【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第02讲《探索三角形全等的条件》预习讲学案

第02讲 探索三角形全等的条件

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”“HL”定理.

2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.

【基础知识】

一．全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．

（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．

（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

二．直角三角形全等的判定

1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．

三．全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

四．全等三角形的应用

（1）全等三角形的性质与判定综合应用

用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．

（2）作辅助线构造全等三角形

常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．

（3）全等三角形在实际问题中的应用

一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．

【考点剖析】

一．全等三角形的判定（共5小题）

1．（2021秋•无锡期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加条件 　   　后，可以判定△ABC≌△DEF．

2．（2021秋•宜兴市期末）如图，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 　   　．（只需写出一个条件即可）

3．（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．

4．（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．

5．（2021秋•连云港期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（　　）

A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边

二．直角三角形全等的判定（共4小题）

6．（2021春•姑苏区期末）下列说法中正确的个数有（　　）

①在同一平面内，不相交的两条直线必平行；

②同旁内角互补；

③（a﹣3b）2＝a2﹣9b2；

④（x﹣2）0＝1；

⑤有两边及其一角对应相等的两个直角三角形全等；

⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．（2020秋•郫都区期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　）

A．HL B．ASA C．SAS D．SSS

8．（2021秋•高淳区期中）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 　   　，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．

9．（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　   　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．

三．全等三角形的判定与性质（共8小题）

10．（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（　　）

A．155° B．125° C．135° D．145°

11．（2021秋•河东区期末）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5

12．（2021秋•桐柏县期末）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（　　）

A．a+b﹣c B．b+c﹣a C．a+c﹣b D．a﹣b

13．（2021秋•阜宁县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝4cm，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F．若AE＝1cm，则EF＝　   　cm．

14．（2021秋•滨海县期末）如图，一个正方形摆放在桌面上，那么这个正方形的边长为 　   　．

15．（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．

16．（2021秋•淮安区期末）如图，已知AB＝CB，AD＝CD．求证：∠A＝∠C．

17．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．

求证：∠ABD＝∠ACE．

四．全等三角形的应用（共4小题）

18．（2021秋•武城县期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去．

A．① B．② C．③ D．①和②

19．（2021秋•沛县期末）如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为 　   　cm．

20．（2019秋•邗江区校级月考）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）

（1）线段　   　的长度就是A、B两点间的距离

（2）请说明（1）成立的理由．

21．（2021春•陈仓区期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：

甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．

乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．

（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？

（2）请说明方案可行的理由．

【过关检测】

一、单选题

1．（2021·江苏无锡·八年级期末）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）

A．有两条边分别相等 B．有一个锐角和一条边相等

C．有一条斜边相等 D．有一直角边和斜边上的高分别相等

2．（2021·江苏南京·八年级期末）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列条件能得到△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8 B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8

C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8 D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8

3．（2020·江苏八年级月考）如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·江苏泰州中学附属初中八年级月考）如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，则添加下列哪个条件不能使△ODE与△ODF全等（  ）

A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．∠AED=∠BFD

5．（2021·江苏八年级期末）如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（    ）

A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA

6．（2020·南京市溧水区和凤初级中学八年级月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

7．（2021·江苏八年级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是_____．

8．（2021·江苏八年级专题练习）如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝_____．

9．（2021·江苏南京·八年级期末）如图，△ACD是等边三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝_____°．

10．（2021·江苏）如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是______°．

11．（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，已知，平分，且于点D，则________．

12．（2019·江苏八年级月考）如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．

13．（2019·江苏八年级月考）在△ABC和△DEF，给出下列四组条件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；   ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有__________组

14．（2019·江苏八年级月考）如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________

三、解答题

15．（2020·宜兴市树人中学八年级月考）已知和位置如图所示，，，．

（1）试说明：；

（2）试说明：．

16．（2021·江苏八年级期中）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．

17．（2020·苏州市吴江区青云实验中学八年级月考）如图①，平分，可得．

（1）如图②，平分，参照图①，过点D作于点交的延长线于点F，求证：；

（2）如图③，在四边形中，，过点D作，垂足为点E，若，则的值是多少？（用含a的代数式表示）

18．（2019·江苏八年级月考）如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．

19．（2021·江苏八年级专题练习）如图，，、分别平分、，与交于点O．

（1）求的度数；

（2）说明的理由．

20．（2019·江苏八年级月考）在中，，点D是直线BC上一点（不与重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，连接CE．

（1）如图1，当点在线段上，如果，则_______  度；

（2）设，．

①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．