【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第07讲《二次函数的应用-实际应用》预习讲学案

这是一份【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第07讲《二次函数的应用-实际应用》预习讲学案，文件包含第07讲二次函数的应用-实际应用解析版docx、第07讲二次函数的应用-实际应用原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共51页， 欢迎下载使用。
第07讲 二次函数的应用-实际应用

一、列二次函数解应用题
　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
　　①首先必须了解二次函数的基本性质；
　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.

例1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
原价为100万元，一年后的价格是100×（1-x），二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式求得．
解：由题意得：二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，
则函数解析式是：y=100（1-x）2．
故选A．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，需注意第二年的价位是在第一年的价位的基础上降价的．
例2．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式．
解：设小正方形边长为xcm，由题意知：
现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm，
则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．
例3．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，则要想获得最大利润每天必须卖出（       ）
A．25件 B．20件 C．30件 D．40件
【答案】A
【解析】
【分析】
将函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得．
解：∵y=-x2+50x-500=-（x-25）2+125，
∴当x=25时，y取得最大值，最大值为125，
即销售单价为25元时，销售利润最大，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式化为顶点式的能力及掌握二次函数的性质．
例4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）

A．米 B．8米 C．10米 D．2米
【答案】B
【解析】
【分析】
小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
解：当y＝0时，即＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
例5．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（　　）

A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．
解：y关于x的函数表达式为：y（50+2﹣x）x
x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．
例6．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（       ）件．
降价（元）







日销量（件）








A．1200 B．750 C．1110 D．1140
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意根据表中的数据分析得，每降元，销售量增加件，就可求出降元时的销售量，以此进行分析即可．
解：由表中数据得，每降元，销售量增加件，
即每降元，销售量增加件，
降元时，销售量为（件）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数的应用以及二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解答此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式．
例7．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是(　　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5．
∵当球运行的水平距离为时，达到最大高度，∴抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为．由题意知图象过点，∴，解得，抛物线的解析式为．设球出手时，他跳离地面的高度为．
∵抛物线的解析式为，球出手时，球的高度为．
∴，∴．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得二次函数的解析式是解决本题的关键．
例8．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　）

A．1 B．1.5
C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解．
如图建立坐标系：

抛物线的顶点坐标是（1，4），
设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4，
把（0，3）代入解析式得：a+4=3，
解得：a=-1，
则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4，
当y=0时，-（x-1）2+4=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
则水池的最小半径是3米．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键．
例9．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把已知点的坐标代入函数解析式，求得b，c的值，可得函数解析式，再由二次函数求最值．
解：把（160，60），（190，67.5）分别代入，
可得，
解得：，
则，
∵，
∴当时，有最大值，
∴当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为s，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，是基础题．
例10．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均人会传染个人，若最初个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染．则与的函数关系式为（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
用含有x的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解.
∵每轮传染平均人会传染个人，
∴2人感染时，一轮可传染2x人，
∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；
∵每轮传染平均人会传染个人，
∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，
∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 人；
∴，
故选A.
【点睛】
本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键.
例11．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．
例12．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：
①当时，
②与之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（       ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出二次函数的解析式，再根据利润的关系逐一判断即可；
当时，，故①正确；
由题意得：，故②正确；
日销售利润为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；
由上问可知：，
即，
∵，
∴当时，，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；
故正确的是①②④；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，准确计算是解题的关键．

一、单选题
1．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（       ）
A．第7秒 B．第9秒 C．第11秒 D．第13秒
【答案】B
【解析】
【分析】
本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值．
解：∵此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：，
∴炮弹所在高度最高时：时间是第9.5秒，
∵炮弹所处的高度与时间的函数图象的开口向下，
∴距离对称轴越近的点函数值越大，即炮弹的高度越高，
∴第9秒时炮弹所在高度最高，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，根据题意求出抛物线的对称轴，是解答本题的关键．
2．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（       ）


A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可建立平面直角坐标系，然后设函数关系式为，由题意可知，代入求解函数解析式，进而问题可求解．
解：建立如图所示的坐标系：

