【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第18讲《圆》预习讲学案

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第18讲 圆 
一、圆的定义1. 圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
　　　　　　　　
要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
  　    ②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点：①定点为圆心，定长为半径；
　　  ②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　  ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r.  “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；三、与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
　　直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点：
　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
　　　　　　　　
　　证明：连结OC、OD
　　　　　　 　
　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　  ②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
      ②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角.要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.                     外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.例1．下列说法正确的是（       ）A．直径是弦 B．弦是直径 C．半圆包括直径 D．弧是半圆例2．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ）A．2 B．3 C．4 D．5例3．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则（　　）A．点A在⊙O上             B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外             D．点A与⊙O的位置关系无法确定例5．如图，小明顺着大半圆从地到地，小红顺着两个小半圆从地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（       ）A． B． C． D．不能确定例6．下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（       ）A．①② B．①③④ C．①③ D．②④例7．下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆； 正确的有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例8．若所在平面内一点P到上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（       ）A．5 B．3 C．5或3 D．10或6例9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（　　）A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定例10．如图，以C为圆心的圆过的中点 D，则（ ）．A．2 B．3 C． D．  一、单选题1．下列条件中，能确定一个圆的是（       ）A．以点为圆心 B．以长为半径C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点2．下列说法正确的是(       )A．直径是圆的对称轴B．经过圆心的直线是圆的对称轴C．与圆相交的直线是圆的对称轴D．与半径垂直的直线是圆的对称轴3．有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（　　）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种4．已知的直径为，点P到圆心O的距离，则点P(       )A．在外； B．在上； C．在内； D．不能确定；5．已知点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，则下列说法中正确的是（       ）A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆内部6．如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦．A．2 B．3 C．4 D．57．在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是(     )A．C在⊙A上 B．C在⊙A外C．C在⊙A内 D．C在⊙A位置不能确定8．下列说法中，不正确的个数是（       ）①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则(　　)A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内10．如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（          ）条弦.A．2 B．3 C．4 D．511．已知，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（       ）A． B． C． D．12．已知：如图，是的直径，是的弦， ，的延长线交于E，，，求 的角度是（ ）．A． B． C． D．二、填空题13．圆上任意两点间的部分叫做________，简称___．以A、B为端点的弧，记作__________，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做_______．14．如图，在中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________．15．过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．16．已知的面积为．（1）若，则点P在________；（2）若，则点P在________；（3）若_________，则点P在上．17．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了_____m．18．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）19．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为_________．20． ，是半径为3的上两个不同的点，则弦的取值范围是________．21．如图，在矩形中，，以顶点为圆心作半径为的圆．若要求另外三个顶点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是_______．22．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、(m＞0)，点P在以D(4，5)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则m的取值范围是_________________． 三、解答题23．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．（1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？（2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？（3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？24．如图，一枚直径为d的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少？25．已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P．（1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？（2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？26．设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形．27．的半径为，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和的位置关系：（1）；（2）；（3）．28．中，．求证：三点在同一个圆上．29．找出图中所有的弦、优弧和劣弧．30．在平面直角坐标系中，作以原点O为圆心，半径为4的，试确定点与的位置关系．31．一张靶纸如图所示，靶纸上的1，3，5，7，9分别表示投中该靶区的得分数，小明、小华、小红3人各投了6次镖，每次镖都中了靶，最后他们是这样说的：小明说：“我只得了8分．”小华说：“我共得了56分．”小红说：“我共得了28分．”他们可能得到这些分数吗？如果可能，请把投中的靶区在靶纸上表示出来（用不同颜色的彩笔画出来）；如果不可能，请说明理由．32．如图，菱形的对角线相交于点O，四条边的中点分别为．这四个点共圆吗？圆心在哪里？33．阅读下列材料：平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：　 　；（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．