有限的，最小是1，最大是它本身；一个数的倍数是无限的，最小是它本身；据此解答。
【解答】解：36的最大因数是它本身，它的最小倍数也是它本身；
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要是考查因数和倍数的意义．要记住一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身。
22．【分析】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数；1和任何非0自然数是互质数，1既不是质数也不是合数；由此解答。
【解答】解：根据互质数的意义，互质的两个数不一定都是质数，1和任何非0自然数是互质数，1既不是质数也不是合数；因此互质的两个数不一定都是质数。
所以此说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查了根据质数和互质数的意义解决问题。
23．【分析】根据倍数和因数的意义：如果数a能被数b整数（b不为0），则a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。据此判断即可。
【解答】解：24÷5＝4.8，5不能被24整除，所以原题干错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了因数和倍数的意义，倍数和因数不能单独存在。
四．操作题（共2小题）
24．【分析】根据偶数和奇数的定义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，即个位上是0、2、4、6、8的数；不是2的倍数的数叫做奇数，即个位上是1、3、5、7、9的数，由此求解．
【解答】解：分类如下：
【点评】解决本题关键是正确的区分奇数和偶数．
25．【分析】根据2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数。据此涂色即可。
【解答】解：
【点评】熟练掌握2的倍数的特征是解题的关键。
五．应用题（共6小题）
26．【分析】根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出48的因数有哪些，根据题意可以平均分给多少个小朋友，由此解答。
【解答】解：48的因数有：1，2，3、4，6，8，12，16，24，48．
根据题意不可能分给1个小朋友，幼儿园小班的人数在10到20人之间，因此可以平均分给12、16个小朋友。
答：小朋友的人数可能是12、16。
【点评】此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题。
27．【分析】首先对42分解因数，然后找出42的因数，进而确定站法即可。
【解答】解：将42分解因数，42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7，所以42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。
根据每排至少2人，至少2排，可得共有6种情况：
①每排2人，排成21排；
②每排3人，排成14排；
③每排6人，排成7排；
④每排7人，排成6排；
⑤每排14人，排成3排；
⑥每排21人，排成2排；
答：有6种不同的排法。
【点评】找出42的因数，进而分析确定排法是解答本题的关键所在。
28．【分析】可用连续三个奇数的和除以3，得到的是这三个连续奇数的平均数即连续三个奇数的中间一个数，然后再用中间的数分别减去2、加上2即可得到答案。
【解答】解：三个连续奇数的平均数为：225÷3＝75，
三个连续奇数中第一个奇数为：75﹣2＝73，
三个连续奇数中第三个奇数为：75+2＝77。
答：这三个奇数分别是73，75，77。
【点评】此题主要利用计算平均数的方法求得三个连续奇数的中间一个数，然后再分别计算出另外两个数即可。
29．【分析】根据他们集赞的总数比集赞最少的欣欣多18个赞，可以写出数量关系“他们集赞的总个数一欣欣集赞的个数＝18”，也就是明明和丽丽一共集了18个赞；同时明明和丽丽集赞的个数是两个连续的偶数，而18＝8+10，所以明明和丽丽集赞的个数是8和10，与8相邻又比8小的偶数是6，因此他们一共集了6+8+10＝24（个）赞。
【解答】解：他们集赞的总个数一欣欣集赞的个数＝18，也就是明明和丽丽一共集了18个赞；
18＝8+10
8﹣2＝6
6+8+10＝24（个）
答：他们一共集了24个赞。
【点评】解决此题关键是明确相邻两个偶数相差2，还要明确他们集赞的总个数一欣欣集赞的个数＝18，也就是明明和丽丽一共集了18个赞。
30．【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，列举出即可。
【解答】解：一个两位质数，交换个位和十位上的数字后所得的两位数仍是质数，
这样的数有11、13、31、17、71、37、73、79、97共9个。
答：这样的两位数有9个。
【点评】根据质数的意义进行分析解答是完成本题的关键，完成本题要注意将这个数的数字交换之后，看是否还是质数。
31．【分析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3＝21（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，当油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重2÷4＝（千克），最重的两瓶内的油为13﹣×2＝12（千克）；当油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2＝（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。
【解答】解：每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为（8+9+10+11+12+13）÷3＝21 （千克），21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶。
而质数中是偶数的质数只有2，分两种情况求解：
（1）当空瓶重量和为2，油重量和为19；每个空瓶2÷4＝（千克），故最重两瓶（即重13的两瓶）有13﹣×2＝12（千克）；
（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重19÷4＝千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2＝（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。
答：最重的两瓶内有12千克油。
【点评】本题主要考查了有关偶数、质数以及奇数的知识，解题的关键是求出4瓶油（加瓶）的质量。
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