设函数关系式为，由题意得：，
∴，
解得：，
∴，
当y=-0.5时，则有，
解得：，
∴水面的宽度为0.8m；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
3．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（       ）．（建筑物厚度忽略不计）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据函数图象可得抛物线与轴的两个交点坐标为和，再设抛物线的解析式为，将点代入即可得．
解：由函数图象可知，抛物线与轴的两个交点坐标为和，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为，即为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了求抛物线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
4．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数图像的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为（       ）
A．0米到3米 B．5米到8米 C．到8米 D．5米到米
【答案】B
【解析】
【分析】
先将抛物线解析式化为顶点式，可得当 时， ，即此时残片离地面的高度最大，最大为8米，再由抛物线的增减性，即可求解．
解：∵，
∴当 时， ，即此时残片离地面的高度最大，最大为8米，
∵ ，
∴在直线的左侧， 随 的增大而增大；在直线的右侧， 随 的增大而减小，
∵当 时， ，当 时， ，且 ，
∴在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为5米到8米．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（　　）

A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
解答：解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．
6．对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt﹣gt2，其中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝20m/s，则下列说法正确的是（　　）
A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点
B．当h＝25m时，对应一个时刻点
C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点
D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点
【答案】C
【解析】
【分析】
把v=20m/s，g≈10m/s2代入h=vt-gt2，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得函数的最大值，则问题得解．
解：∵h=vt-gt2，v=20m/s，g≈10m/s2，
∴h=20t-5t2
=-5（t2-4t）
=-5（t-2）2+20，
∴当t=2s时，h有最大值为20m，即物体能达到的最大高度为20m，且h=20m时，只有一个时刻，
∴A、B、D均不正确．
∵h=20t-5t2为开口向下的二次函数，h有最大值为20m，
∴当h=15m时，对应两个不同的时刻点．
∴C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB:OB=1:2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y=−x2+4x来刻画，下列结论错误的是（       ）

A．山坡可以用正比例函数来刻画
B．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米
C．水柱落到斜面时距O点的距离为7米
D．水柱距O点水平距离超过4米呈下降趋势
【答案】C
【解析】
【分析】
根据AB:OB=1:2和正比例函数的性质判断A；根据二次函数的性质判断B；列方程组求出二次函数与正比例函数的交点坐标判断C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断D．
解：∵山坡AB:OB=1:2，
∴斜坡可以用正比例函数y=x刻画，故选项A正确，不符合题意；
当y=1.875时，即−x2+4x=1.875，
解得：x1=0.5，x2=7.5，
∴若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米，故选项B正确，不符合题意；
解方程组得，，，
∴当小球落在斜坡上时，它离O点的水平距离是7m，故选项C错误，符合题意；
∵y=−x2+4x=-（x-4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点坐标，正确求出二次函数与一次函数的交点坐标是解题的关键．
8．根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．某校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，但要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料10米搭建的隔离区的面积最大为（       ）平方米．
A． B．25 C． D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（10-x+1）米，根据隔离区面积为S平方米，列出二次函数表达式，配方后再根据二次函数的性质求解即可．
设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（10-x+1）米，
依题意，隔离区的面积为S=x•（10-x+1）=-x2+x=-（x-）2+，
∵-＜0，
∴当x=时，隔离区有最大面积，最大面积为平方米，
故选：C．

【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数表达式．
9．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（       ）
消毒液
每瓶售价（元）
每瓶成本（元）
每日其他费用（元）
每日最大产销量（瓶）

30
18
1200＋0.02x2
250

A．250 B．300 C．200 D．550
【答案】D
【解析】
【分析】
根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函数的最值问题即可求解 ．
解：根据题意，得

∴，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
又∵，
∴当时，，
故选：D
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
10．如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行的时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间
0
1
2
3
4
滑行距离
0
4.5
14
28.5
48

滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m），和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2=56t2-2t22滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了26s，则滑坡AB的长度为（       ）
A．374米 B．384米 C．375米 D．385米
【答案】B
【解析】
【分析】
由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c=0，故设，取两组数据代入，求出解析式，滑雪者在BC段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在BC段的滑行时间，即可得出在AB段的滑行时间，最后代入函数解析式求出AB段的长度即可．
由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c=0，
设，
取两组数据代入可得：，
解得：，
，
滑雪者在缓冲带BC上滑行时间为：s，
滑雪者在滑坡AB上滑行时间为：26－14=12s，
令t1=12，，
滑坡AB的长度为384米．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，滑雪者在BC段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在BC段的滑行时间是解题关键．
二、填空题
11．亮亮推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，则小明推铅球的成绩是______m．
【答案】11
【解析】
【分析】
根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题理解为当y＝0时，求x的值即可．
解：铅球落地时，高度y＝0，
令函数式中y＝0，即，
解得：x1＝11，x2＝−1（舍去），
即小强推铅球的成绩是11m，
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
12．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线． 若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2，则小球飞出______s时，达到最大高度．

