【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第07讲《分式不等式和绝对值不等式的解法》同步讲学案

第七讲  分式不等式和绝对值不等式的解法

【教学目标】

1. 掌握简单分式不等式的解法；

2. 分式不等式的应用；

3. 掌握简单绝对值不等式的解法；

4. 绝对值不等式与分式不等式结合在一起的题型的解法.

【应知应会】              

【难度系数：★★★   参考时间：5 min】

（一）知识回顾

1. 集合的区间表示法；

2. 一元二次不等式的解法；

3. 一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的关系.

（二）引入

解不等式

【答案】

法1：一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系.

法2：转化为一元一次不等式组求解.

二、知识梳理

【难度系数：★★★   参考时间：45 min】

（一）分式不等式的解法

形如或（其中为整式且）的不等式称为分式不等式（fractional inequality）.

通常，我们把分式不等式转化为整式不等式求解，注意接下来第一步把最高次项的系数化为正数.

（I）              （II）  

对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如或再按照上面的方法求解.

例1. 解不等式：.

【答案】

例2. 解不等式： .

【答案】

例3.  解不等式：.

【答案】

【注】当分母恒大于零或恒小于零时，可以直接应用不等式的基本性质3去分母，转化为整式不等式求解.

例4. 解关于的不等式.

【答案】①当，即或时，不等式的解集为；

②当，即或时，不等式的解集为；

③当，即时，不等式的解集为.

例5. （1）解不等式；  （2）；  （3）.

【答案】（1）；         （2） ；  （3）

【注】穿针引线：从右向左，自上而下，奇穿偶回

（二）绝对值不等式的解法

表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离. 因此，求不等式的解集就是求在数轴上到原点的距离小于的点所对应的实数的集合.

例6. 求下列不等式的解集.

（1）               （2）  

【答案】                             【答案】

（3）                    （4）

【答案】         【答案】

【提示】                     【提示】

【注】含有绝对值的不等式有不同解法，常见的有两种：一种是根据绝对值的意义作分类讨论；二是当不等式的两边都为非负时，两边平方，将绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式（组）后再求解.

例7. （1）解不等式               （2）解不等式.

【答案】                                【答案】

【提示】法一：或   【提示】零点分段法

法二：

【注】双绝对值：①零点分段法，②数形结合法（“平底锅”+“Z字型”）

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：20 min】

1. 不等式的解集是             . 【答案】

2. 不等式的解集为             . 【答案】

3. 不等式的解集为                   . 【答案】

【提示】“暴力”通分，穿针引线

4. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为             .

【答案】

5. 已知集合，，若，则的取值范围为           .

【答案】

6. 不等式的解集为………………………………………………………………………… （ A ）

A. 　　　  B. 　　  C. 　　  D.

7. 已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为………… （ B ）

 A. －8、－10   B. －4、－9   C. －1、9   D. －1、2

8. 不等式的解集是……………………………………………………………… （ B ）

 A.         B.

 C.                     D.

9. 设集合，，，则的取值范围是………… （ A ）

A.       B.

C. 或     D. 或

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：20 min】

1. 设满足不等式的解集为，且，则实数的取值范围是        .

【答案】

2. 不等式组的解集为          .

【答案】

3. （选）关于的不等式：至少有一个负数解，则的取值范围是          .

【答案】

【提示】数形结合，此题选讲【科普绝对值图像画法】

4. 不等式的解集是………………………………………………………………… （  D  ）

A.       B.     C.    D.

5. 的一个充分非必要条件是……………………………………………………………… （  B  ）

A.    B.       C.     D.

【提示】或

6. 已知的解集为， 则实数等于…………………………………… （  C  ）

A. 1          B. 2            C. 3              D. 4

7. 设，若，则实数的取值范围是………………（  B  ）

A.        B.        C.         D.

【提示】分三类讨论集锦：1. 双绝对值不等式P53例7（2）；2. 定区间动轴求最小值P46例7（1）II

8. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是…………………………（  D  ）

 A.       B.        C.     D.

【提示】“平底锅”函数图像科普

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】

1. 设集合，，，则的取值范围是………… （ A ）

A.       B.

C. 或     D. 或

2. 若等式的解集为，不等式的解集为，则不等式的解集是（ B ）

A. ；  B. ；

C. ；  D. .

3. 设，若，则下列不等式中成立的是……………………………………………（ D ）

A. ；  B. ；

C. ；  D. .

4. 若不等式 对一切恒成立，求实数的范围.

【答案】     【提示】，分类讨论：①；②

5. 解不等式组【提示】法一：分类讨论或

【答案】   【提示】法二：

等价转化

6. 解不等式：. 【答案】

7. 设时，不等式成立，求正数的取值范围.

【答案】

【提示】，

或（数轴画起来）

从而

8. 若不等式的解集为，求实数的取值范围.

【答案】

【提示】法一：①时，（舍）；②时，

法二：设，

9. 设集合，且，，求的取值范围.

【答案】          【提示】分类讨论：①；②

10. 设集合，，且，求的取值范围.

【答案】，                    【提示】画数轴，注意能否取等

【解析】由题意得，，，，设                  

，

由韦达定理，得， 

D组  综合训练

【难度系数：★★★    参考时间：30 min】

1. 不等式的解集为                          .

【答案】

2. 不等式组的解集是                    .

【答案】

3. 已知全集，集合，则………………………（ B  ）

A.       B.       C.       D.

4. 解不等式.

【答案】

5. 解不等式.

【答案】①当时，解集为；

②当时，解集为；

③当时，解集为.

6. 解不等式.

【答案】

7. 设集合，若，求实数的取值范围.

【答案】