【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第07讲《三角形的初步认识单元综合检测（能力提升）》预习讲学案

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第07讲 三角形的初步认识 单元综合检测（能力提升）
一、单选题
1．下列命题：①真命题都是定理；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③三角形的三条高线交于一点；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤全等三角形对应边上的高相等；⑥三角形中至少有一个角不小于60°．是真命题的有（       ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定理、平行线的判定定理、三角形的高的概念、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形内角和定理判断即可．
解：①真命题都是定理，本说法是真命题；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，本说法是假命题；
③三角形的三条高线交于一点，本说法是真命题；
④有两边和两边夹角对应相等的两个三角形全等，本说法是假命题；
⑤全等三角形对应边上的高相等，本说法是真命题；
⑥三角形中至少有一个角不小于60°，本说法是真命题；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查真假命题的判断．涉及定理、平行线的判定定理、三角形的高的概念、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形内角和定理等相关知识点．
2．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（       ）．

A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角板可得：∠2=60°，∠5=45°，然后根据三角形内角和定理可得∠2的度数，进而得到∠4的度数，再根据三角形内角与外角的关系可得∠2的度数．
解：如图：

由题意得：∠2=60°，∠5=45°，
∵∠2=60°，
∴∠3=180°-90°-60°=30°，
∴∠4=30°，
∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
3．下列说法：（1）周长相等的两个三角形是全等三角形；（2）周长相等的两个圆是全等图形；（3）如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等；（4）所有的正方形是全等图形；（5）在中，当时，这个三角形是直角三角形．正确的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等的图形判定和性质及直角三角形的判定方法即可判断求解．
解：（1）周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，故（1）错误；
（2）周长相等的两个圆是全等图形，故（2）正确；
（3）如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等，故（3）正确；
（4）所有的正方形是相似图形，故（4）错误；
（5）在中，当时，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠C＋∠C＋∠C＝180°
∴∠C＝°≠90°，
∴这个三角形不是直角三角形，故（5）错误，
故选B．
【点睛】
本题考查全等的图形判定和性质及直角三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握所学知识．
4．在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠A=∠D，若补充下列条件中的任意一条，就能判定△ABC≌△DEF的是                                          (        )
①AC=DF   ②BC=EF   ③∠B=∠E   ④∠C=∠F
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②④
【答案】C
【解析】
如图，∵AB=DE，∠A=∠D，
∴根据“边角边”可添加AC=DF，
根据“角边角”可添加∠B=∠E，
根据“角角边”可添加∠C=∠F．
所以补充①③④可判定△ABC≌△DEF．
故选C．
5．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（   ）

A．无法确定 B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1．
解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理．
6．根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
【答案】C
【解析】
【分析】
运用全等三角形的判定方法逐项判断即可．
解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；
D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解答本题关键．
7．如图，，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，则∠DGB的度数为（       ）

A．66° B．56° C．50° D．45°
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得的度数，然后根据对顶角相等可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可得．
，，
，
，，
，
解得，
，
在中，，
，
，
解得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
8．如图，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为21，则与的面积之和是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
结合题意，根据全等三角形的性质，通过证明，得与的面积之和，通过计算即可完成求解．
∵，，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中

∴
∴
∴与的面积之和
∵，若的面积为21
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
9．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（       ）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
解：如图，连接AA'，

∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴，，
∵∠BA'C=110°，
∴∠A'BC+∠A'CB=180°-110°=70°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∴∠BAC=180°-140°=40°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，
∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，
∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×40°=80°，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的中线即可进行判断①和④；利用AAS证明△BCD≌△ABE，即可进行判断③④⑤的正确性．
解：①∵AE是中线，
∴BE＝CE，故①正确；
②∵DC⊥BC，BF⊥AE，
∴∠DBC+∠D＝∠DBC+∠BEA＝90°．
∴∠D＝∠BEA．
∵∠DCB＝∠ABE＝90°，
在△DBC与△ABE中，
，
∴△BCD≌△ABE（AAS）．
∴BD＝AE，故②正确；
③∵△BCD≌△ABE，
∴∠BAE＝∠CBD；故③正确；
④∵AE是中线，
∴∠EAC≠∠BAE，故④错误；
⑤∵△BCD≌△ABE，
∴BE＝CD，
∵BC＝2BE，
∴BC＝2CD，故⑤正确．
∴正确的结论有①②③⑤，共4个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△BCD≌△ABE．
二、填空题
11．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？
（1）作，（ ）          （2）两个锐角互余．（       ）
（3）直线a与b有可能垂直．（ ）          （4）作射线．（       ）
（5）作直线．（ ）          （6）整数一定是有理数．（       ）
【答案】（1）不是，（2）是，（3）不是，（4）不是，（5）不是，（6）是
【解析】
【分析】
判断一件事情的语句叫命题，根据定义解答．
解：（1）作 ，不是命题；故答案为：不是．（2）两个锐角互余，是命题；故答案为：是．（3）直线a与b有可能垂直，不是命题；故答案为：不是． （4）作射线 ，不是命题；故答案为：不是．（5）作直线 ，不是命题； 故答案为：不是． （6）整数一定是有理数，是命题；故答案为：是．
【点睛】
此题考查命题的定义，熟记定义是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AC＝6，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于D，连接BD．若BD＝4，则AD＝___．

【答案】2
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD=4，然后根据AD=AC-DC求解即可．
解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD=4，
∵AC＝6，
∴AD＝AC-CD=6−4＝2，
∴AD＝2．
故填2．
【点睛】
本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．
13．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于_______．

【答案】180°
【解析】
【分析】
直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°．

【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
14．一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是________
【答案】7或7．5
【解析】
试题分析：两个三角形全等，则依据题意可知，具体的可列方程是3x-2=7和2y+1=10；或者3x-2=10，2y+1=7
在第一种情况时，x=3，y=4.5，所以x+y=7.5；第二种情况是x=4，y=3，所以x+y=7
考点：解方程
点评：本题属于解方程和三角形全等的基本知识的结合考查，考生在解答时要学会综合运用解题
15．在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，A（4,3），B（4,0），在坐标轴上有一点 C，使得△AOB 与△COB 全等，则 C 点坐标为_______.
【答案】（0,3）或（0，-3）.
【解析】
分析:根据A,B两点坐标表示出求出OB、AB的长度，然后根据各选项中的△OAB的特征即可求出点C的坐标．
详解: ∵A（4,3），B（4,0），
∴AB=3,OB=4, ∠ABO=90°
∵△AOB 与△COB 全等，
∴OC=AB
∵AB=3
∴CO=3
∴C 点坐标为（0,3）或（0，-3）.
故答案为: （0,3）或（0，-3）.

点睛: 本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
16．如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是_____度．

【答案】405
【解析】
【分析】
根据图形可以找到多对全等三角形，可以得到∠1与∠9互余，∠2与∠6互余，∠4与∠8互余，∠3=∠5=∠7=45°，再进行计算即可求解．
解：观察图形可知，∠1所在三角形与∠9所在三角形全等，∠1与∠9的余角相等，所以∠1与∠9互余，同理∠2与∠6互余，∠4与∠8互余，又因为∠3=∠5=∠7=45°，
∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=90°×3+45°×3=405°．
故答案为：405
【点睛】
本题考查了三角形全等的应用，仔细观察图形，发现全等三角形，熟知全等三角形的性质是解题关键．
17．如图，在中，为线段上一动点(不与点重合)，连接作，且连接，当时，______________________度．

【答案】24
【解析】
【分析】
由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可证△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解．
解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠BAC=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEC=180°-36°-60°-60°=24°，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
18．如图，在锐角中，AC＝10，，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_______________

【答案】5
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为BE，然后根据垂线段最短可得当时，BE取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
如图，在AC上取一点E，使，连接ME，
是的平分线，
，
在和中，，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为5，
故答案为：5．

【点睛】
本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时BE的位置是解题关键．
三、解答题
19．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
【答案】（1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，反例见解析；（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．
【解析】
【分析】
（1）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平角的定义可得该命题是真命题；
（2）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是假命题；利用相交直线被第三条直线所截，内错角不相等可举反例；
（3）根据将命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是真命题；．
（1）题设：如果两个角的和等于平角，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；
（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；

