【暑假提升】苏教版数学三年级（三升四）暑假预习：第8单元《垂线与平行线》讲义（知识点+例题+练习）（含解析）

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苏教版四年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义第8单元 垂线与平行线1、线段、射线、直线的相同点和不同点名称相同点不同点端点长度线段直的2个有限长射线1个无限长直线没有无限长注意：经过n个点最多可以画n×(n－1)÷2条直线。2、两点之间线段最短。3、连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。4、从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。角是由一个顶点和两条边组成的。角的大小和角的两边张开的大小有关。5、直角=90度；平角=180度；周角=360度。1平角＝2直角，1周角＝2平角＝4直角，锐角小于90度，钝角大于90度且小于180度。 6、两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。（画垂线必须要有直角符号）7、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。注意：a过一点作已知直线的垂线的方法：一贴、二靠、三移、四画、五标记。b从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫做这点到这条直线的距离。 点到直线的所有线中,垂直线段最短。平行线之间的距离,处处相等。8、在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。同一平面内两条直线的位置关系是：相交和不想交；相交又分为垂直和不垂直。9、一副三角尺的度数分别是：30度、60度、90度和45度、45度、90度。用一副三角尺还能画出15度（60-45或45-30）、75度（45+30）、105度（60+45）、120度（90+30）、135度（90+45）和150度（90+60）的角。10、两条平行线之间的垂直线段可以画无数条，长度都相等。11、钟面上共有12大格，共360°，每一大格30°，每一小格6°。钟面上3时和9时整,时针和分针组成了直角;钟面上6时整,时针和分针组成了平角。12、风筝线与地面所形成的角的度数越大，风筝飞得越高。13、丹顶鹤结队飞行时通常排成“人”字形，角度一般保持在110度左右。14、在物体的质量相同，斜面的长度相同时，物体从成45°角的斜面上滚下会滚得最远。附：常用数量关系正方形的面积=边长×边长 （S=a×a）正方形的周长=边长×4 (C=a×4=4a)长方形的面积=长×宽 (S=a×b=ab)长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a＋b)×2总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度【例1】说一说线段、射线、直线有什么相同点和不同点？【分析】根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长。【解答】解：相同点：线段、射线和线段都是平面图形。不同点：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长。【点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点。【例2】连接如图的点画线段，能画几条就画几条。量一量，其中最长一条线段的长度是　6　厘米。【分析】用直尺画出相应的三条线段，并用刻度尺量出长度即可。【解答】解：其中最长一条线段的长度是6厘米。故答案为：6【点评】掌握用刻度尺测量长度的方法。【例3】实践场院。（1）以射线a为一边，画一个80°的角；（2）过点P画角两边的垂线；（3）点P到射线a的最短距离是　3　厘米。【分析】（1）把量角器的中心与射线的端点重合，0°刻度线与射线a重合，过表示80°刻度的点画与射线为公共端点的射线，两射线所成的角就是80°的角。（2）把三角板的一直角边靠紧射线a，沿这条射线滑动三角板，当另一直角边经过已知点P时，沿这条直角边画直线，这条直线就是过点P画角一边的垂线；同理即可作出过点P的角另一边的垂线。（3）点p到垂足之间的线段长就是点P到射线a的最短距离，用刻度尺即可量出。【解答】解：（1）以射线a为一边，画一个80°的角（下图）；（2）过点P画角两边的垂线（下图）；（3）点P到射线a的最短距离是3厘米。故答案为：3。