【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第12讲《实数有关概念及性质》预习讲学案

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第12讲 实数有关概念及性质
【学习目标】
1、体验发现无理数的过程，知道什么是无理数。
2、会区分有理数和无理数。
3、了解数的范围,从整数→有理数→实数的扩展过程，知道实数的意义及分类

【基础知识】
一．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
二．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
三．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
四．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
【考点剖析】
一．无理数（共3小题）
1．（2021秋•镇江期末）下列各数：，，0，，3.14，其中无理数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
3.14是有限小数，属于有理数，
无理数有，共1个．
故选：．
【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列各数中，是无理数的是　　
A．11 B． C． D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：．11是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
．是无理数，故本选项符合题意；
．是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像（两个1之间依次多一个，等有这样规律的数．
3．（2021秋•玄武区校级月考）下列各数中：12，，，，（每两个1之间的0依次加，其中，无理数有 　2　个．
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【解答】解：无理数有，（每两个1之间的0依次加，共有2个，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个1之间的0依次加，等有这样规律的数．
二．实数（共2小题）
4．（2021秋•东台市月考）将下列各数填入相应的集合中：
，0，，，3.01，，，，
有理数集合：　，0，，，3.01，，　；
无理数集合：　　；
整数集合：　　；
分数集合：　　．
【分析】找出给定数列中有理数、无理数、整数以及分数，此题得解．
【解答】解：在，0，，，3.01，，，，中，
有理数有：，0，，，3.01，，；
无理数有：，；
整数有：，0，；
分数有：，，3.01，．
故答案为：，0，，，3.01，，；，；，0，；，，3.01，．
【点评】本题考查了实数，牢记有理数、无理数、整数以及分数的定义是解题的关键．
5．（2021秋•吴江区月考）把下列各数分别填入相应的大括号中．
，，0，，，，，，，，，．
（1）正数集合：　，，，，，，　；
（2）负数集合：　　；
（3）负整数集合：　　；
（4）非负分数集合：　　；
（5）无理数集合：　　．
【分析】根据正数，负数，负整数，非负分数，无理数的定义可得出答案．
【解答】解：（1）正数集合：，，，，，，；
（2）负数集合：，，，；
（3）负整数集合：；
（4）非负分数集合：，，；
（5）无理数集合：，．
故答案为：，，，，，，；，，，；；，，；，．
【点评】本题考查实数分类，关键是根据实数的分类解答．
三．实数的性质（共4小题）
6．（2022春•江津区期中）下列各组数中相等的是　　
A．与 B．与 C．与 D．与
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：．与，不相等，故此选项不合题意；
．与，不相等，故此选项不合题意；
．与，相等，故此选项符合题意；
．与不相等，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
7．（2021•汇川区三模）　　．
【分析】先依据各数的符号化去绝对值，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了实数的性质，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
8．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，
求代数式的值．
【分析】根据题意可得，，，然后代入代数式求值即可．
【解答】解：，
、互为相反数，
，
、互为倒数，
，
的绝对值为．
，
当时，
原式

，
当时，
原式

，
所求代数式的值为6或．
【点评】此题主要考查了实数运算和求代数式的值，关键是掌握相反数和为0，倒数积为1．
9．（2022春•如皋市校级月考）已知，是11的平方根，且，求的值．
【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．
【解答】解：，
，
是11的平方根，
，
，
当，则，
故，
当，则，
故，
综上所述：的值为或．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．
四．实数与数轴（共3小题）
10．（2022春•海安市校级月考）实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是　　

A．和 B．和 C．和 D．和
【分析】根据相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，可得答案．
【解答】解：由相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，
得与互为相反数，
故选：．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等是解题关键．
11．（2021秋•江阴市期末）实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的值是 　　．

【分析】根据数轴上，的正负情况化简．
【解答】解：由图可知，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查数轴上点的意义及绝对值化简，解题关键是注意绝对值的非负性．
12．（2020秋•泰兴市期中）（1）求出下列各数：
①的立方根　　；
②5的平方根　　；
③4的算术平方根　　．
（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上（可通过构造相应的直角三角形准确地找到无理数所对应的点），并用连接大小．

【分析】（1）根据平方根，立方根的定义可求．
（2）根据数的正负号及距离找到对应点．
【解答】（1）．
5的平方根：．
4的算术平方根：．
故答案为：，，2．

（2）如图所示

故答案为：．
【点评】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根的计算，以及如何在数轴上描出表示无理数的点．可以根据勾股定理计算，然后在数轴上描出来．，所以在数轴上构作边长为1和2的直角三角形，斜边长即为，同时主要平方根有两个．

