【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第12讲《中考怎么考-二次函数最值问题》预习讲学案

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第12讲 中考怎么考-二次函数最值问题一、解答题1．（2022·浙江杭州·一模）已知抛物线，其顶点为，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线：与抛物线第一象限交于点，交轴于点，求的值；（3）若有两个定点，，请在抛物线上找一点，使得的周长最小，并求出周长的最小值．2．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，．抛物线过点O，A，B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点是线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点E，交抛物线于点F，以为一边，在的右侧作矩形．①若，求矩形面积的最大值；②若，矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，求m的取值范围．3．（2020·浙江绍兴·模拟预测）已知：如图，是等腰直角三角形，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，P的速度是，Q的速度是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，解答下列问题：（1）当t为何值时，是直角三角形？（2）问：是否存在某一时刻t，使四边形的面积与面积差最小？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；（3）设的长为，试确定y与t之间的关系式；写出当t分别为何值时，达到最短和最长，并写出的最小值和最大值．4．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交双曲线于点抛物线过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐标为．（1）求双曲线与抛物线的解析式．（2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P，Q两点的纵坐标都为，求线段的长．（3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D．过点M作轴，交抛物线于点N．设线段的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围．5．（2019·浙江·温州市南浦实验中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A，B，∠BAO = 30°．抛物线y = ax2 + bx + 1（a < 0）经过点A，B，过抛物线上一点C（点C在直线l上方）作CD∥BO交直线l于点D，四边形OBCD是菱形．动点M在x轴上从点E（ -，0）向终点A匀速运动，同时，动点N在直线l上从某一点G向终点D匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点D的坐标和抛物线的函数表达式．（2）当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合．①过点E作x轴的垂线交直线l于点F，当点N在线段FD上时，设EM = m，FN = n，求n关于m的函数表达式．②求△NEM面积S关于m的函数表达式以及S的最大值．6．（2020·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．7．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，抛物线(t＞0)与x轴的交点为B，A(点B在左边)，过线段OA的中点M作MPx轴，交直线(x＞0)于点P.(1)当t＝3时，直线MP于抛物线对称轴之间的距离为______；当直线MP于抛物线对称轴距离为3时，t＝______.(2)把抛物线在直线MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点)记为，用t表示最高点的坐标.(3)在(2)的条件下，当t＞4时，图像的最高点与P之间的距离何时有最大值，并求出最大值.8．（2019·浙江·宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学九年级阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，顶点为D，连结AC，BC．（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（2）判断三角形ABC的形状，并说明理由；（3）如图2，点P是该抛物线在第一象限内上的一点．①过点P作y轴的平行线交BC于点E，若CP=CE，求点P的坐标；②连结AP交BC于点F，求的最大值．9．（2018·浙江台州·九年级期末）已知抛物线，顶点为A，且经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．10．（2019·浙江杭州·九年级期末）如图1，抛物线与轴交于A（1，0），B（-3，0），与轴交于C（0，3），顶点是G．（1）求抛物线的的解析式及顶点坐标G．（2）如图1，点D（x，y）是线段BG上的动点（不与B，G重合），DE⊥x轴于E，设四边形OEDC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值．（3）如图2，将抛物线向下平移个单位，平移后的顶点式，与轴的交点是.若△是锐角三角形，求的取值范围． 11．（2017·浙江·台州市书生中学九年级阶段练习）如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．（1）判断函数y=3x+1与y=2x+2在0≤x≤2上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．12．（2015·浙江宁波·一模）如图，已知抛物线y=x2+mx+n（n≠0）与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OB，BC∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），DE=，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值．13．（2013·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直角梯形AOCD的顶点A的坐标为（0，），点D的坐标为（1，），点C在x轴的正半轴上，过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C，点P为CD的中点．（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；（2） 在y轴右侧的抛物线上是否存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切．