【点评】此题考查的知识点：用量角器画已知角、过直线外一点作已知直线的垂线、垂直线段的性质及点到直线的距离等。【例4】如图小明在游泳池里游泳，现在A处，他想尽快游上岸，你能帮他设计一条最近的游上岸的路线吗？请在图中画出来，并说明理由。设计的理由　从直线外一点画到直线的线段中垂直的线段最短　。【分析】首先目测点A到这个长方形的哪条边较近，然后过点A向哪条边画垂线，点A到垂足间的路线最短。理由：从直线外一点画到直线的线段中垂直的线段最短。【解答】解：帮他设计一条最近的游上岸的路线如下图：设计的理由：从直线外一点画到直线的线段中垂直的线段最短。故答案为：从直线外一点画到直线的线段中垂直的线段最短。【点评】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称垂线段最短。【例5】在学校运动会上，四（2）班的同学取得了优异的成绩（获奖人数见表一）．为此，班主任老师准备给他们购买奖品（准备购买的奖品种类与价格见表二）．表一第一名第二名第三名鼓励奖3人4人6人12人表二商品称名价格圆珠笔每支4元铅笔盒每个18元计算器每个22元钢笔每支24元羽毛球拍每副35元足球每个40元（1）如果用不超过100元购买鼓励奖奖品，可以买什么奖品？买多少？、（2）如果王老师准备用350元给所有获奖学生购买奖品，请帮王老师设计一种购买方案，并说明理由．【分析】（1）鼓励奖的12人，必须买12件奖品，所购奖品单价必须低于10元，这样的奖品只有买圆珠笔．（2）根据“总价＝单价×数量”，每种奖品所买的数量必须和得该奖项的人数相等．第一名可买羽毛球拍，用35×3＝105（元）；第二名可买计算器，用22×4＝88（元）；第三名可买铅笔盒，用18×6＝108（元），鼓励奖同（1），用4×12＝48（元）．105+88+108+48＝349（元），低于350元，且最接近350元．【解答】解：鼓励奖12人，需要买同一奖品12件，总价不超过100元100÷12≈8.3（元）这样的奖品只能买圆珠笔4×12＝48（元）答：可以买圆珠笔，买12个．（2）35×3＝105（元）22×4＝88（元）18×6＝108（元）4×12＝48（元）105+88+108+48＝349（元）答：第一名买羽毛球拍，第二名买计算器，第三名买铅笔盒，鼓励奖买圆珠笔，这样的用的钱数低于350元，且最接近350元．【点评】此题是考查如何从统计表中获取信息，并根据所获取的信息解决实际问题．关键：一、每种奖品所买的数量必须和得该奖项的人数相等；二、（1）总价低于10元，（2）总价低于或等于350元．一．选择题（共8小题）1．射线（　　）端点．A．没有 B．有一个 C．有两个 D．不能确定2．两点之间，（　　）最短。A．线段 B．射线 C．直线3．下列图形中，只有一组平行线的是（　　）A． B． C．4．下列画垂线的方法，正确的是（　　）A． B． C．5．铅笔平移前后的线条（　　）。A．互相平行 B．不平行 C．可能互相垂直6．如图中有（　　）组互相平行的线。A．1 B．2 C．37．同一个平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　）A．相交 B．互相垂直 C．互相平行8．用一副三角尺拼组后不能画出的钝角度数是（　　）A．120° B．175° C．135° D．150°二．填空题（共10小题）9．用一副三角板可以拼出的钝角有　                　．10．过直线外一点可以画　   　条与它相交的直线，可以画　   　条已知直线的垂线，还可以画　   　条已知直线的平行线．11．线段有　 　个端点，平行线间的距离　 　。12．同一平面内，两条直线相交成4个角，其中1个角是直角，其余3个角都是　 　角，这时我们可以说这两条直线　 　。13．如图有　 　条线段，　 　个锐角，　 　个直角，　 　个钝角。14．在公路上有三条小路通往小红家，它们的长度分别是98米、179米、123米，其中有一条小路与公路垂直，那么这条小路的长度是　   　米。15．已知线段AB、CD都是与下面的平行线互相垂直的两条线段，如果AB长2厘米，那么线段CD的长度是　 　厘米。16．量一量。　   　度。17．画角时，要先画一条　   　，使量角器的　   　和射线的端点重合，　   　和射线重合。18．乐乐家的电表度数如下表．（单位千瓦时）7月底8月底9月底10月底11月底12月底430545640 825920乐乐家8月份的用电量是　    　千瓦时，乐乐家从8月份到12月份总用电量是　    　千瓦时．三．判断题（共5小题）19．从一点到一条直线只能画一条垂线段．　 　．（判断对错）20．如图是线段。　 　（判断对错）21．工人在砌墙时用铅锤来检验墙与地面是否平行。　 　（判断对错）22．画一个135°的角只能用量角器画。　 　