【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第08讲《基本不等式及其应用》同步讲学案

第八讲  基本不等式及其应用

【教学目标】

1. 掌握平均值不等式和三角不等式；

2. 运用平均值不等式解决实际问题.

一、应知应会

【难度系数：★   参考时间：5 min】

（一）知识回顾

1. 分式不等式的解法；

2. 一元二次不等式的解法；

3. 绝对值不等式的解法.

（二）引入

1. 给一根长度给定的铁丝，围成的各种封闭图形中，何时面积最大？

2. 如果长度为16，围成的的矩形中，何时面积最大？

二、知识梳理

【难度系数：★★★   参考时间：15 min】

（一）平均值不等式及其应用

1. 常用不等式  对任意实数和，有，当且仅当时等号成立.

证明： 

2. 平均值不等式  对任意正数和，有，当且仅当时等号成立.

证明：             当且仅当时，

综上，对任意正数和，有.

【注】①我们称为正数和的算术平均值，称为正数和的几何平均值，因而，此不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值.

②和成立的条件是不同的：前者只要求和都是实数，而后者要求和都是正数.

三、典型例题

【难度系数：★★★   参考时间：30 min】

例1. 已知，求证：，并指出等号成立的条件.

【答案】，，，当且仅当时等号成立

例2. 已知，求证：，并指出等号成立的条件.

【答案】，，，，当且仅当，即时等号成立

定理 对于任意的实数、，有

，

当且仅当时等号成立.

证明：对任意实数和，有，当且仅当时等号成立.

于是，从而，即.

从而原不等式成立，当且仅当时等号成立.

例3. 设，求二次函数的最大值.

【解析】由不等式，推得

于是，当且仅当，即时，取得最大值4.

例4. 设、为正数，且，比较的值与的大小.

【解析】，

当且仅当且，即且时，才有；而在其他情形，均有.

例5. 证明：

（1）在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；

（2）在面积相同的所有矩形中，正方形的周长最小.

证明：（1）设矩形的周长为常数（），其长、宽分别为、（，），则.

此矩形的面积为. 由平均值不等式，有

当且仅当，即矩形为正方形时，面积取得最大值.

（2）设矩形的面积为常数（），其长、宽分别为、（，），则.

此矩形的周长为. 由平均值不等式，有，

所以，，当且仅当，即矩形为正方形时，周长取得最小值.

例6. 某新建居民小区欲建一面积为700的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3，短边外人行道宽4. 如图所示，问如何设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小.

【答案】长，宽

【解析】设矩形绿地的长为，则其宽为，

人行道的占地面积为.

则

当且仅当，即时，取最小值，此时

所以，设计绿地的长，宽时，人行道的占地面积最小.

（二）三角不等式

根据三角形中两边之和大于第三边的事实，我们可以类比得到下面的不等式：

定理 两个实数的绝对值的和大于等于他们和的绝对值，即对任意的实数、，有

，

当且仅当时等号成立.

证明：因为等价于，

即，也即，

所以三角不等式成立，当且仅当时等号成立.

例7. 已知、为实数，求证：.

【解析】证明：因为，

由三角不等式，有，

所以.

例8. 已知为实数，求证：，并指出等号成立的条件.

【解析】证明：等价于，

由三角不等式，有，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

例9. 证明：对所有实数恒成立，并求等号成立时的取值范围.

【解析】证明：因为，由三角不等式，有

，

所以，当且仅当，即时等号成立.

因此，对所有实数恒成立，且当且仅当时等号成立.

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：15 min】

1. 的最小值为__________.

【答案】1

2. 若， 且，求证：，并指出等号成立的条件.

【答案】当且仅当时取等

3. 若实数满足，求的最小值.

【答案】   【提示】直接使用平均值不等式

4. 设，求的最小值.

【答案】9

【提示】

5. 求证：对任意实数，有，当且仅当时等号成立.

【提示】等价于证明，利用平均值不等式列出三个不等式

6. 求的最小值，并指出等号成立的条件.

【答案】，

【解析】

当且仅当即时取等

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：20 min】

1. 已知，，当且仅当          时取等号. 【答案】

2. （1）成立的条件是           ； （2）成立的条件           ；

（3）成立的条件是                 ；  （4）成立的条件是             .

【答案】（1）；（2），；（3）；（4）

3. 已知，是实数，且，，则的最大值与最小值分别是…………………（  C  ）

A. 5和1   B. 5和-1   C. 5和0   D. 5和-5

4. 已知，求证：.

【提示】直接相乘+平均值不等式

5. 设，证明：，并求出当时的取值范围.

【答案】

6. 若求证：.

【提示】

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】

1. 已知，，，，那么的最大值为…………………………… （  B  ）

A.     B.      C.        D.

2. 若的最小值为3，则实数的值是………………………………………（  D  ）

A.        B. 2                   C. 2或              D. 4或

3. （1）已知，，，则的最小值为__________；

（2）已知，，，则的最小值为__________.

【答案】（1）18；（2）9  

【提示】“1”的代换

4. 若正数，满足，则的最小值为__________.

【答案】 

【提示】

5. 若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为                .

【答案】  

【提示】恒成立，“1”的代换

6. 已知x，，若，则的取值范围为__________.

【答案】    【提示】

从而，

7. 已知，且恒成立，求的最大值.

【答案】

【提示】

D组  综合训练

【难度系数：★★★   参考时间：25 min】

1. 已知，则的取值范围是__________.

【答案】

2. 若，，那么与的大小关系是                .

【答案】    【提示】先平方，再作差

3. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为               .

【答案】      【提示】，从而

4. 设且若，则必有…………………… （  D  ）

A.      B.      C.          D.

5. 设都是正数，，则……………… （  A  ）

A.           B.      

C.          D. 与的大小关系与有关，不能确定

6. 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走，若，则甲、乙两人到达指定地点的情况是…………………………………………………………………………………………………              （  A  ）

 A. 甲先到         B. 乙先到          C. 甲乙同时到      D. 不能确定

7. （1）对于实数，，，求证：成立；

（2）对于实数，，若，，求的最大值.

【提示】（1），当且仅当等号成立

（2）