【暑假培优训练】2023年人教版数学七年级（七升八）暑假第08天：《二元一次方程组》提升训练

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第08天：二元一次方程组
1．为了加大“精准扶贫”力度，某市准备将10名干部分成2人一组或3人一组，到村屯带领贫困户脱贫．在所有干部都参加且每人只能参加一个小组的前提下，分组方案有（       ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【解析】列出二元一次方程求出符合条件的解即可．
【详解】解：设有x个3人小组，y个2人小组，
∴；
可知x的最大值为3，
当有3个3人小组时，则余下1人，不足以成组，故此时不成立；

当有2个3人小组时，余下4人，则可组成2个2人小组，故此时成立；
当有1个3人小组时，余下7人，故组成3个人2人小组后还余下1人，故此时不成立；
当有0个3人小组时，全部10个人组成5个2人小组，故此时成立；
综上可知：可行的方案有2种，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，正确确定该二元一次方程的解的个数是解答本题的关键．
2．符号■，●各代表一个数字，且满足以下两个等式：■-●-1=0，，则满足等式中k的值为（       ）
A．50.4 B．40.4 C．30.4 D．20.4
【答案】D
【解析】设■=x，●=y，代入不等式，得，求解得，即■=10, ●=9,再把■=10, ●=9代入得，求解即可．
【详解】解：设■=x，●=y，代入不等式，得
，解得：,
则■=10, ●=9,
把■=10, ●=9代入，得
，解得：k=20.4，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解一元一次方程，求得■=10, ●=9是解题的关键．
3．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（       ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】将k看做常数，利用加减消元求出x，y的值代入x-y=4，即可求解．
【详解】解：①×3+②×2，得
20x=15k-5，解得：x=，
把x=代入②，得
+3y=6k-7，解得：y=，
把x=，y=代入x-y=4，得
，
解得：k=-2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，二元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能求出关于k的方程是解此题的关键．
4．如图，用8块相同的长方形地砖拼成了一个长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），则每块地砖的长和宽分别为（       ）