（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等．是真命题．
【点睛】
本题考查了命题与定理的相关知识．将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．
20．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．
【答案】a+3b
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
解：∵a，b，c 是三角形的三边，
∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，
由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，
由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，
∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）
＝a+3b．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0．
21．如图，已知ABCD，E、F是AC上两点，且AF=CE，∠EBA=∠FDC．

(1)说明：△ABE≌△CDF；
(2)若AD=6，CD=4，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ABCD的周长为20
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件证明AE=CF，利用ABCD证明∠BAE=∠DCF，根据AAS即可证出△ABE≌△CDF；
（2）根据已知和已证条件可证AD=BC，AB=DC，则可求出四边形的周长．
(1)
∵ABCD，   
∴∠BAE=∠DCF
∵AF=CE，，     
∴AE=CF     
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF (AAS)；
(2)
∵ △ABE≌△CDF
∴ BE=DF且∠AEB=∠CFD
由图可知：∠BEC=180°—∠AEB，∠DFA=180°—∠CFD
∵∠AEB=∠CFD
∴∠BEC=∠DFA
∵△BEC和△DFA中

∴△BEC≌△DFA（SAS）       
∵ △ABE≌△CDF且△BEC≌△DFA
∴AB=CD=4，AD=BC=6，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=4+6+4+6=20．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形，熟练运用SSS、AAS、SAS、ASA等不同方法证明两三角形全等是解题的关键．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC的顶点均为格点．请在方格纸中完成下列作图(不写作法)；

(1)过点A画BC的平行线l1；
(2)过点C画BC的垂线l2；
(3)用尺规作∠PAC，使得∠PAC＝∠BAC (保留作图痕迹)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）在点C左侧取一点D，使，通过证明四边形是平行四边形可得，即可画出直线l1；
（2）如图所示，作点E、F、G，通过证明，可得，即可画出直线l2；
（3）根据弧线的性质、圆的性质以及尺规作图作出角平分线即可．
(1)
如图所示，

在点C左侧取一点D，使
与平行且相等
四边形是平行四边形

设所在直线为l1
直线为l1即为所求．

(2)
如图所示，作点E、F、G
在和中，





设所在直线为l2
直线为l2即为所求．

(3)
如图所示，以点A为圆心，以AB为半径作弧，与AC交于点O，以点O为圆心，以OB为半径作圆，与弧线交于点P，连接AP，即可使得∠PAC＝∠BAC．

【点睛】
本题考查了尺规作图的问题，掌握平行线的定义、垂线的定义、弧线的性质、圆的性质以及尺规作图的方法是解题的关键．
23．如图，在中，是边上的高，是边上的高，、交于点，平分

(1)若，
①求的度数．
②若平分，试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)设，则______（用含的代数式直接表示）．
【答案】(1)①∠CFG；②FG∥AH；
(2)180°-α
【解析】
【分析】
（1）①利用垂直的定义及三角形内角和定理得出∠FBG=∠ABC-∠ABD=20°，∠FCG=∠ACB-∠ACE=36°，继续利用三角形内角和定理得出∠BFC =124°，结合角平分线定义计算即可；
②根据角平分线的定义及三角形内角和定理得出∠BHA =98°，∠FGB=98°，利用平行线的判定即可证明；
（2）结合①中计算方法，求得∠FBG+∠FCG= α，利用三角形内角和定理即可得出结果．
(1)
解：①∵BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，
∴∠CEA=∠ADB=90°，
∵∠BAC=56°，∠ACB=70°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=54°，
∴∠ABD=90°-∠BAC=34°，∠ACE=90°-∠BAC=34°，
∴∠FBG=∠ABC-∠ABD=20°，∠FCG=∠ACB-∠ACE=36°，
∴∠BFC=180°-∠DBC-∠FCG=124°，
∵FG平分∠BFC，
∴∠CFG=；
②∵AH平分∠BAC，
∴∠BAH=，
∴∠BHA=180°-∠HAB-∠ABH=98°，
在∆BGF中，
∠FGB=180°-∠FBG-∠BFG=98°，
∴FG∥AH；
(2)
∵BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，
∴∠CEA=∠ADB=90°，
∵∠BAC=α，∠ABC+∠ACB=180°-α，
∴∠ABD=90°-∠BAC=90°-α，∠ACE=90°-∠BAC=90°-α，
∴∠FBG+∠FCG=∠ABC+∠ACB-∠ABD-∠ACE=180°-α-(90°-α)-( 90°-α)= α，
∴∠BFC=180°-∠FBG-∠FCG =180°-α，
故答案为：180°-α．
【点睛】
题目主要考查角平分线的定义及三角形内角和定理，高线的定义及角度的计算，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．
24．如图，在，中，，，，点三点在同一直线上，连接．
（1）与全等吗？为什么？
（2）试猜想，有何特殊位置关系，并说明理由．