（判断对错）23．用一副三角板画出一个15°角．（要保留画图的过程或列出算式）四．操作题（共3小题）24．从小明家到菜园和到公路各修一条小路。请你从节约成本的角度考虑，帮小明家设计两条小路的修建路线，并画在图上。25．分别过点A、B，画直线a的垂线。26．画一画。（1）画一个80°的角。（2）用一副三角板画一个120°的角。五．解答题（共5小题）27．运动场两侧有两条互相平行的直线，体育老师在这两条直线之间画了四条垂线，甲、乙、丙、丁四名同学分别沿着这四条垂线跑，有的同学却说沿着中间垂线跑的同学路程短，这名同学的说法对吗？为什么？28．小新说：“在同一平面内，两条直线不是互相平行，就是互相垂直．”你认为他说得对不对？如果不对，请指出错在哪里．29．分别过A、B、C三点作已知直线的垂线，说说你的发现。我发现：这三条垂线互相　   　。30．用一把长度15厘米的尺子可以画出比它长很多的线段，那么用一个常规量角器能画230°的角码？请你想办法试一试，以点A为顶点，把230°的角画在下面框内，并说明你的想法。我是这样想的：　                　。31．量一量，画一画． （1）写出下角各部分的名称，并量出它的度数．（2）过A点画出已知直线的平行线和垂线．
参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】射线有一个端点，据此解答即可。【解答】解：射线有一个端点。故选：B。【点评】根据射线的定义，解答此题即可。2．【分析】根据线段的特点和性质解答此题即可。【解答】解：两点之间，线段最短。故选：A。【点评】根据线段、射线和直线的特征解答此题即可。3．【分析】根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形是梯形，而长方形、平行四边形有2组平行线，据此解答即可。【解答】解：由分析得出：只有一组对边平行，这个图形是梯形。故选：B。【点评】本题考查四边形的分类：两组对边都平行的四边形是平行四边形，只有一组对边平行的四边形是梯形。4．【分析】画垂线时，可以借助三角尺或量角器，必须保证三角尺的一条直角边（或量角器的0°刻度线）与已知直线重合；据此解答即可。【解答】解：画垂线的方法，正确的是；其它选项操作错误。故选：A。【点评】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力。5．【分析】根据平行线的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；据此解答即可。【解答】解：铅笔平移前后的线条是互相平行的。故选：A。【点评】此题考查了平行线的含义，应灵活掌握和应用。6．【分析】根据平行的性质：不相交的两条直线叫做平行线；据此判断即可。【解答】解：如图中有3组互相平行的线。故选：C。【点评】此题考查了平行的特征和性质，根据意义判断即可。7．【分析】根据垂直的性质：同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；进行解答即可．【解答】解：根据垂直和的性质得：两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；故选：C。【点评】解题的关键是熟练掌握垂直的性质定理，本题是一个基础题．8．【分析】先明确一副三角板的六个角共有四个度数：30°，45°，60°，90°。然后进行加减运算，找到符合条件的角，据此即可解答。【解答】解：A、120°＝90°+30°，能用一副三角尺拼画；B、175°不能用一副三角尺拼画；C、135°＝90°+45°，能用一副三角尺拼画；D、150°＝90°+60°，能用一副三角尺拼画。故选：B。【点评】本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握。二．填空题（共10小题）9．【分析】一副三角尺中的角有30度，60度，45度，90度，通过角的加减运算可以拼出不同的钝角．【解答】解：因为45°+60°＝105°；30°+90°＝120°；60°+90°＝150°；45°+90°＝135°；所以用一副三角尺可以拼出105度，120度，135度，150度的钝角．故答案为：105度、120度、135度、150度．【点评】明确一副三角板的各个角的度数是解决本题的关键．10．【分析】根据相交的定义可知：过直线外一点可以画 无数条与它相交的直线；根据平行和垂直的性质：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画一条；过直线外一点画已知直线的平行线，可以画一条，据此解答．【解答】解：过直线外一点可以画 无数条与它相交的直线，可以画 一条已知直线的垂线，还可以画 一条已知直线的平行线．