A．26cm和6cm B．24cm和8cm C．22cm和10cm D．20cm和12cm
【答案】B
【解析】设每块地砖的长为x cm，宽为y cm，根据长方形的对边相等及大长方形的宽为32cm，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每块地砖的长为x cm，宽为y cm，
依题意得：，
解得：，
∴每块地砖的长为24cm，宽为8cm．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（       ）
A．1 B．3 C．7 D．－3
【答案】A
【解析】解法一：分别用代入消元法解出两个方程组，根据两个方程组的解相同列出关于和的方程组并求出和值，再代入即可．
解法二：将x和y的值代入两个方程，组成新方程组，两方程相加进而可得解．
【详解】解法一：解方程组得，，
解方程组得，，
因为两个方程组的解相同，
所以，去分母得，
解得：，
∴，
解法二：由题意可得：
得：
∴
故选 A．
【点评】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
6．喜迎“二十大”，某校举办以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛．计划用80元钱购买甲、乙两种笔记本作为奖品（钱全部用尽，两种笔记本都买），已知甲种笔记本每本8元，乙种笔记本每本12元，则购买方案共有（       ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】A
【解析】设可以购进甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设可以购进甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，
依题意得：8x+12y=80，
∴x=10-y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
7．关于，的方程组的解是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】用加减消元法解方程组即可．
【详解】∵
∴①+②×2，5x=5，
解得x=1，
把x=1代入②，解得y=1，
故方程组的解为，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
8．已知方程是二元一次方程， 则，的值分别为（       ）
A．， 0 B．，1 C．0 ，1 D．1，1
【答案】C
【解析】根据二元一次方程的定义未知数的次数都为1，就可以解决本题．
【详解】解：由题意知：解得：．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程未知数的次数都为1的知识．把握二元一次方程的定义是解决本题的关键．
9．已知二元一次方程组，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过两式相减变形即可得解；
【详解】，
，可得：，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
10．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y人，根据题意，列方程组是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据等量关系：总人数不变，列方程即可．
【详解】依题意得：，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（          ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知：生产玩偶A的布的米数+生产玩偶B的布的米数=总的布的米数，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组．
【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，
依题意，得：．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么代数式a－2b的值为（       ）
A．－2 B．2 C．3 D．－3
【答案】B
【解析】把代入方程组，得出关于a、b的方程组，再根据方程组中未知数的系数特点解答即可．
【详解】解：把代入方程组，
得：，
①-②，得a-2b=2．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
13．学校七年级师生共614人准备参加社会实践活动。现已预备了49座和37座的两种客车共14辆，刚好坐满。设49座的客车辆，37座的客车辆。根据题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】本题中的两个等量关系：49座客车数量+37座客车数量=14，两种客车载客量之和=614．
【详解】解：由题知两车总和为14辆，两种类型车辆所载人数为总人数，49座车x辆，49x为这种车辆所载总人数同理有37y
则列示为 ．
故答案为：D．
【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
14．新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播。所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护。为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（       ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【解析】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，根据小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买）列出二元一次方程，根据A，B两种型号的医用外科口罩都买得到x的取值范围，从而求出二元一次方程的正整数解即可．
【详解】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，由题意可得：
，
解得 ，
，A，B两种型号的医用外科口罩都买，
，
所有购买方案为 ， ， ，
有3种购买方案，
故选B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
15．关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组和，先计算不含参的二元一次方程组，得的值，然后代入含参的二元一次方程组，求的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组和有相同的解
解方程组
②①得
将代入①式得
解得
∴方程组的解为
将代入方程组得
解关于的方程组
③④得
解得
将代入③式得
解得
∴方程组的解为
∴
故选A．
【点评】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新的方程组求解．
16．端午节将至，某商店推出“情有独粽”“我最出粽”“年年高粽”三种粽子，定价分别为7元/个、8元/个、9元/个；甲、乙、丙、丁四人分别去该商店采购了一些粽子，买完后发现，“情有独粽”买的数量甲、乙相同，丙、丁也相同；“我最出粽”买的数量甲、丁相同，乙、丙也相同；“年年高棕”买的数量甲、丙相同，乙、丁也相同，已知甲一共花了86元，乙一共花了100元，丙一共花了97元，若每人买的每种粽子数量都不超过10个，则丁花了______元．
【答案】47
【解析】设甲乙购买“情有独粽”的数量比丙丁多个，甲丁购买“我最出粽”的数量比乙丙多y个，甲丙购买“年年高棕”的数量比乙丁多个，根据题意列三元一次方程组并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，设甲乙购买“情有独粽”的数量比丙丁多个，甲丁购买“我最出粽”的数量比乙丙多y个，甲丙购买“年年高棕”的数量比乙丁多个，
∴甲比乙多购买的粽子为：“我最出粽” y个“年年高棕”个，
乙比丙多购买的粽子为：“情有独粽”个“年年高棕”个，
甲比丙多购买的粽子为：“情有独粽”个“我最出粽” y个，
∴
∵每个人购买的每种粽子均不超过10个，即
∴的解为：，或，
的解为：，或，
∴
∴丁花了：元
故答案为：47．
【点评】本题考查了三元一次方程组的知识，解题的关键是熟练掌握三元一次方程组的性质，从而完成求解．
17．某网红花店推售甲、乙、丙三种组合的绿植，每种组合配有A，B，C，D四种绿植．甲组合有盆A，盆B，a盆C，盆D；乙组合有盆A，m盆B，盆C，盆D；丙组合有m盆A，盆B，盆C，a盆D．已知A，B，C，D四种绿植每盆的成本分别是a元，b元，m元，n元，每种组合的成本分别是组合中各绿植成本之和．甲组合中A种与B种的成本之差等于D种与C种的成本之差．乙组合中B，C的盆数之和与，D的盆数之和的比为，且乙组合中B种的成本是D种成本的．甲、乙组合的利润率分别为，，每个丙组合的利润恰好是每盆A成本的倍．在节假日期间，老板决定把丙组合打造成网红产品，推出每买一个丙组合，赠送一个成本为元的浇水神器．节假日期间销售的甲、乙、丙组合数量之比为，且B，C和赠送的浇水神器的总成本不超过50400元，则节假日期间售出甲、乙、丙三种组合的总利润最多为_______________元．
【答案】
【解析】第一步：根据题意可列出等量关系：①；②；③，联立①②③可解得之间的等量关系；
第二步：甲组合的成本为，乙组合的成本为，丙组合的成本为，设节假日期间售出甲、乙、丙三种组合的数量分别为，，，则根据每个组合的成本、销售数量、利润（率）之间的关系列出总利润的表达式，并代入的等量关系进行化简，得到关于的函数关系式；
第三步：根据节假日期间销售的，和赠送的浇水神器总成本不超过元建立不等关系，从而分析总利润的最大值．
【详解】解：根据题意，得，
解得，，．
设节假日期间售出甲、乙、丙三种组合的数量分别为，，．
每个甲组合的成本为，甲组合的总利润为；
每个乙组合的成本为，乙组合的总利润为；
丙组合的总利润为．
节假日期间售出的总利润为：．
节假日期间，和赠送的浇水神器的总成本不超过50400元，
，
，
，
（元）．
节假日期间售出甲、乙、丙三种组合的总利润最多为元．
故答案为：．
【点评】本题考查了多元方程组的应用，题目条件错综复杂，找到对应的等量关系是解决本题的关键．
18．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________．
【答案】-6
【解析】由可得，将代入x+y=5，进而求出x、y的值，再代入含有m的方程进行求解即可．
【详解】解：
∵
∴
将代入②中，，解得：；
∴
将，代入
解得：
故答案为：-6．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，将变换并代入方程组中进行正确计算是解题的关键．
19．某农业科技小组对A，B，C三个小麦品种进行种植对比研究．去年A，B，C三个品种各种植了相同的面积，但产量不同．收获后A，B，C三个品种的售价之比为1：2：3，全部售出后，三个品种的总销售额是其中C品种销售额的3倍．今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B，C种植亩数不变的情况下，预计A，B，C三个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加、和，A、B、C三个品种的售价都不变．若B，C两个品种今年全部售出后销售额之比是6：5．则今年A，C两个品种的产量之比是__________．
【答案】12：7
【解析】用未知数表示出A，B，C三个小麦去年的产量和售价，再根据题意表示出今年的产量和售价，列方程．因为都和C有关系，可以用C的未知数表示另外两种，从而可求出．
【详解】解：设A，B，C三个小麦去年的产量分别为x、y、z，去年的售价为a、2a、3a，则今年A，B，C三个小麦的产量为x，y，z，售价为a、2a、3a，．
∴，
∴14y=27z，
∴y=z．
∵三个品种的总销售额是其中C品种销售额的3倍，
∴ax+2ay+3az=3×3az，
∴x+2y=6z，
∴x=z．
∴今年A，C两个品种的产量之比是（z）：（z）=12：7．
故答案为：12：7．
【点评】此题考查的是三元一次方程的应用，涉及到多个未知数，掌握代入消元法是解题的关键．
20．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则m的值为__________．
【答案】
【解析】由方程组的解互为相反数可得 再整体代入中求解 再求解x，从而可得答案．
【详解】解： 关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，