【答案】（1）全等，理由见解析；（2） 理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先证明∠BAD=∠CAE， 由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACE=∠ABD，由三角形内角和定理可求解．
解：（1） 全等，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
（2）BD⊥CE，理由如下：
如图，设AC与BD于G，

∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGB=∠CGD，∠BAC=90°，
∴∠CDG=90°，
∴BD⊥CE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握“利用证明三角形全等及运用全等三角形的性质证明角的相等”是解本题的关键．
25．（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；
（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；
（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．

【答案】（1）70°；（2）20°；（3）70°
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的外角的性质求出∠PAE即可解决问题．
（2）利用三角形的内角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根据角平分线的定义求出∠BAC+∠BCA即可解决问题．
（3）先证∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，再由角平分线定义知∠1＝∠2，∠3＝∠4，进行等量代换即可解决问题．
解：（1）如图1中，


∵AF，CE是高，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，
∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．
（2）如图2中，


∵∠APC＝100°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，
∵AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，
∴∠BAC+∠BCA＝160°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．
（3）如图3中，连接PD延长于点H，


∵∠ADH＝∠2+∠APD，∠CDH＝∠3+∠CPD，
∴∠ADC＝∠2+∠APD+∠3+∠CPD＝∠2+∠3+∠APC，
同理，∠APC＝∠1+∠4+∠B，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ADC＝130°，∠APC＝100°，
∴∠B＝∠APC ﹣∠1﹣∠4＝∠APC ﹣∠2﹣∠3＝∠APC ﹣(∠ADC ﹣∠APC ) ＝70°．
【点睛】
本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，第3问中通过作辅助线证明∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B是解题的关键．
26．如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒，

（1）BQ＝　 　；BP＝　 　；（用含a或t的代数式表示）
（2）运动过程中，连接PQ、DQ，△BPQ与△CDQ是否全等？若能，请求出相应的t和a的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2tcm，（8﹣at）cm；（2）a＝2，t＝3或a＝1，t＝2
【解析】
【分析】
（1）根据路程=速度×时间求解；
（2）分2种情况，根据全等三角形的性质列方程求解；
解：（1）由题意得，AP＝atcm，BP＝(8﹣at)cm，BQ＝2tcm，
故答案为：2tcm，(8﹣at)cm；
（2）△BPQ与△CDQ能全等；
∵∠B＝∠C，
∴△BPQ与△CDQ全等存在两种情况：
①当△PBQ≌△QCD时，PB＝CQ，BQ＝CD，
∴2t＝6，8﹣at＝8﹣2t，
∴a＝2，t＝3；
②当△PBQ≌△DCQ时，PB＝DC，BQ＝CQ，
∴8﹣at＝6，2t＝8﹣2t，
∴a＝1，t＝2；
综上，△BPQ与△CDQ能全等，此时a＝2，t＝3或a＝1，t＝2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键．
27．在等腰△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求∠BCE的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，则∠BCE的度数；
（3）设∠BAC=α，∠BCE=β，如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；

【答案】(1)90°;(2)120°;(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE，即可求解；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠B=60°，计算即可求解；
（3）根据三角形的内角和的性质分三种情况讨论即可求解.
解：（1）90°．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；
（2）∵∠BAC=60°，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∵AB=AC,AD=AE,
∴∠B=∠ACB=60°，∠ADE=∠AED=60°，
由（1）可得∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°.
（3）①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②当点D在射线BC上时，α+β=180°；
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴α+β=180°；

当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
AD=AE，∠DAB=∠EAC，AB=AC
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．
        
【点睛】
此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.