故答案为：无数、一、一．【点评】此题考查了直线的性质及平行、垂直的性质，注意基础知识的识记和理解．11．【分析】根据线段的定义：线段有两个端点；根据垂直和平行的性质可得：两条平行线之间的距离都相等；据此解答即可。【解答】解：线段有2个端点，平行线间的距离相等。故答案为：2；相等。【点评】这道题解题的关键是要明确平行线间的距离都相等这一点。12．【分析】根据直角的意义，90度的角叫做直角。如果两条直线相交成的4个角中，其中1个角是直角，那么其它3个角一定都是直角。这时我们可以说这两条直线相互垂直，据此解答即可。【解答】解：同一平面内，两条直线相交成4个角，其中1个角是直角，其余3个角都是直角，这时我们可以说这两条直线相互垂直。故答案为：直；相互垂直。【点评】此题考查的目的是理解掌握直角的意义及应用，理解垂直的定义。13．【分析】根据线段的意义：线段有两个端点，有限长，可以测量；根据锐角、直角和钝角的意义，分类按顺序数一数即可。【解答】解：如图有5条线段，5个锐角，2个直角，1个钝角。故答案为：5；5；2；1。【点评】此题主要考查了组合图形的计数问题的应用，注意不能多数、漏数。14．【分析】因为“点到直线的距离，垂线段最短”，在这三条小路中，98米最短，所以这条小路的长度是98米。【解答】解：98米＜123米＜179米，因为有一条小路与公路垂直，根据点到直线的距离，垂线段最短，所以这条小路的长度是98米。故答案为：98。【点评】解答此题应明确：点到直线的距离，垂线段最短。15．【分析】两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。【解答】解：根据分析可知，AB和CD均为两条平行线之间的垂线段，则AB＝CD，线段CD的长度是2厘米。故答案为：2。【点评】本题考查平行的性质，明确平行线之间的重线段相等是解决本题的关键。16．【分析】把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数。【解答】解：如图这个角是40度。故答案为：40。【点评】用量角器度量角的度数，关键是量角器的正确、熟练使用。17．【分析】画角时，先画一条射线，把量角器的中心与射线的端点重合，0°刻度线与射线重合，过量角器上表示与要画角的度数相同的刻度画与先画的射线为公共端点的射线，两射线的夹角就是所画的角。【解答】解：画角时，要先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°和射线重合。故答案为：射线，中心，0°。【点评】此题是考查用量角器画角的方法，要记住。18．【分析】（1）由统计表示即可看出乐乐家7月份和8月份月底电表的读数，用本月底电表读数减去上月底电表读数就是本月的用电量；（2）由统计表示即可看出乐乐家7月份和12月份月底电表的读数，可以利用12月的底电表读数减去6月的底电表读数就是乐乐家下半年总的用电量．【解答】解：545﹣430＝115（千瓦时）；920﹣430＝490（千瓦时）；答：乐乐家8月份的用电量是115千瓦时，乐乐家从8月份到12月份总用电量是490千瓦时．故答案为：115，490．【点评】本题主要考查了学生能够根据图表抽象出具体实际问题，结合实际解决问题，注意相邻表底的差表示的实际意义是解决的关键．三．判断题（共5小题）19．【分析】根据垂线的性质：过直线外一点作已知直线的垂线，能作且只能作1条；据此判断即可．【解答】解：根据垂线的性质可知：过直线外一点，向已知直线作垂线，只能作一条，因此从一点到一条直线只能画一条垂线段．故答案为：√．【点评】本题主要考查了垂线的性质，准确理解性质是解题的关键．20．【分析】线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。线段有2个端点，不能延伸，可以测量长度。据此解答即可。【解答】解：是曲线，不是线段。故原题说法错误。故答案为：×。【点评】此题考查了线段的定义，要熟练掌握。21．【分析】重锤线是利用重物静止时线总是竖直下垂的原理制造的仪器，与重锤线平行的线或面都是竖直的，与重锤线垂直的线或面都是水平的，所以工人在砌墙时用铅锤是为了检测墙与地面是否垂直；由此判断即可。【解答】解：工人在砌墙时用铅锤是为了检测墙与地面是否垂直，所以本题说法错误。故答案为：×。【点评】此题主要考查了垂线的应用，在生产和生活中，我们常用重锤线来检验一条直线是否竖直或一个平面是否水平。22．【分析】135°＝90°+45°，135°角既可用量角器画，也可用三角板中的直角和45°角画。【解答】解：如图135°角既可用量角器画，也可用三角板中的直角和45°角画。原题说法错误。故答案为：×。【点评】一些特殊角（15°倍数的角）既可用量角器画，也可用三角板中某个角或几个角的和或差画。