【答案】2
【解析】
【分析】
根据函数关系式，求出抛物线的对称轴即可解决．
解：h=-5t2+20t，
a=-5，b=20，
∴t=-，
则小球在2s时，达到最大高度．
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
13．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的有关系如图所示，D为该水流的最高点，，垂足为A．已知，，则该水流距水平面的最大高度AD的为______m．

【答案】9
【解析】
【分析】
设抛物线解析式为，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出k值即可．
解：根据题意，设抛物线解析式为，
将点C（0，8）、B（8，0）代入得：，
解得，
∴抛物线解析式为
∴m，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于用待定系数法求出函数的解析式．
14．中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面______m．

【答案】
【解析】
【分析】
如图建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．
解：建立平面直角坐标系如图：


根据题意可知，点A的坐标为（3，10），点C的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x=3.5，
设抛物线的的解析式为y＝ax2+bx+c，把上面信息代入得，
，
解得，，
抛物线解析式为：，
把代入得，；
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，利用二次函数解析式的性质求解．
15．斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为，第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度，若，则为________．

【答案】
【解析】
【分析】
先求出OA=60，OE=30，设第一次反弹后的抛物线的解析式y=a(x-30)2+h1，得h1=-900a，设第二次反弹后的抛物线的解析式y1=a(x-m)2+h2，得得h2=-625a，即可得答案．
解：如下图，
∵OB=90，OA=2AB，
∴OA=60，OE=30，
设第一次反弹后的抛物线的解析式y=a(x-30)2+h1，
∵抛物线过原点O，
∴0=a(0-30)2+h1，
解得：h1=-900a，
∵每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），
∴两个抛物线的a是相等的，
设第二次反弹后的抛物线的解析式y1=a(x-m)2+h2，
∵，h1=-900a，
∴BC=-600a，
∵抛物线过A、B两点，
∴
解得

故答案为：．

【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式的求法，解题的关键是掌握二次函数的性质．
16．某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y=-（x-h）2+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第__________天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是___________
【答案】     16     9＜x＜
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，即可求得的值；
（2）根据y=-（x-h）2+k，得出，然后根据当月中旬日销售额达到最大值得出，取解集即可．
解：（1）根据第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，
则：，
解得：，
∴第天的销售额最大，
故答案为：；
（2）∵y=-（x-h）2+k，
则，随增大而增大，
，随增大而减小，且为整数，
则，解得，
∵当月中旬日销售额达到最大值，
则，
综上：．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质是解本题的关键．
17．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移____________cm．

【答案】60
【解析】
【分析】
过点C作延长线于点E，先求出BE的长，再以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，得出A、C、D的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线向上平移k个单位，再把坐标代入解析式求出k的值即可．
解：过点C作延长线于点E，





cm

以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，
则
设此时抛物线解析式为：
代入点得，
， 整理得，
解得

设小刚应把升降器向上平移kcm，即将抛物线向上平移k个单位，则抛物线解析式为：
将代入解析式得，


即小刚应把升降器向上平移60cm
故答案为：60
【点睛】
本题考查二次函数的应用，关键是根据实际情况建立直角坐标系，用待定系数法求解析式．
18．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度________，液面到点所在水平地面的距离是________．

【答案】         
【解析】
【分析】
建立以抛物线对称轴为y轴，以DC为x轴的平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线于E，交x轴于F点，过B作于M点．分别求出抛物线、直线BE的解析式，以及E点坐标，利用长度公式及勾股定理，勾股逆定理即可得出答案．
解：依题意建立如图平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线于E，交x轴于F点，过B作于M点，

依题意得：，BM=12，
设抛物线的解析式为：
把A、B、C点坐标代入得：
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
设直线BF的解析式为：
把B、M点坐标代入得：

