【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第14讲《全等三角形全章复习与测试》预习讲学案

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第14讲全等三角形全章复习与测试
【学习目标】
探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
【基础知识】
1．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
2．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
3．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
4．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【考点剖析】
一．全等图形（共1小题）
1．（2021春•太康县期末）下列说法中正确的是　　
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形
B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等
D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．
【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等．
故选：．
【点评】本题主要考查的是全等图形的性质，掌握全等图形的性质是解题的关键．
二．全等三角形的性质（共2小题）
2．（2021秋•仪征市期末）若，则根据图中提供的信息，可得出的值为　　

A．30 B．27 C．35 D．40
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
3．（2019秋•孝义市期末）已知：如图，，、分别是、的对应边上的高．求证：．

【分析】根据全等三角形的性质得出，，利用证明与全等，进而证明即可．
【解答】方法一：
证明：，
，，
，分别是，的对应边上的高，
即，，
，
在和中，
，
．

方法二：
，
，
、分别是、的对应边上的高，
，
．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的性质得出，．
三．全等三角形的判定（共1小题）
4．（2021秋•新吴区期末）如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与全等的格点三角形（不含共有　　

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据全等三角形的判定定理画出符合的三角形，再得出选项即可．
【解答】解：如图所示：与全等的三角形有、、、、、、，共7个，

故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
四．直角三角形全等的判定（共1小题）
5．（2021秋•如皋市期中）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是　　

A． B． C． D．
【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
根据三角形的判定方法可解决此题．
故选：．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
五．全等三角形的判定与性质（共4小题）
6．（2021秋•如皋市期末）如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．
（1）求证；
（2）连接，若，，求的长．

【分析】（1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出；
（2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
是等边三角形，
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
7．（2022•宿城区校级开学）如图，、相交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．

【分析】（1）由可知和都是直角三角形，因为，，所以根据“”可以判定；
（2）先根据“直角三角形的两个锐角互余”求出的度数，再根据全等三角形的对应角相等求出的度数，则由即可求出的度数．
【解答】（1）证明：如图，，
在和中，
，
，
即；
（2）解：，，
，
，
，
的度数为．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知识，根据“有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”证明是解题的关键．
8．（2021秋•丹阳市期末）在中，，，边、上的高、交点．若，则的长为　　

A．1 B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质得出，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：，，
，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解此题的关键是推出，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等．
9．（2021秋•沭阳县校级期末）如图，已知，．求证：．

【分析】已知两边和它们的夹角对应相等，由即可判定两三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答．
【解答】证明：在与中，
，
，
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法．证明全等寻找条件时，要善于观察题目中的公共角，公共边．
六．全等三角形的应用（共1小题）
10．（2021秋•邗江区期末）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　30　．

【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
故答案为：30．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2004•潍坊）如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是　　

A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．乙
【分析】甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用判定全等，丙可运用证明两个三角形全等．
【解答】解：由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，
乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，
丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，
根据全等三角形的判定得，乙丙正确．
故选：．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（3分）（2020秋•封开县期末）已知△，，，那么的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】在中由三角形内角和定理可求得，再由全等三角形的性质可知，可求得答案．
【解答】解：
在中，，，
，
△，
，
故选：．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
3．（3分）（2011春•滕州市期末）如图，，．下列条件中，能使的是　　

A． B． C． D．
【分析】和中，已知了两组对应角相等，如果使两三角形全等，必须再有一组对应边相等．可据此进行判断．
【解答】解：选项，要使两三角形全等，就必须有边的参与，因此选项是错误的；
选项，虽然，有相等边的参与，但不是对应相等，因此选项是错误的；
选项同，也是错误的；
选项，由，得，又，，即可根据，判定．
故选：．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等．
4．（3分）（2013•贺州）如图，在中，，，是高和的交点，则的长是　　

A． B． C． D．
【分析】求出，，证，推出，代入求出即可．
【解答】解：是高和的交点，
，
，，
，
，
，，
，
，
在和中

，
，
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出．
5．（3分）（2014秋•南陵县校级期末）如图，，，欲证，可补充条件　　

A． B． C． D．
【分析】，，欲证，只需找到两边的夹角即可．
【解答】解：，
，
即，
在和中，
，
．
故选：．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）（2020秋•抚顺县期末）下列各组中的两个图形属于全等图形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【解答】解：、两个图形不能完全重合，故本选项错误；
、两个图形能够完全重合，故本选项正确；
、两个图形不能完全重合，故本选项错误；
、两个图形不能完全重合，故本选项错误；
故选：．
【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
7．（3分）（2021•柳南区校级模拟）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：．
求作：，使．
作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；
（4）过点画射线，则．

小聪作法正确的理由是　　
A．由可得△，进而可证
B．由可得△，进而可证
C．由可得△，进而可证
D．由“等边对等角”可得
【分析】先利用作法得到，，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得，，
则根据“”可判断△．
故选：．
【点评】本题考查了作图基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．
8．（3分）如图所示，在等腰中，，，直线过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，若，，则的长为　　

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由“”可证，可得．
【解答】解：直线过点，分别过点、作直线的垂线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，证明三角形全等是解题的关键．
9．（3分）（2020秋•福田区期末）已知，如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是　　