【过关检测】
一．选择题（共9小题）
1．（2021秋•安宁市校级期末）在实数，0，，，，，中无理数有　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据无理数的定义即可判断选择项．
【解答】解：在实数，0，，，，，中，
是整数，0是整数，是分数，是小数这4个数是有理数，
，，这3个数是无理数．
故选：．
【点评】本题主要考查无理数等知识点，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
2．（2021秋•梁溪区期末）在0、、（每两个0之间的1依次增加）、、中，无理数的个数有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：0是整数 属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数是、（每两个0之间的1依次增加），共2个．
故选：．
【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个1之间0的个数依次加，等有这样规律的数．
3．（2021秋•姑苏区校级期末）在实数，，0，，0.12，中，有理数的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据有理数的定义可得答案．
【解答】解：在实数，，0，，0.12，中，有理数有，0，0.12，，有理数的个数有4个．
故选：．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数的定义是解题关键．
4．（2021秋•江阴市期末）的相反数是　　
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：的相反数是，
故选：．
【点评】本题考查了实数的性质，体现了整体思想，把看作整体，根据的相反数是是解题的关键．
5．（2021春•广安区校级期末）若，则与的关系是　　
A． B．与相等
C．与互为相反数 D．
【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．则．所以与互为相反数，由此解决问题．
【解答】解：，
，
与的关系是互为相反数（或，或．
故选：．
【点评】此题考查了立方根．解题的关键是得到这一步．
6．（2022春•海门市校级月考）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③负数没有立方根；④16的平方根是，用式子表示是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的是　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据实数，绝对值，平方根，立方根，平行公理等知识逐项判断即可．
【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；
②应该是“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，故错误；
③负数没有立方根，错误；
④16的平方根是，用式子表示是，故错误；
⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确；
故错误的有：②，③，④，
故选：．
【点评】本题主要考查了实数，绝对值，平方根，立方根，熟练掌握它们的定义及平行公理等知识是解答此题的关键．
7．（2021秋•泰兴市月考）下列说法正确的有　　
①自然数就是正整数；②几个有理数相乘时，当负因数的个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数是偶数个时，积为正；③一个有理数不是整数就是分数，一个分数不是正分数就是负分数；④分数中既有有理数也有无理数；⑤有理数分为正有理数、零和负有理数，无理数可分为正无理数、零和负无理数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①根据自然数的概念判断即可；②根据有有理数乘法法则判断即可；③根据有理数的概念判断即可；④根据分数的概念判断即可；⑤根据有理数、无理数的概念判断即可．
【解答】解：①自然数就是正整数，不正确，还有0；
②几个非零有理数相乘时，当负因数的个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数是偶数个时，积为正；故原说法不正确；
③一个有理数不是整数就是分数，一个分数不是正分数就是负分数，正确；
④分数是有理数，故原说法不正确；
⑤有理数分为正有理数、零和负有理数，无理数可分为正无理数和负无理数，故原说法不正确．
正确的有：③．
故选：．
【点评】此题考查的是实数、有理数的乘法，掌握实数的概念及乘法法则是解决此题的关键．
8．（2022•巴彦县二模）的倒数是　　
A． B． C． D．
【分析】根据倒数的定义写出即可．
【解答】解：的倒数是，
故选：．
【点评】考查了实数的性质及倒数的定义，属于基础题，比较简单．
9．（2022•江都区一模）如图，数轴上、、、四个点中可能表示实数的点是　　


