【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第22讲《圆周角》预习讲学案

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第22讲 圆周角

一、圆周角
1.圆周角定义：
　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
　　　　　
2.圆周角定理：
　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）

3.圆周角定理的推论1：
　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

4.圆周角定理的推论2：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.

例1．如图，其中圆周角有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案．
解：根据题意，，是圆周角，共2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断．
例2．下列说法错误的是（      ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
【答案】D
【解析】试题分析：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧相等；在圆中一条弦所对的圆周角有两个，它们互为补角，故选择D．
例3．如图，点，，都在上，，则等于（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OC，根据等边对等角即可得到∠B=∠BCO，∠A=∠ACO，从而求得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
连接OC．
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
同理，∠A=∠ACO，
∴∠ACB=∠A+∠B=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°．
故选：C．

【点睛】
本题考查了圆周角定理，正确作出辅助线，求得∠ACB的度数是关键．
例4．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠OAB的度数是（　　）

A．35° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可.
∵∠AOB与∠C是同弧所对的圆心角与圆周角，
∴∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝＝55°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理及等腰三角形的性质是关键.
例5．如图，点A，B，C都在⊙O上，，则（       ）


A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
解：∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
例6．如图，已知是的直径，若，点在上，则等于（        ）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】
【分析】
由是的直径，可得的值，又由，则可得，由圆周角定理可得.
由是的直径，可得，又由，则可得，由圆周角定理可得.故选择D项.
【点睛】
本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理.
例7．如图，是外一点，，分别交于，两点，已知和所对的圆心角分别为和，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OC、OD、OA、OB，由圆周角定理，得到，，然后利用三角形的外角性质，即可求出答案．
解：如图：连接OC、OD、OA、OB，

∵和所对的圆心角分别为和，
即，，
∴，，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．
例8．如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AD，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
解：连接AD，如图，
AB为的直径，
，
，
．
故选B．

【点睛】
本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
例9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BC＝DC，若∠BOD＝124°，则∠A的大小为（　　）

A．27° B．31° C．56° D．63°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠DOC＝∠BOC，求出∠BOC的度数，根据圆周角定理得出∠A＝∠BOC，再求出答案即可．
解：连接OC，

∵BC＝DC，
∴∠DOC＝∠BOC，
∵∠BOD＝124°，
∴∠BOC＝∠BOD＝62°，
∴∠A＝∠BOC＝31°（圆周角定理），
故选：B．
【点睛】
本考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记知识点是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
例10．如图，A、B、C、D是上四点，且点D是的中点，交于E，，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理，得．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得．
解：连接，
是弧的中点，，
，
，
，
故选：A．

【点睛】
本题考查了圆周角定理及其推论以及三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本题的关键．
例11．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE=1，则AE的长为（　　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE是直角三角形，用勾股定理求AE即可．
解：连接AD，
∵∠BOD=120°，AB是⊙O的直径，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA =60°，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠AED=90°，
∵DE=1，
∴AD=2DE=2，
AE=，
故选：A．

【点睛】
本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．
例12．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，则∠DCA的度数（　　）

A．35° B．40° C．45° D．65°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先连接BC，由AB是直径，可求得∠ACB=90°，则可求得∠B的度数，然后由翻折的性质可得，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，继而求得答案．
连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°−∠BAC=90°−25°=65°，
根据翻折的性质,弧AC所对的圆周角为∠B,弧ABC所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB−∠A=65°−25°=40°.
故选B.
【点睛】
本题考查圆周角定理，连接BC是解题的突破口.
例13．如图，经过原点O，并与两坐标轴相交于A，D两点，已知，点D的坐标为，则圆心C的坐标为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角坐标系的两坐标轴的垂直关系，连接AD，可证AD为直径；将已知圆周角∠OBA转化，即∠D=∠OBA=30°，在Rt△OAD中，根据勾股定理计算即可求解．
如图所示：

连接AD，OC， ∵∠DOA=90°，
所以AD为直径，即点C在AD上，
由圆周角定理，得∠D=∠OBA=30°，则∠CAO=60°，
又因为OC=CA，
所以三角形OAC为等边三角形，
所以OA=OC=，
在Rt△OAD中，OD=2，根据勾股定理得：
AD=， 即圆的半径为．
点C为AD的中点，
所以圆心C的坐标为（，1），
故选C.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，以及坐标与图形，解决本题的关键是要正确添加辅助线AD的，将已知条件集中到Rt△OAD中解直角三角形．
例14．如图，以的边BC为直径的分别交AB，AC于点D，E．若，，则AC的长为（       ）

A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接CD，由圆周角定理可得，再说明，，最后根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半即可解答．
解：如图：连接CD
，
∴．
为的直径，
，
．
，，
．
故答案为C．

【点睛】
本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆的性质等知识点，根据圆周角定理求得是解答本题的关键．
例15．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（     ）

A．37° B．74° C．54° D．64°
【答案】B
【解析】
【分析】
由∠BAC=27°，∠BEC=64°，根据三角形外角的性质，即可求得∠C的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOD的度数．
解：∵∠BEC是△AEC的外角，
∴∠BEC=∠C+∠BAC，
∵∠BAC=27°，∠BEC=64°，
∴∠C=∠BEC-∠BAC=64°-27°=37°，
∴∠AOD=2∠C=2×37°=74°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
例16．如图，AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，点D是半圆AB上一动点（不与A、B重合）,连结DC交直径AB与点E,若∠AOC=60°，则∠AED的范围为（       ）

A．0°< ∠AED