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴C到点BE的距离为：
故图2中液面到点所在水平地面的距离是
故答案为： ，
【点睛】
本题考查了二次函数与实际问题的应用，计算量较大，需要学生熟练掌握二次函数与一次函数交点问题，以及利用勾股逆定理来判别直角三角形．
三、解答题
19．某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满，市场调查表明，当房价在150~225元之间（含150元，225元）浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间．如果不考虑其它因素，宾馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？
【答案】每间租金225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元
【解析】
【分析】
首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，以及客房租金总收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值．
解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，将有20x间客房空出，客房租金总收入为y．
由题意可得：
y＝（150＋25x）（240−20x）
＝−500x2＋3000x＋36000
＝−500（x−3）2＋40500
当x＝3时，y最大值＝40500．
因此每间租金150＋25×3＝225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元．
【点睛】
本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．
20．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【答案】(1)
(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元
【解析】
【分析】
（1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案；
（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．
(1)
解：设，把，和，代入可得
，
解得，
则；
(2)
解：每月获得利润


．
∵，
∴当时，P有最大值，最大值为3630．
答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．
【点睛】
本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．
21．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益＝日租金收入-平均每日各项支出）．
(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为多少元？（用含x的代数式表示）；
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
【答案】(1)（，为整数）
(2)当日租出15辆时， 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，每辆车的日租金收入为：500+（20-x）×50，从而可以解答本题；
（2）根据日收益=日租金收入-平均每日各项支出，可以得出租赁公司日收益，然后根据二次函数的性质，即可求问题的答案．
(1)
解：（，为整数）．
(2)
解∶根据题意得：日租金收入为元．
∴

．
∵租赁公司拥有20辆小型汽车，
∴．
∴当＝15时，有最大值5000．
∴当日租出15辆时， 租赁公司的日收益最大，最大值为5000元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式．
22．图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．
根据相关信息解答下列问题．
飞行时间
0
1
2
飞行高度
0
15
20



(1)求小球的飞行高度（单位：）关于飞行时间（单位：）的二次函数关系式；
(2)小球从飞出到落地要用多少时间？
(3)小球的飞行高度能否达到？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令h=0即可求解；
（3）令，得到方程无解即可判断．
(1)
由题意可设关于的二次函数关系式为，
因为当，2时，，20，
∴，
解得：．
∴关于的二次函数关系式为．
(2)
当，，解得：，．
∴小球从飞出到落地所用的时间为．
(3)
小球的飞行高度不能达到．
理由如下：
当时，，方程即为，
∵，
∴此方程无实数根．
即小球飞行的高度不能达到．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答．
23．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为．


(1)求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
(3)身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，请求出s的取值范围．
【答案】(1)y＝
(2)不能
(3)
【解析】
【分析】
（1）因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），把（0，1），（4，1），（1，1.5）代入，得到三元一次方程组，解方程组即可；
（2）由自变量的值求出函数值，再比较便可；
（3）由y=1.64时求出其自变量的值，便可确定s的取值范围．
(1)
根据题意，抛物线经过点（0，1），（4，1）．
∴        
解得     
∴绳子所对应的抛物线解析式为：y＝．
(2)
身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．       
理由如下：
∵y＝，当x＝时，   
y最大值＝＝．     
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
(3)
当y＝1.64时，＝1.64，     
即＝0．
解得x＝＝．        
∴x1＝2.4，x2＝1.6．       
∴．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是应用二次函数解析式解决实际问题．
24．疫情期间，某口罩生产厂家在保证工厂良性运作的前提下，全力以赴加大生产．已知该厂原本每天最多可生产口罩100件，每件成本为200元，以300元/件对外批发。在人力及各项物资急缺的疫情期间，若想增产必须加大投入：现每多生产2件口罩，平均每件成本增加1元．抗疫期间该厂坚持不涨价原则．
(1)请列出该厂每日利润w关于日产量x的函数；
(2)求出在增产的前提下，日产量为多少时可以保证该厂利益最大化？
(3)请帮助该厂老板计算出如何在不亏本的前提下生产出最多的口罩．
【答案】(1)w=100x (x≤100)；( x＞100)；
(2)当x=150时，w最大=11250
(3)每日最多可生产300件，可以保证不亏本
【解析】
【分析】
（1）根据题意分x≤100、x＞100时，两种情况列出函数关系式即可；
（2）利用二次函数的性质解答即可；
（3）根据二次函数的性质解答即可．
(1)
解：当x≤100时，w=100x；
当x＞100时，w=
= ；
(2)
解：在增产的前提下，，
∵