A．点 B．点 C．点 D．点
【分析】首先运用夹逼法确定在哪两个相邻的整数之间，然后根据数轴上的点与实数一一对应的关系即可得到表示的点在之间．
【解答】解：，
，
在数轴上表示的点在之间，即点．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应．也考查了无理数的估算．
二．填空题（共7小题）
10．（2021秋•阜宁县期末）在，，，四个数中，无理数有 　2　个．
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：，是分数，属于有理数；
无理数有，，共2个．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
11．（2022•朝阳区一模）写出一个比4大且比5小的无理数：　　．
【分析】由于，，所以可写出一个二次根式，此根式的被开方数大于16且小于25即可．
【解答】解：比4大且比5小的无理数可以是．
故答案为．
【点评】本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
12．（2020春•鼓楼区校级月考）在，，，，这五个数中，有理数有　3　个．
【分析】直接利用有理数的定义分析得出答案．
【解答】解：在，，，，这五个数中，有理数有：，，共3个．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数，正确掌握有理数的定义是解题关键．
13．（2021秋•亭湖区校级月考）六个数：0.123，，3.1416，，，0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加，若其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则　6　
【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及，等有这样规律的数，由此即可判定无理数的值，根据整数的定义非负数的定义即可判定、的值，然后即可求解．
【解答】解：无理数有：，0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加，则；
没有整数：则；
非负数有：0.123，，3.1416，0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加，共4个；
则．
则．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查实数的分类．无理数和有理数统称实数．有一定的综合性．
14．（2021秋•玄武区校级月考）在9.3，，0，，，141421356，，（每相邻两个3之间依次多一个，中属于整数集合的有 　、0　，属于负分数集合的有 　　，属于无理数集合的有 　　．
【分析】根据实数的分类标准解决此题．
【解答】解：根据整数的定义，整数有、0；
根据负分数的定义，负分数有；
根据无理数的定义，无理数有、．
故答案为：、0；；、．
【点评】本题主要考查实数分类，熟练掌握实数分类标准是解决本题的关键．
15．（2020春•吴忠期末）的相反数是　　．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：的相反数是．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，熟记概念是解题的关键．
16．（2021秋•泗阳县期末）无理数可以用数轴上的点表示，如图，数轴上点表示的数是 　　．

【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，得到的长度，即可得到点表示的数．
【解答】解：根据勾股定理得，
，
点表示的数为．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
17．（2021秋•六合区期中）在数轴上画出表示、的点，并标上必要的数据．


【分析】在数轴上作直角三角形，根据勾股定理可得两个数的位置．
【解答】解：如图，
．
【点评】本题考查实数与数轴，明确数轴上的点与实数一一对应是解题关键．
18．（2021•盐城）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．

【分析】（1）以数轴上1所在的位置为圆心，单位长度为半径作圆，运用线段的垂直平分线作出数轴的垂线，利用勾股定理，斜边即为，再以点为圆心，为半径作弧，交数轴的正半轴于点，点即为所求；
（2）根据在数轴上，右边的数总比左边的大比较大小．
【解答】解：（1）如图所示，点即为所求；
（2），理由如下：
如图所示，点在点右侧，
．

【点评】本题考查了实数与数轴，运用线段的垂直平分线作出数轴的垂线是解题的关键．
19．（2021秋•射阳县月考）把下列各数分别填入相应的集合中：
，，2018，，，0，，，．
（1）非正整数集合：　，，0，　；
（2）负分数集合：　　；
（3）无理数集合：　　．
【分析】直接根据实数的分类进行解答即可．
【解答】解：，，
（1）非正整数集合：，，0，；
（2）负分数集合：，；
（3）无理数集合：，．
故答案为：（1），，0，；（2），；（3），．
【点评】此题考查的是实数，掌握实数的分类是解决此题关键．
20．（2021秋•淮安期末）我们知道数轴上的点可以表示一个有理数或无理数，任意一个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示．这样形就可以用数来精准描述，而数也可以用形去直观体现，这就是我们常说的“数形结合”数学思想方法．数形结合数学思想常常可以帮我们直观地去分析问题并解决问题．
问题：（1）已知数对应数轴上点，且点在原点左侧，，则　　；点是该数轴上另外一点．若，则点表示的数是 　　；
（2）若数轴上点对应的数是4，点、分别从、两点出发，分别以每秒2个长度单位、3个长度单位的速度同时沿数轴向左运动，设它们运动时间为秒．
①用含的代数式分别表示点、对应的数；
②当时，求的值；
③当为何值时，、、中其中一点到另外两点距离相等？

【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可；
（2）①根据点、的运动方向和运动速度可得答案；
②由题意得，，解方程可得答案；
③分情况讨论，分别列方程可得答案．
【解答】解：（1）点在原点左侧，，
，
，
当在的右侧时，点表示的数是，当在的左侧时，点表示的数是，
故答案为：，1或；
（2）①根据点、的运动方向和运动速度可得，
点表示的数是，点表示的数是；
②由题意得，，
解得或3；
③由题意得，，，，
当时，，解得或（舍，
当时，，解得或7，
当时，，解得或0（舍，
故的值为，，7，．
【点评】本题考查了实数与数轴，一元一次方程的应用，解决的关键是能够根据题意找出题目中的相等关系．