A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④
【分析】先由判定，证得①正确；再由证，得到，②正确，同理证得，得到④正确；易得③不正确．
【解答】解：和均是等边三角形，
，，，
，，
，
，
，故①正确；
，
，，
，
，
又，
是等边三角形，故②正确；
过作于，于，
，
，
，，
，
，
，，
平分，故④正确；
当时，平分，
则，此时，
则，故③不正确；
故选：．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，在的两边上截取，．连接，交于点，则下列结论正确的是　　
①；②；③；④．

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据题目中的条件，可以证明题目中的各个小题中的三角形是否全等，从而可以解答本题．
【解答】解：在和中，
，
，故①正确；
，
，，
，
在和中，
，
，故②正确；
，
在和中，
，
，故③正确；
，
，
在和中，
，
，故④正确；
故选：．

【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2019春•工业园区期末）连接正方形网格中的格点，得到如图所示的图形，则　180　．

【分析】直接利用网格结合全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质得出答案．
【解答】解：由网格可得：，
则，
，，
是直角三角形，
故，
，
，
．
故答案为：180．

【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
12．（3分）（2019秋•东台市月考）如图①，已知的六个元素，则图②中甲、乙、丙三个三角形中与图①中全等的图形是　丙　．

【分析】根据全等三角形的判定定理，，，逐个判断即可．
【解答】解：已知图①的中，，，，，，，
图②中，甲：只有一个角和相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和不全等；
乙：只有一个角和相等，还有一条边，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和不全等；
丙：符合定理，能推出两三角形全等；
故答案为：丙．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
13．（3分）（2021秋•梅里斯区期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第　2　块．

【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
14．（3分）如图，和中，，，在下列条件中：①，②，③，选择添加一个条件，使的是　②　．

【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以判断哪个小题中条件符合题意，本题得以解决．
【解答】解：在，和中，，，
添加，则不能判断，故①不符合题意；
添加，则，故②符合题意；
添加，则不能判断，故③不符合题意；
故答案为：②．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．
15．（3分）（2009•河北）如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为　3　．

【分析】由题意得，，故阴影部分的周长可以转化为三角形的周长．
【解答】解：将沿直线折叠，点落在点处，
所以，．
则阴影部分图形的周长等于，
，
，
．
故答案为：3．
【点评】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
16．（3分）（2019秋•海州区期中）如图，，的延长线经过点，交于，，，，则　60　．

【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，代入，即可求出答案．
【解答】解：，，
，，
，
，
，
，

【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对角角相等．
17．（3分）（2019春•海淀区校级期末）如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④；能判定的是　①③④　．（填序号）

【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：因为，，
①，根据可以判定．
②，无法判断．
③，根据可以判定．
④，根据可以判定．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（3分）（2019秋•辛集市期末）如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为 　2或　．

【分析】分两种情形分别求解即可．
【解答】解：当，
，
运动时间相同，
，的运动速度也相同，
．
当时，
，，
，

故答案为2或．

【点评】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（6分）（2019秋•裕安区期末）如图，，，，求的长．

【分析】直接利用全等三角形的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：，，，
，，
．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边的值是解题关键．
20．（6分）（2021秋•鄞州区期末）如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．

【分析】（1）根据可得，由定理可得结论；
（2）利用全等三角形的性质定理可得，，由平行线的性质定理易得，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
【解答】（1）证明：，
，
在与中，
，
；

（2）解：，，，
，，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．
21．（6分）（2018秋•无锡期末）如图，点、、、在同一直线上，且，，，相交于点，且，求证：
（1）；
（2）．

【分析】（1）根据全等三角形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1），
，
即，
，
，
在与中
，
；
（2），
，
，
，
即．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键．
22．（6分）（2020秋•饶平县校级期末）如图，在中，，是过点的直线，于，于点；
（1）若、在的同侧（如图所示）且．求证：；

（2）若、在的两侧（如图所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．

【分析】（1）由已知条件，证明，再利用角与角之间的关系求证，即可证明；
（2）同（1），先证，再利用角与角之间的关系求证，即可证明．
【解答】（1）证明：，，
，
在和中，
，
．
，．
，，
．
．
．
（2）．理由如下：
同（1）一样可证得．
，，
，
，即，
．

【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用．
23．（6分）（2021秋•龙口市期末）如图，在中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点．
（1）当时，　30　，　　．
（2）当等于多少时，，请说明理由；
（3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1），，
，
，
，
故答案为：30，100；
（2）当时，，理由如下：
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
；
（3）可以，理由如下：
，，
，
分三种情况讨论：
①当时，，
，，
，
，
，

②当时，

，
又，
，
点与点重合，不合题意．
③当时，，
，
，
，
综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
24．（8分）（2020秋•增城区期中）如图，，，，、交于点，连．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）求的度数．（用含的式子表示）

【分析】（1）由，，，利用，即可判定：；
（2）首先作于，于，由，可证，再证，（或证，可得，即可证得平分；
（3）由，可得，继而求得，则可求得的度数．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
；

（2）证明：过点作于，于，
，
，
在和中，
，
，
，
平分；

（3），
，
，
，
．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25．（8分）（2020•黄州区校级模拟）如图，，，，，垂足为．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求证：．

【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1），
，，
，
在和中，
，
；
（2），，
，
由（1）知，
，
，
，
，
；
（3）延长到，使得，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．