【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第09讲《等腰三角形的性质定理》预习讲学案

第09讲 等腰三角形的性质定理

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．

推论：等边三角形的各个内角都等于60°.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．

2.等腰三角形的性质的作用

证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．

3.尺规作图：已知底边和底边上的高

已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.

作法：1.作线段BC=a.

2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.

3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.

 4.等边三角形的性质：

       等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

要点：等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角

例1．下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（　　）

A．等腰三角形两底角相等

B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合

C．等腰三角形是中心对称图形

D．等腰三角形是轴对称图形

例2．如图，在中，是的平分线，下面结论中不一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

例3．如图，在中，，过点A作，若，则的大小为（       ）

A． B． C． D．

例4．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（       ）

A．或或 B．或

C．或 D．或

例5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(　　)

A．40° B．36° C．30° D．25°

例6．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（          ）

A．105° B．120° C．135° D．150°

例7．下列结论错误的是(       )

A．等腰三角形的底角必为锐角；

B．等腰三角形的底角等于顶角的一半

C．等腰三角形的腰一定大于底边的一半

D．等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半

例8．如图，等边中，，与相交于点，则的度数是（       ）

A． B． C． D．

例9．已知等边三角形的边长为1，则它的高等于（       ）.

A． B． C． D．

例10．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（       ）

A．10° B．15° C．20° D．25°

例11．如图，若是等边三角形，，是的平分线，延长到，使，则

A．7 B．8 C．9 D．10

例12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角是_________．

例13．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为_______．

例14．已知，是等边三角形，于E，于D，若，则图中60度的角有_______个．

例15．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;

例16．如图，在中，，将绕点逆时针旋转能与重合，若，则_________．

一、单选题

1．如图，△ABC中，已知，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为（　　）

A．25° B．30° C．40° D．45°

2．在△AOB中，BO＝AO，OP交AB于点C，量角器的摆放如图所示，则∠BCP＝（　　）

A．80° B．90° C．85° D．95°

3．如图，D在AC上，E在AB上，若AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为（　　）

A．60° B．72° C．45° D．50°

4．若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成差为2cm的两部分，则腰长为（ ）.

A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．以上都不对

5．如图，等边中，点D是上一点，，则（       ）

A． B． C． D．

6．如图，△ABC是等边三角形，，若，则∠2的度数为（       ）

A． B． C． D．

7．如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，若将三角形PBC绕点B旋转到三角形P′BA，则∠P′BP的度数为(          )

A．45° B．60° C．90° D．120°

8．如图，在中，，将图形沿着折叠，点C落在上的点F处，再将图形沿折叠，点A正好落在的点G处，此时，则的度数为（       ）

A．25 B．35 C．45 D．55

9．如图．，点，，，，在射线上，点，，，在射线上．，，，均为等边三角形，若，则的边长为（   ）

A． B． C． D．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（       ）

A．4.8 B．9.6 C．8 D．6

二、填空题

11．等腰三角形的性质为：

（1）等腰三角形两个________相等，简称_________________．

（2）等腰三角形的________________、________________和________________互相重合，简称“三线合一”．

12．在中，若，则_______；_______．

13．如图，在中，，点A，点C分别在直线a，b上，且．若，则的度数为_______．

14．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度．

15．如图，在中，D、E是BC的三等分点，是等边三角形，则______度．

16．如图，将绕点逆时针旋转得到．若落到边上， ，则的度数为______．

17．图，把等边沿直线折叠，点落在处，若，则______．

18．在中，，点是外一点，连接、、，且交于点，在上取一点，使得，，若，则的度数为 _____．

三、解答题

19．如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．

20．如图，中，，点D和E分别在边和上，，连接和．求证：．

21．如图，在四边形中，，，，垂足为点，．

(1)求证：．

(2)若，求的度数．

22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1=∠2，AD=DE．

(1)求证：△ABD≌△DCE；

(2)若BD=3，CD=5，求AE的长．

23．如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接．

(1)等于多少度？

(2)说明与相等的理由．

24．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC上，∠BAC＝∠DAE．

(1)求证△ABD≌△ACE；

(2)当∠B等于多少度时，ABEC？证明你的结论．

25．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC的延长线上，且AD＝BE，联结DC、AE．

(1)试说明△BCD≌△ACE的理由；

(2)如果BE＝2AB，求∠BAE的度数．

26．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上．

(1)如果AD⊥BC，BE⊥AC，试证明∠APE＝60°的理由；

(2)如果BD＝EC，那么“∠APE＝60°”是否还能成立？请说明理由．

27．如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；

如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．

28．如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．

(1)求证：AB＝ED；

(2)求∠AFE的度数．

29．一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．

(1)若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为    ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为    ；（用的代数式表示）

(2)如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取．求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；

(3)如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数．