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【暑假提升】浙教版数学七年级(七升八)暑假-专题第14讲《直角三角形全等的判定》预习讲学案
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第14讲 直角三角形全等的判定一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”,“ASA”或“SAS”判定定理.二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边,直角边定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).这个判定方法是直角三角形所独有的,一般三角形不具备.要点:(1)“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等,由于其中含有直角这个特殊条件,所以三角形的形状和大小就确定了. (2)判定两个直角三角形全等的方法共有5种:SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等,首先考虑用斜边、直角边定理,再考虑用一般三角形全等的证明方法.(3)应用“HL”时,虽只有两个条件,但必须先有两个Rt△的条件.例1.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加一个条件是( )A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC例2.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )A.一个锐角和斜边对应相等 B.两条直角边对应相等C.两个锐角对应相等 D.斜边和一条直角边对应相等例3.如图,AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D,若CB=CD,且∠1=30°,则∠BAD的度数是( )A.90° B.60° C.30° D.15°例4.如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是( )A. B.C. D.例5.如图,是的平分线上一点,于,于,下列结论中不正确的是( )A. B.C. D.例6.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6cm,则△DEB的周长为( )A.4cm B.6cm C.10cm D.不能确定例7.如图,在中,,D是上一点,于点E,,连接,若,则等于( )A. B. C. D.例8.如图,在中,,,,线段,,两点分别在和过点且垂直于的射线上运动,当__________时,和全等.例9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,连接AD,过D点作DE⊥AB,且DE=DC.若AB=5,AC=3,则EB=____.例10.如图,,,点,,,分别在直线与上,点在上,,,,则________.例11.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48和26,求△EDF的面积_________.例12.如图,在△ABC中,AB=AC.点D为△ABC外一点,AE⊥BD于E.∠BDC=∠BAC,DE=3,CD=2,则BE的长为____.一、单选题1.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不一定成立的是( )A.AD=BD B.BD=CD C.∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C2.用三角尺可按下面方法画角平分线:在已知的∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是( ) A.SAS B.SSS C.ASA D.HL3.如图,在△ABC和△CDE中,若∠ACB=∠CED=90°,AB=CD,CE=AC,则下列结论中正确的是( )A.E为BC中点 B.2BE=CD C.CB=CD D.△ABC≌△CDE4.如图,在△ABC中,,,D为BC延长线上一点,点E在AC上,.若,则∠BAD的度数为( ) A. B. C. D.5.下列所给的四组条件中,能作出唯一三角形的是( )A.AB=2cm,BC=6cm,AC=3cm B.BC=3cm,AC=5cm,∠B=90°C.∠A=∠B=∠C=60° D.AB=4cm,AC=6cm,∠C=30°6.如图,在中,,,为边上一点,于点.若,,则的长为( ) A. B.2 C. D.47.如图,ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF,若∠BAE=25°,则∠ACF=( )A.70° B.75° C.60° D.65°8.如图,AD是△ABC的角平分线,过点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则下列结论:①DE=DF;②BD=CD;③AE=AF;④∠ADE=∠ADF,其中正确结论的个数有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.如图,在和中,,,,线段BC的延长线交DE于点F,连接AF.若,,,则线段EF的长度为( ) A.4 B. C.5 D.10.如图,的平分线与的垂直平分线相交于点,,,垂足分别为,,,则的值为( )A.1 B. C.2 D.3二、填空题11.如图,在中,于点D,要使,若直接根据“”判定,还需要再添加的一个条件是__________.12.如图,于E,AD平分,,cm,cm,则______.13.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=8cm,则△BED的周长是______.14.如图,,于点,于点,,若,则=____.15.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AB上,满足BC=BD,过点D做DE⊥AB交AC于点E.△ABC的周长为36,△ADE的周长为12,DE=4,则四边形BCED的面积为____.16.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF=____________cm.17.如图,在中,,,平分,,,则的周长为________.18.如图,四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AC平分∠DAB,CM⊥AB于点M,若AM=4cm,BC=2.5cm,则四边形ABCD的周长为_____cm.三、解答题19.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.若CD=3,则求CE的长.20.已知:如图,DB⊥AB,DC⊥AC,∠1=∠2.求证:AD平分∠BAC.21.在△ABC中,AB=CB,AB⊥CB,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证:BE=BF.22.已知,如图,DN=EM,且DN⊥AB于D,EM⊥AC于E,BM=CN,求证:∠B=∠C.23.如图,在中,点D,E分别是边BC,AC上的点,,于点F,于点G,且,求证://.24.如图,在中,点在的垂直平分线上,连接,作于点,交的延长线于点,且.(1)求证:;(2)如果,求的度数.25.已知:如图,AB∥CD,∠ABD=90°,∠AED=90°,BD=DE.求证:∠AFC=2∠ADC.26.如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,AD与EF相交于点M.(1)求证:△ADE≌△ADF;(2)求证:AD垂直平分EF.27.如图所示,点E,F在BC上且. (1)求证:;(2)若PO平分,则PO与线段BC有什么关系?为什么?28.已知:如图, 为 的角平分线,且,为延长线上的一点, ,过作,为垂足.求证: (1);(2);(3).29.如图①,是四边形的一个外角,//,,点在的延长线上,,,垂足为. (1)求证:①平分;②.(2)如图②,若,,.求的度数.
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