【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第17讲《不等式和不等式的基本性质》预习讲学案

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第17讲 不等式和不等式的基本性质

一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．

例1．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（        ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①；②；⑤，⑥共有4个．
答案：．
【点睛】
本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解答此类题关键是要识别常见不等号: ＞、＜、≤、≥、≠．
例2．关于不等式，下列说法错误的是（       ）
A．x的3倍与4的和是正数 B．x的3倍与4的和是非负数
C．x的3倍与4的和是不小于0 D．x的3倍与4的和大于等于0
【答案】A
【解析】
【分析】
A．正数不包含零；
B．非负数即是包含正数、0；
C．不小于0，即大于或等于0；
D．大于等于，即为符号．
Ａ．用不等式表示为：，故A.错误；
Ｂ．用不等式表示为：，故B.正确；
Ｃ．用不等式表示为：，故C．正确；
D．用不等式表示为：，故D．正确．
故选:A
【点睛】
本题考查不等式的概念，其中涉及非负数、正数、不小于、大于等于等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例3．目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（       ）
A．℃ B．℃ C．℃ D．℃
【答案】A
【解析】
【分析】
超过即大于，用不等式表示出来即可．
解：A、表示超过，选项符合题意；
B、表示低于，选项不符合题意；
C、表示不高于，选项不符合题意；
D、表示不高于，选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查不等式的定义，根据定义解题是关键．
例4．下列选项正确的是（       ）
A．不是负数，表示为
B．不大于3，表示为
C．与4的差是负数，表示为
D．不等于，表示为
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意先根据非负数、负数及各选项的语言表述列出不等式，再与选项中所表示的进行比较即可得出答案．
解：．不是负数，可表示成，故本选项不符合题意；
．不大于3，可表示成，故本选项不符合题意；
．与4的差是负数，可表示成，故本选项符合题意；
．不等于，表示为，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查不等式的定义，解决本题的关键是理解负数是小于0的数，不大于用数学符号表示是“≤”．
例5．已知，则下列各式中一定正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，逐一判断各个选项即可．
解：A.当m＜0时，，故该选项不一定正确；
B. ，故该选项不一定正确；
C. 当时，，故该选项不一定正确；       
D. ，故该选项一定正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．
例6．由，得到，应满足的条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，即可得到答案．
解：∵，得到，
∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，关键是掌握不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向．
例7．、是实数，且，，则下列判断中正确的是（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据即可判断a、b是同号，再由即可判断出，．
解：∵，，
∴，，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质．
例8．若，则下列关系正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分当y＞0时，当y＜0时，分别得到x，y的关系，进而即可得到答案．
解：当y＞0时，，则x＞y＞0，
当y＜0时，，则x＜y＜0，
∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键．
例9．小红变形了以下几个不等式：①由x＋7＞8得x＞1；②由3x－1＞x＋7得x＞4；③由－3＜x得x＞－3；④由x＜2x＋3得x＞3；⑤由－3x＞－6得x＜2.你认为小红变形正确的个数为(　　)．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据不等式的性质1，可得答案；②根据再根据不等式的不等式的性质1，两边都加（1-x），性质2，两边都除以2，可得答案；③根据不等式的性质，可得答案；④根据不等式的性质1两边都减（x+3），可得答案；⑤根据不等式的性质3，可得答案．
①不等式的两边都减7，得x＞1，故①正确；
②不等式的两边都加（1-x），得2x＞8，不等式的两边都除以2，得x＞4，故②正确；
③-3＜x，即x＞-3，故③正确；
④两边都减（x+3），得x＞-3，故④错误；
⑤不等式的两边都除以-3，得x＜2，故⑤正确；
故选C
【点睛】
本题考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
例10．以下说法中正确的是（       ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞|b|，则a2＞b2
C．若a＞b，则 D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质和绝对值的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
解：A．若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，即A选项不合题意，
B．|b|≥0，a＞|b|，则a＞0，即a2＞b2，即B选项符合题意，
C．若a＞b，a＞0，b＜0，则，如即C选项不合题意，
D．若a＞b，c＞d，则﹣c＜﹣d，则a﹣c和b﹣d大小无法判断，如a＝1，b＝﹣5，c＝﹣7，d＝﹣20，此时，a﹣c小于b﹣d，即D选项不合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，绝对值，正确掌握不等式的性质和绝对值的定义是解题的关键．
例11．若则a，b，-a，-b的大小顺序是（        ）
A．-abd，当c=d≤0时，不成立，故错误；
D. 若ac2>bc2，依题意得c≠0，又c2＞0，则a>b，正确.
故选D.
【点睛】
此题主要考查不等式，解题的关键是熟知不等式的性质.
7．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（　　）

A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q
【答案】D
【解析】
【分析】
本题要求掌握不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想．
观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q．
故选D．
【点睛】
考点：一元一次不等式的应用，利用数形结合的思想解题是关键．
8．下列各式中正确的是（   ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，可得答案．
A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；
B、当a＜0时，不等式两边乘负数，不等号的方向改变，故B错误；
C、当c＜0时，ac＜bc，故C错误；
D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．点，，和原点在数轴上的位置如图所示，有理数，，各自对应着，，三个点中的某一点，且，，，那么表示数的点为（       ）

