【暑假提升】苏科版数学七年级（七升八）暑假-第17讲《实数全章复习与测试》预习讲学案

第17讲 实数全章复习与测试

【学习目标】

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

【基础知识】

一．近似数和有效数字

（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．

（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．

（3）规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．

二．平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．

（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．

一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．

平方根和立方根的性质

1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．

三．算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．

（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

四．非负数的性质：算术平方根

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．

（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．

五．立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．

（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．

注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．

【规律方法】平方根和立方根的性质

1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．

六．计算器—数的开方

正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：

当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．

七．无理数

（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．

（2）、无理数与有理数的区别：

　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．

　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如等．

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．

（3）含有π的绝大部分数，如2π．

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．

八．实数

（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．

（2）实数的分类：

实数： 或 实数：

九．实数的性质

（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．

（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．

实数的倒数

乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．

十．实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．

十一．实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．

十二．估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法．

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．

十三．实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．

【考点剖析】

一．近似数和有效数字（共1小题）

1．（2020秋•浦东新区期末）某班级共有学生36人，其中的同学报名参加乒乓球社团，25%的同学报名参加羽毛球社团．问：报名参加乒乓球社团的同学比报名参加羽毛球社团的同学多百分之几？（百分号前保留1位小数）

二．平方根（共1小题）

2．（2022春•昭阳区校级月考）一个正数x的两平方根分别是2a﹣3和1﹣6a，求x的值．

三．算术平方根（共1小题）

3．（2022春•海淀区校级期中）一个数值转换器，如图所示：

（1）当输入的x为81时，输出的y值是 　   　；

（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；

（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值．

四．非负数的性质：算术平方根（共1小题）

4．（2022春•西城区校级期中）设a、b、c都是实数，且+|b+c+5|＝0，求代数式3a+b﹣2c的值．

五．立方根（共1小题）

5．（2022春•长乐区期中）已知某个正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a+b的值．

六．计算器—数的开方（共1小题）

6．（2020•朝阳区校级开学）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：

（1）表格中x＝　   　；y＝　   　；

（2）从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：

①已知≈1.435，则≈　   　；

②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　   　．

七．无理数（共1小题）

7．（2022•贺州二模）下列各数是无理数的是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．π

八．实数（共1小题）

8．（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（　　）

A．实数包括有理数、无理数和零 

B．有理数包括正有理数和负有理数 

C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 

D．无论是有理数还是无理数都是实数

九．实数的性质（共1小题）

9．（2022春•长垣市期中）﹣2的绝对值是（　　）

A．2﹣ B．﹣2 C． D．1

一十．实数与数轴（共1小题）

10．（2022•石景山区二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．|a|＞b B．b＞a C．a+b＜0 D．ab＞0

一十一．实数大小比较（共1小题）

11．（2022•和县二模）下列四个无理数中，大于1且小于2的是（　　）

A．3﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．2﹣

一十二．估算无理数的大小（共1小题）

12．（2022•和平区三模）估计的值在（　　）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

一十三．实数的运算（共1小题）

13．（2022春•西城区校级期中）计算：+|1﹣|﹣．

【过关检测】

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）方程|4x﹣8|+＝0，当y＞0时，m的取值范围是（　　）

A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2

2．（3分）在实数范围内，代数式||﹣2|﹣3|的值为（　　）

A．1 B．2 

C．3 D．以上答案都不对

3．（3分）若a、b是实数，且，则a+b的值是（　　）

A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．﹣3或﹣1 D．3或1

4．（3分）代数式的最小值是（　　）

A．0 B．3 C． D．不存在

5．（3分）估计的值在（　　）

A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间

6．（3分）已知（x﹣y+3）2+＝0，则x+y的值为（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．5

7．（3分）若，则a的取值范围是（　　）

A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3

8．（3分）资阳市2012年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入取近似值后为27.39亿元，那么这个数值（　　）

A．精确到亿位 B．精确到百分位 

C．精确到千万位 D．精确到百万位

9．（3分）已知实数的小数部分为a，的小数部分为b，则7a+5b的值为（　　）

A． B．0.504 C．2﹣ D．

10．（3分）若|x+2|+，则xy的值为（　　）

A．﹣8 B．﹣6 C．5 D．6

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11．（3分）实数，0，，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），，中，无理数有　   　．

12．（3分）数轴上到原点距离为的点所表示的实数是　   　．

13．（3分）近似数1.96精确到了　   　位；近似数3698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为　   　．

14．（3分）若的值在两个整数a与a+1之间，则a＝　   　．

15．（3分）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是　   　．

16．（3分）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为　   　．

17．（3分）2的平方根是　   　，计算：＝　   　．

18．（3分）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段　   　条．

三．解答题（共7小题，满分46分）

19．（6分）若a、b、c是有理数，且满足等式a+b+c＝2﹣+3，试计算（a﹣c）2013+b2014的值．

20．（6分）把下列各数填入相应的大括号里．

π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．

（1）整数集：{　   　       …}；

（2）有理数集：{　   　     …}；

（3）无理数集：{　   　      …}．

21．（6分）计算下列各题．

（1）+﹣；          （2）﹣16﹣4；

（3）|﹣|﹣+；

（4）×﹣2（﹣π）0．

22．（6分）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．

23．（6分）（1）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；

（2）已知|a|＝6，b2＝4，求．

24．（8分）求下列各式中x的值．

（1）16x2﹣81＝0；                  （2）﹣（x﹣2）3﹣64＝0．

25．（8分）如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．

（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；

（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；

（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？