23．【分析】因一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°把它们进行组合，可得到的角有45°﹣30°＝15°，据此解答．【解答】解：根据题干分析，画角如下：45°﹣30°＝15°，【点评】本题考查了学生利用三角板画角的能力．四．操作题（共3小题）24．【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点到已知直线的所有线段中，垂线段最短，把公路看作一条直线，小明家和菜园分别看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，画出垂直线段。【解答】解：画图如下：【点评】本题考查了点到直线的距离垂线段最短，以及过一点画已知直线的方法。25．【分析】过直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边靠紧已知直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线。【解答】解：画图如下：【点评】过已知直线外（或直线上）作已知直线的垂线，关键是三角板正确、熟练作用、三角板与直尺（或另一三角板）的配合使用。26．【分析】（1）80°角只能用量角器画（把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数）。（2）120°＝90°+30°＝60°+60°，120°角既可用量角器画，也可用三角板中的直角和30°角或60°角画。【解答】解：（1）画一个80°的角（下图）。（2）用一副三角板画一个120°的角（下图）。【点评】一般角要用量角器画，一些特殊角（150°倍数的角），既可用量角器画，也可用三角板中的某个角或几个角的和或差画。五．解答题（共5小题）27．【分析】在两条平行线之间，可以画无数条与两条直线都垂直的线段，且他们的长度相等【解答】解：在两条平行线之间，可以画无数条与两条直线都垂直的线段，且他们的长度相等．所以甲、乙、丙、丁四名同学分别沿着这四条垂线跑，跑的路程一样，这名同学的说法不对．【点评】此题主要考查垂直与平行的特征及性质：两条平行线之间能画无数条垂线，并且两平行线之间的距离相等．28．【分析】同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交，据此解答．【解答】解：在同一平面内，两条直线只有相交和平行两种位置关系，垂直是一种特殊的相交；所以小新的说法不对，在同一平面内，两条直线不是互相平行，就是相交．【点评】此题主要考查在同一平面内，两条直线的位置关系．29．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，B点重合，C点重合，过A、B、C点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可；再根据位置关系确定过A点、B点画的两条线是互相平行的。【解答】解：画图如下：我发现：这三条垂线互相平行。故答案为：平行。【点评】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力。30．【分析】先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器50°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的50°角，再反向延长50°角的一条边，可得230°的角。【解答】解：如图所示：我是这样想的：先画50°角，再反向延长50°角的一条边，可得230°的角。故答案为：先画50°角，再反向延长50°角的一条边，可得230°的角。【点评】此题主要考查利用量角器画角的方法。31．【分析】（1）根据角的概念：由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；其中这一点叫做顶点，引出的两条射线，叫做边；用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和其中一条边重合，另一条边指向的刻度，就是这个角的度数． （2）用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可．把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：【点评】此题考查了角的含义、角的各部分名称及运用量角器测量角的度数的方法．同时考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力．