A．点 B．点 C．点 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据乘积小于0，可得a，b异号，再根据和大于0，得正数的绝对值较大，从图上点的位置关系可得a，b对应着点M与点P；根据ac＞bc，变形可得a＞b，从而可得答案．
∵，，
∴异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，
∴对应着点M与点P，
∵，
∴，
∴数b对应的点为点M，
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数与数轴上的点的对应关系，数形结合、明确不等式的性质，是解题的关键．
10．下列命题:
①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，逐个判断结果正确与否．
①错误，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；②正确，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号；③ 错误，因为乘以c2=0时；④ 错误，因为不知道a的值；⑤ 错误，则因此有一个正确．故选A
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号．
二、填空题
11．请用不等式表示“x的2倍与3的和大于5”：___________．
【答案】
【解析】
【分析】
x的2倍为2x，与3的和为2x+3，和大于5即2x+3＞5，据此可得．
解：由题意得，2x+3＞5．
故答案为：2x+3＞5．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12．①－2＜0；②2x＞3；③2≠3；④2x2－1；⑤x≠－5中是不等式的有____（填序号）．
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
根据不等式的定义用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，依次判断5个式子即可．
解：依据不等式的定义用不等号连接表示不相等关系的式子是不等式，分析可得这5个式子中，①②③⑤是不等式，④是代数式；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题属基本概念型的题目，考查不等式的定义，注意x≠-5这个式子，难度不大．
13．根据机器零件的设计图纸（如图），用不等式表示零件长度的合格尺寸（L的取值范围）是 ___．

【答案】
【解析】
【分析】
根据有理数的加减法可得，最小合格尺寸是(10-0.02)，最大合格尺寸是(10+0.02)，用不等式可表示为：，计算即可得出结果．
解：由得：，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查有理数的加减与不等式的解集，注意最小合格尺寸和最大合格尺寸需包含在取值范围里，利用有理数的加减法是解题的关键．
14．设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称（如图），若用x、y分别表示“●”、“▲”的重量，写出符合题意的不等式是__________．

【答案】
【解析】
【分析】
设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称（如图），若用x、y分别表示“●”、“▲”的重量，写出符合题意的不等式是
解：如图，左边=x+2y，右边=2x+y．
由于左边＞右边，
所以列出不等式x+2y＞2x+y．
故答案是：x+2y＞2x+y．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，难度不大，用代数式表示出天平的左边重量和右边重量即可列出不等式．
15．判断正误：
（1）由，得；( )
（2）由，得；( )
（3）由，得；( )
（4）由，得；( )
（5）由，得；( )
（6）由，得．( )
【答案】     正确     正确     正确     正确     错误     错误
【解析】
【分析】
根据不等式的性质解答即可．
解：∵2a＞3，
∴不等式的两边都除以2得：a＞，
∴（1）正确；
∵2-a＜0，
∴-a＜-2，
∴a＞2，
∴（2）正确；
∵，
∴不等式的两边都乘以2得：，
∴（3）正确；
∵，
∴不等式的两边都加上m得：，
∴（4）正确；
∵，
∴不等式的两边都乘以-3得：，
∴（5）错误；
∵，
∴不等式的两边都乘以a不能得到：，
∵a的正负不能确定，
∴（6）错误；
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质的应用，注意：不等式的基本性质有①不等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，不等式的符号不改变，②不等式的两边都乘以或都除以同一个正数，不等式的符号不改变，③不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等式的符号要改变．
16．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式：
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________．
【答案】                   
【解析】
【分析】
（1）利用在不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案；
（2）利用在不等式的两边都减去同一个式子，不等号的方向不变，从而可得答案；
（3）利用在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案；
（4）利用在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向改变，从而可得答案；
解：（1）
两边都加上，得：
合并同类项可得：
（2）
两边都减去得：
合并同类项得：
（3）
两边都乘以得：
（4）
两边都除以得：
故答案为：（1）（2）（3）（4）
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键.
17．若x、y是两个有理数，且，则的符号是_______________．
【答案】正
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义和性质、整式乘法公式及不等式的基本性质可以得到解答．
解：∵x0，
∴，即
∴,符号为正．
故答案为正．
【点睛】
本题考查绝对值的意义和性质、整式乘法公式及不等式的基本性质，掌握负数绝对值的大小与其本身的大小刚好相反是解题关键．
18．若，，，，，则、、之间的大小关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由可得，所以，同理，然后比较a、b、c的大小即可．
，
,
,
同理可得,
又,
,
,
即．
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．
三、解答题
19．用不等式表示
（1）a的与一1的差是非正数．       
（2）a的平方减去b的立方大于a与b的和．
（3）a的减去4的差不小于-6．       
（4）x的2倍与y的和不大于5．
（5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【解析】
【分析】
根据题意以及不等式的定义列不等式．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【点睛】
本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式．
20．用“>”或“ (2)当n=1或2时,nn+1(n+1)n. (3)20132014>20142013.
【解析】
试题分析：（1），可借助计算器，分别计算①~⑦中两组数，再比较大小即可；
（2）可由（1）归纳出结论，分以及进行讨论；
（3）依据（2）的结论，直接令进行分析.
试题解析：（1）①12=1，21=2，则12＜21；
②23=8，32=9，则23＜32；
③34=81，43=64，则34＞43；
④45=1024，54=625，则45＞54；
⑤56=15625，65=7776，则56＞65；
⑥67=279936，76=117649，则67＞76；
⑦78=5764801，87=2097152，则78＞87.
（2）从上面的结果，可以猜想出和的大小关系是：当时，
当时，
（3）由（2）中规律可知