第18讲 成比例线段-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第18讲 成比例线段

1.   了解成比例线段；
2.   掌握比例的性质；
3.   掌握黄金分割及其应用。

1． 成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

2．比例的性质：

（1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc；

（2）合比性质：如果

               如果

（3）等比性质：如果

（4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项．

要点：

通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。

3.黄金分割

   如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点. ≈0.618AB(叫做黄金分割值).

要点：

线段的黄金分割点有两个.

考点1：成比例线段

例1．下列各组线段中，成比例线段的组是（    ）

A． B．

C． D．

例2．线段，，，的长度如下：

①，，，；

②，，，；

③，，，；

以上组数据中，能使，，，构成比例线段的有．（   ）

A．组 B．组 C．组 D．组

考点2：比例的性质

例3．已知、是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

例4．已知，那么的值是（    ）．

A． B． C． D．

例5．如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（   ）

A． B． C． D．

例6．（1）若，则___________；

（2）若，则___________；

（3）若，则___________．

考点3：比例中项

例7．如果，且是和的比例中项，那么等于（    ）

A． B． C． D．

例8．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ）

A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18

C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项

例9．已知线段a、b满足，且．

(1)求a、b的值；

(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．

例10．在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　）

A．50cm B．500cm C． D．

考点4：比例尺的应用

例11．、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是________．

例12．两地的实际距离是，在地图上量得这两地的距离为，这幅地图的比例尺是多少？

考点4：比例的性质综合

例13．下列结论不一定成立的是（    ）

A．如果，那么

B．如果，那么

C．如果，（），那么

D．如果，那么

例14．已知：．

(1)求代数式的值；

(2)如果，求a的值.

例15．已知，，求的值．

例16．若，求的值．

考点5：分类讨论题

例17．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是__________．

例18．已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．

例19．若，则的值为_____．

考点6：黄金分割

例20．已知P点为线段的黄金分割点，，且，则___________

例21．点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（    ）

A． B． C． D．

例22．已知，点线段的黄金分割点，且，那么________．

例23．已知：线段，点是的黄金分割点，且，则_____，________．

考点7：黄金分割比的形式拓展

例24．已知线段，点在线段上，且，那么线段的长_____ ．

例25．如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么_____．

例26．已知线段，若，是的两个黄金分割点，则长为______．

例27．已知线段，点P是线段的黄金分割点，且，那么的长为______．

考点8：黄金分割的应用

例28．一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　）

A． B． C． D．

例29．宽与长的比值等于黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果贺年卡的长的等于厘米，那么贺年卡的宽等于______厘米．（，精确到）

例30．黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台的长为18米，主持人站在点处自然得体．已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 _________米．

例31．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见.主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体，如图，舞台长米，点是线段的黄金分割点(即 )，则的长是______ ．

例32．在学习“黄金分割”时，某同学采用下列方法作线段的一个黄金分割点C：如图，过线段的端点B作，使；连接，在上截取，在上截取，则点C即为所求．你认为他的作图是否正确？_______（填“正确”或“不正确”）

例33．在20世纪70年代，著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中点E为边的黄金分割点（）．已知为2米，则线段的长为______米（结果保留根号）．

例34．如图，线段，点C是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，以此类推，则__________．

考点9：黄金分割难点

例35．请阅读下列材料，并完成相应的任务：

公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．

如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数．

为简单起见，设，则．

∵，∴……

任务：

(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．

(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：

①设是已知线段，过点B作且使；

②连接，在上截取；

③在上截取；

则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？

(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　．

例36．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：

“如图 ，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．

材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．

请根据以上材料，回答下列问题

（1）如图 ，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝　　　　　　，CD＝　　　　　　．

（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．

（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值．

一、单选题

1．（2018·甘肃陇南·中考真题）已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　）

A． B．2a=3b C． D．3a=2b

二、填空题

2．（2020·湖南娄底·中考真题）若，则________．

3．（2017·湖南娄底·中考真题）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是______千米（结果精确到1千米）

4．（2018·四川成都·统考中考真题）已知，且，则的值为__________．

5．（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：__________

6．（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）已知，则________

7．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为______．

8．（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．

9．（2022·陕西·统考中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．

一、单选题

1．下列各组线段的长度成比例的是（   ）

A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cm

C．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm

2．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（　　）

A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米

3．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（   ）

A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5

4．如果，那么下列等式中不成立的是（　　）

A． B． C． D．

5．已知线段是线段、的比例中项，且，，则等于（    ）．

A． B． C． D．无法确定

6．下列说法正确的是（　　）

A．每一条线段有且只有一个黄金分割点

B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍

C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项

D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618

7．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（　　）

A． B． C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC•BA

8．已知，且，则下列结论中：①；②；③，正确的有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

9．若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（    ）

A． B． C． D．

10．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ）

A． B． C． D．

11．如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ）

A． B．是和的比例中项

C． D．

12．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

13．如图，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点.若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是（　　）

A．  B．  C．  D．不能确定

14．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

15．如果，那么________．

16．已知线段长是是线段上的一点，且满足那么长为____．

17．已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么_____．

18．已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么的长度是________．

19．已知线段AB=2cm，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC等于__________cm

20．已知点P把线段分割成和（）两段，如果是和的比例中项，那么的值等于___________．

21．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．

22．若，给出下列各式：①；②；③；④，其中正确的是________.（填写所有正确的序号）

23．，，，，，满足关系：，则代数式的值是______．

24．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分制”数．把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，D是边的“黄金分割”点，若，且，则的长度是____________．

三、解答题

25．如果，且，求的值．

26．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．

（2）已知x：y＝4：3，求的值．

27．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．

28．已知线段AB=10cm，点C是AB上的黄金分割点，求AC的长是多少厘米？

29．如图，在线段上有一点，若，则称点为的黄金分割点，现已知，点是线段的黄金分割点，求的长.

30．（1）已知，求的值．            

（2）已知，求的值．

31．一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．请计算黄金比．

32．已知=k，求k2-3k-4的值．

33．已知a，b，c，d都是互不相等的正数.

（1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；

（2）若请判断和的大小关系，并证明；

（3）令若分式的值为3，求t的值.

34．中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．

(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；

(2)若，求的面积．（结果保留根号）

35．如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且．

(1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　；

(2)如图1，设，请你说明为什么k约为；

(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由；

(4)图3中的的黄金分割线有几条？