若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为线段OP上一动点（不与O点重合），过点O、M、D的圆与y轴的正半轴交于点N．求证：OM+ON为定值．（4）在y轴上找一点H，使∠PHD最大．试求出点H的坐标．14．（2021·浙江·九年级期末）在平面直角坐标系中抛物线经过点，顶点为点E．过点E作x轴的垂线，垂足为H． （1）求抛物线对应的函数表达式；（2）如图1，将抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与x轴交于C，D两点，其顶点F恰为的中点，求的长．（3）如图2，将（2）中的抛物线沿x轴正方向平移，当点C与点B重合时，将这两条抛物线在x轴以上（包括x轴上）部分的图象记为L．若点在图象L上，且，求a的取值范围．15．（2021·浙江·九年级期末）定义：在平面直角坐标系中，有一条线段，若抛物线的顶点是A，经过点B，抛物线的顶点是B，经过点A，称这两条抛物线是关于线段的一对“有礼抛物线”，如图所示．（1）若抛物线与是一对“有礼抛物线”，求a的值．（2）若线段两端点坐标是，关于线段的一对有礼抛物线是和，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．（3）若抛物线的顶点为A，它与y轴交于点E，点B在抛物线上，关于线段的另一条“有礼抛物线”与y轴交点记为点F，若，求的函数关系式．16．（2021·浙江杭州·二模）已知二次函数y1＝ax2+bx+c，y2＝cx2+bx+a，这里a、b、c为常数，且a＞0，c＜0，a+c≠0．（1）若b＝0，令y＝y1+y2，证明y关于x的函数的图像与x轴没有交点；（2）若x＝x0时，y1＝m，y2＝n，若m＞n，求x0的取值范围；（3）把二次函数y1＝ax2+bx+c的图象关于原点作中心对称变换，所得图像的表达式为y3＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，求m的最大值．17．（2021·浙江·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象经过两点．（1）求b，c的值．（2）连结，，若P是第一象限内抛物线上一点，直线把的面积分成相等的两部分．①求直线的解析式．②将该抛物线沿着射线的方向平移m个单位，使其顶点落在的内部（不包括边界），求m的取值范围．18．（2021·浙江·九年级期末）如图，在直角坐标系中，抛物线交轴的正半轴于点（点在点的右侧），交轴于点为抛物线的顶点．（1）若，求点的坐标．（2）若直线与直线平行，求直线的函数表达式．（3）在（2）的条件下，把点向下平移个单位得到点．若点向右平移个单位，将与该抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与该抛物线上的点重合．已知，求的值．19．（2021·浙江舟山·一模）已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边的长；②抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是______；（2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求的值；（3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为，且的最大值为1，求，的值．20．（2021·浙江舟山·一模）如图，抛物线与轴交于，（，分别在轴的左右两侧）两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，已知．（1）求点，的坐标；（2）判断的形状并说明理由；（3）将沿轴向右平移个单位长度得到．与重叠部分（如图中阴影部分）面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．21．（2021·浙江宁波·二模）已知抛物线C1的解析式为y＝x2+x+2，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B在左边）与y轴于C点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）将抛物线C1平移得到抛物线C2，且C2经过C1上一点P（2，m）C2交y轴于Q，当PQ与y轴相交所成的锐角为45°时，求C2的解析式； （3）将抛物线C1沿直线BC平移，与射线AC仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的取值或取值范围．22．（2020·浙江·九年级期末）如图，已知二次函数的图象经过点．（1）求m的值和图象的顶点A的坐标；（2）点在该二次函数图象上．①将点Q向左平移6单位得点，若恰好也在抛物线上，求n，t的值；②将横、纵坐标均为整数的点称为整点，在直线下方的抛物线上（包括边界）恰好存在7个整点，则t的取值范围是_______．23．（2020·浙江绍兴·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即．（1）在上面规定下，抛物线的顶点为      ，伴随直线为       ；（2）若顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的左侧）． ①若求的值；②如果点是直线BC上方抛物线的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求的值．24．（2020·浙江杭州·九年级阶段练习）理解发现对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}＝，解决下列问题：（1）如果min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的取值范围为　   ≤x≤　   ．（2）如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，试求x的值，并请求出从1至9这9个自然数中任取一个，满足x的值的概率．（3）在同一直角坐标系中作出函数y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的大值为　   ．25．（2019·浙江·临海市台州学院附属中学九年级期中）在平面直角坐标系中，已知(b、c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，－1)，点C的坐标为(4， 3)，直角顶点B在第四象限．(1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．(3)在(2)的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，在滑动过程中线段PQ的长度是否发生变化？若不变，请直接写出PQ的长度，若改变请说明理由．(4)在(2)的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．26．（2020·浙江·模拟预测）点为坐标平面内一点：（1）①如图1，点为直线上的任意一点，那么________；②如图2，点为矩形上一点，且，则的最大值为______；（2）已知点在第一象限，过点分别作轴、轴垂线于点、点，若矩形的面积为12且，求矩形周长的最大值与最小值；（3）如图3，点为二次函数的图像与轴的左侧交点，点、点为二次函数图像上的动点，依次连结．若是以为直角边的直角三角形，点为三边上的动点，当时，求点的横坐标的取值范围．