【暑假提升】沪教版数学高一暑假-第14讲《二次函数及根的分布》同步讲学案

第十四讲  二次函数及根的分布

【教学目标】

1. 掌握二次函数的性质与图像并能简单应用；

2. 掌握二次函数的最值求法；

3. 掌握二次函数对应方程的根的分布.

【应知应会】

一、复习引入

在初中阶段，我们已经学习过二次函数和（）的图像和部分性质，那么高中阶段我们又会重点研究二次函数的什么问题呢？

二、知识梳理

【难度系数：★★★   参考时间：20 min】

（一）二次函数的定义

形如（）的函数叫二次函数（quadratic functions）.

【注】（1）决定开口方向，开口大小：与图像“全等”；

（2）影响对称轴（）【同左异右】和顶点坐标（，）；

（3）决定与轴的交点.

（二）二次函数的图象

1. 画出、和的图像.        

2. 画出和的图像.

（三）二次函数的性质  

1. 定义域：     

2. 值域：，；，

3. 单调性：，在区间上严格减，在区间严格增；

，在区间上严格增，在区间严格减

4. 对称性：关于直线成轴对称图形

5. 最值：，；，

6. 与坐标轴交点：

（1）与轴交点：（，）

（2）与轴交点：，两个不同的交点；，一个交点；，没有交点

定义 对于函数，，如果存在实数，使得

，

我们就把叫做该函数的零点. 【零点不是点，是数】

（四）二次函数的最值求法

核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论. 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设，求在上的最大值与最小值.

分析：将配方，得对称轴方程

（1）当时，抛物线开口向上

 若，则必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；

 若，此时函数在上具有单调性，在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值.

（2）当时，同上.

综上，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下：

  （1）当时，

      （2）当时，

（五）韦达定理与根（零点）的分布

1. 韦达定理：一元二次方程的两个根为，那么，.

【注意】解题过程中不能忽视对方程的判别式进行判断.

2. 二次函数对应方程根的分布（实根；）【两根异号】

三、典型例题

【难度系数：★★★   参考时间：30 min】

例1. 求值域：（1），            （2），

【答案】（1）；                               （2）

例2. 设常数，则在区间的最大值为           .

【答案】

【提示】对称轴严格减

例3. 已知函数在区间上有最小值3，求的值.

【答案】或

【提示】对称轴漂流记，对称轴，区间

①“上游”：；

②“中游”：无解；

③“下游”：

例4. 若和分别是一元二次方程的两根.

（1）求的值；       （2）求的值；         （3）求的值.

【答案】（1）；（2）；（3）     【解析】同第五讲例7

例5. 若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围.

（1）方程两实根均为正数；                 （2）方程有一正根一负根.

【答案】（1）；                    （2）  【提示】两根异号

例6. 若关于的方程的一个根大于1、另一根小于1，求实数的取值范围.

【答案】        【提示】不同区间，只看端点：

A组  双基过关

【难度系数：★★   参考时间：20 min】

1. 函数在上的最大值为________，最小值为________.

【答案】5；

2. 已知函数，若是其零点，则实数k的值是________.

【答案】2

3. 函数的最大值是________；最小值是________.

【答案】3；0

4. 若方程在内恰有一解，则实数的取值范围是________.

【答案】

5. 若函数没有零点，则实数的取值范围是________.

【答案】

6. 函数的零点个数是………………………………………………………………（       ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定

【答案】C

7. 函数的图像关于直线对称的充要条件是………………………………（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

8. 已知两根均在，求实数的取值范围.

【答案】

【提示】同一区间，要看三点：△，对称轴，区间端点

【解析】

B组  巩固提高

【难度系数：★★★   参考时间：25 min】

1. 函数的最大值是________，此时________. 【答案】1；

2. 若函数，的最大值为M，最小值为N，则________. 【答案】8

3. 函数在上的最大值是           . 【答案】

4. 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是               .

【答案】

5. 若函数在内有一个零点，则实数的取值范围是               .

【答案】        【提示】两大类，和【四小类，参考C组第4题第3问】

6. 函数在定义域内有……………………………………………………………（     ）

A. 最小值1  B. 最大值1

C. 最小值5  D. 最大值5

【答案】C

7. 已知函数有两个不同的零点，且一个零点在区间内，另一个在区间，求实数的取值范围. 【答案】  【提示】不同区间，只看端点

【解析】①时，；②时，

综上，

8. 已知函数.

（1）若有三个零点，求实数的值；

（2）若有零点，求实数的取值范围.

【解析】（1）由题意知，方程有三个不同的解，即函数和有三个不同的交点，数形结合得；

（2）由题意知，函数和有交点，数形结合得.

C组  拓展延伸

【难度系数：★★★★   参考时间：30 min】

1. 已知x满足，求函数的最大值及最小值. 【解析】由

令，则  当即时，；当即时，

2. 求函数，的最大值，并作出图像. 【答案】

3. 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设.

（1）求、的值；   （2）不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.

【解析】（1）

①当时，在上是严格增函数，则  解得

②当时，在上是严格减函数，则  解得（舍）     综上，，

（2），可化为即，令，，则，，设，，，所以.

4. 已知二次函数.

（1）若有一个零点大于2，另一个零点小于2，求m的取值范围；

（2）若在区间和上各有一个零点，求m的取值范围；

（3）若在区间上只有一个零点，求m的取值范围.

【解析】（1）由，得；     （2）由，得；

（3）对称轴，①；②由，得；

③由，得，或，；

④由，得，或，. 综上，.

D组  综合训练

【难度系数：★★★    参考时间：25 min】

1. 已知函数在区间(－∞，3)上是严格减函数，则的取值范围是            .

【答案】

2. 若函数在区间上有最大值4，则________. 【答案】

3. 若，是关于的方程的两个实根，求的最小值.

【答案】        【解析】由韦达定理得，

，对称轴

故当时，取最小值       【点评】此题容易忽视

4. 求函数，的最大值与最小值.

【答案】①当时，，；

②当时，，；

③当时，，；

④当时，，.

5. 已知为实数，试求函数的最小值.

【答案】   【提示】

【注意】对称轴，对称轴，分段点

【口诀】分段点“轴轴漂流记”，先画每个函数全部的图像，然后“取其一瓢饮”，进行图像“拼接”，特别注意，即两部分函数图像都经过这个点