【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第09讲《不等式复习》同步讲学案

第九讲  《不等式》复习

一、知识梳理

【难度系数：★   参考时间：15 min】

（一）基本内容

1. 不等式的性质：（1）对称性：     （2）传递性：

（3）加法法则：；

（4）乘法法则：；；

（5）倒数法则：  （6）乘方法则：

（7）开方法则：

2. 应用不等式的性质比较两个实数的大小——作差法

3. 一元二次不等式及其解法：的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，

则不等式的解的各种情况如下表：

4. 分式不等式和绝对值不等式的解法

（1）分式不等式可以转化为整式不等式，同样接下来第一步把最高次项的系数化为正数，对于转化的方法有两种：一种是转化为不等式组或；一种是转化为.

【注】对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如或再按照上面的方法求解.

（2）绝对值的不等式有两种常见的解法：一种是根据绝对值的意义作分类讨论，即；二是当不等式的两边都为非负时，两边平方，去掉绝对值号后再求解.

5. 平均值不等式：

（1）对任意正数和，有，当且仅当时等号成立【积定和最小】

（2）对任意正数和，有，当且仅当时等号成立【和定积最大】

6. 三角不等式：，当且仅当时等号成立

（二）应注意的问题

1. 应用不等式的性质时，要注意性质成立的条件；

2. 解一元二次不等式，要和一元二次方程以及二次函数结合；

3. 平均值不等式成立的条件是：“一正二定三相等”.

二、典型例题

【难度系数：★★★   参考时间：15 min 】

题型一  比较大小

例1．（1）     ；< （2）      ；<

（3）       ；<      （4）     ，；>

（5）    >

题型二  利用不等式的性质求取值范围

例2．如果，则

（1）的取值范围是           ；   （2）的取值范围是           ；

（3）的取值范围是             ；（4）的取值范围是               .

例3．已知函数，满足，，那么的取值范围是                 . 【答案】

【提示】待定系数法，设

题型三  解一元二次不等式

例4．解不等式：（1）       （2）

【答案】（1）           （2）

例5．已知关于的方程两个相异实根，求实数的取值范围.

【答案】

题型四  利用基本不等式证明不等式

例6．求证.

【提示】作差法，

例7．（1）若，且，求：I. 的最小值；II. 的最小值.

【答案】I. 64；II. 18

（2）求的最小值.  

【答案】32

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：20 min】

1. 关于x的不等式的解集是                 .

【答案】

2. 不等式的解集是________.

【答案】

3. 若集合，集合，则集合           .

【答案】

4. （1）函数的最小值是________.

（2）函数的最小值是________，最大值是________.

【答案】（1）；（2），

5. 若不等式的解集是，则实数的值为________.

【答案】

6. 若关于x的不等式对任意恒成立，则实数n的取值范围是           .

【答案】

7. “且”是“”（x、y、、，且）的…………………… （  A ）

A. 充分非必要条件  B. 必要非充分条件

C. 充要条件  D. 既非充分又非必要条件

8. 求证：对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围.

【解析】证明：，

等号当且仅当，即，时成立.

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：20 min】

1. 若，则与的大小关系是………………………………………………………… （ B  ）

A．  B．   C．   D．不能确定

2. 若是方程的解，则的最小值为………………………………    （ B  ）

A. 16           B. 8           C. 4           D. 2

3. 若，则的最小值为………………………………………………………………  （ D ）

A. 1            B. 2           C. 3           D. 4

4. 一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度送达灾区，已知运送的路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区最少需要时间…………………  （ B ）

A. 5 h           B. 10 h           C. 15 h           D.  20 h

【提示】

5. 解不等式：. 【答案】

6. 已知关于x的不等式的解集是，求实数、的值.

【答案】，

【解析】设，则即的解集是，由，得

7. 已知不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】

【解析】①当即或时，显然符合题意，不合题意（舍）；

②当时，要使二次不等式对一切恒成立，必须，

即，解得；     综上，

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★    参考时间：30 min】

1. 若不等式的解集中的整数有且仅有2、3，则实数的取值范围是________.

【答案】 

2. 若和是任意的非零实数，则的最小值为________.

【答案】6

3. 关于x的不等式的解集为，对于实系数、、，有如下结论：

①；②；③；④；⑤.

其中所有正确的结论的序号是            .

【答案】③⑤

4. 设、、，且，，. 求证：. 【伊普西龙】

【解析】证明：因为.

5. （1）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；

（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；

（3）设集合，求实数的取值范围；

（4）若存在实数x使成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

6. 若实数x、y、m满足，则称x比y远离m.

（1）若比3远离0，求x的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离.

【解析】（1）

（2）因为，，，所以，【平均值不等式】

于是

所以，即比远离

D组  综合训练

【难度系数：★★★   参考时间：30 min】

1. 不等式的解集是________. 【答案】

2. 若关于x的方程的解为非正数，则实数k的取值范围是________. 【答案】

3. 若，则不等式的解集是                . 【答案】

4. 若关于x的不等式的解集为，则实数________. 【答案】

5. 设为实数，“”是“对任意的正数x，”的…………………………………… （ A ）

A. 充分非必要条件  B. 必要非充分条件

C. 充要条件  D. 既非充分也非必要条件

6. 如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面上下边要留8 cm空白，左右要留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画面所用纸张面积最小？

【解析】设画面高为x cm，宽为y cm，依题意有，，，

则所需纸张面积，即，

因为，，，

所以，故.

当且仅当，即，时等号成立.

即当画面高为88 cm，宽为55 cm时，所需纸张面积最小为6760 cm2.

7. 已知.

（1）求证：；

（2）若当时，求实数的取值范围.

【解析】（1）证明：由，有，所以

（2）当时，.

当时，，由，得；

当时，，由，得

综上，的取值范围是