解得：



故答案为：
【点评】本题考查的是利用整体代入法解二元一次方程组，掌握“整体代入的方法”是解本题的关键．
21．已如和都是方程的解，求a和b的值．
【答案】a和b的值分别为、．
【解析】把x与y的两对值代入方程计算即可求出a与b的值．
【详解】∵和都是方程的解，
∴，
解得： ，
a和b的值分别为、．
【点评】此题考查二元一次方程的解，根据条件列出一元二次方程是解题关键．
22．课堂上老师写一道题目：解方程组
(1)小组合作时，发现有同学这么做：
得，③
得，

把代入①得
∴这个方程组的解是
该同学解这个方程组的过程中使用了______消元法，目的是把二元一次方程组转化为_________．
(2)请用另一种方法解这个方程组．
【答案】(1)加减，一元一次方程
(2)见解析

【解析】（1）由解法可发现消去了未知数y，采用的是加减消元的方法，从而方程化为一元一次方程，从而可得答案；
（2）先把方程②化为再整体代入消元即可．
(1)
解：根据解法可得：该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程．
故答案为：加减，一元一次方程；
(2)

由②得：
把①代入③得：
解得：
再把代入①得：，
所以方程组的解是
【点评】本题考查的是利用加减消元法与代入消元法解二元一次方程组，掌握“整体代入消元的方法”是解本题的关键．
23．某中学组织初一学生春游，原计划租用座汽车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知座客车每日租金每辆元，座客车每日租金为每辆元．
(1)初一年级人数是多少？原计划租用座汽车多少辆？
(2)可以单独租一种车，也可以同时租两种车，要使每个学生都有座位，怎样租用更合算？通过计算加以说明
【答案】(1)初一年级人数有人，原计划租座客车辆；
(2)租座的客车辆、租座的客车辆更合算．
【解析】（1）设初一年级人数有人，原计划租座客车辆，由题意：原计划租用座汽车若干辆，但有人没有座位；若租用同样数量的座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）分别计算只租座客车、只租座客车及同时租两种车各自的租金，比较后即可得出结论．
(1)
解：设初一年级人数有人，原计划租座客车辆，
由题意得：，
解得：，
答：初一年级人数有人，原计划租座客车辆；
(2)
只租座的客车的租金为：元，
只租座的客车的租金为：元，
租座的客车辆、租座的客车辆，，正好每个学生都有座位，此时租金为：元，
∵，
∴租座的客车辆、租座的客车辆更合算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24．已知与(2x+3y+1)2互为相反数，求x﹣y的平方根．
【答案】x﹣y的平方根为
【解析】根据与(2x+3y+1)2互为相反数，得到，再结合二次根式非负性及平方的非负性得到，求解代值即可得到结论．
【详解】解：∵与互为相反数，
，
，
∴，解得，
∴x﹣y＝2，
∴x﹣y的平方根为．
【点评】本题考查求代数式的平方根，涉及到相反数的性质、二次根式非负性及平方的非负性、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握相反数的性质和常见非负式的运用是解决问题的关键．
25．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：①-②，得，即③，
．得④，
②-④，得，从而可得，
∴原方程组的解是
(1)请你仿照上面的解题方法解方程组：
(2)请直接写出关于x，y的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）先将方程组中的方程相减得到x+y=1，再用加减消元法解方程组即可；
（2）先将方程组中的方程相减得到x+y=1，再用加减消元法解方程组即可．
(1)
解：，
①-②，得2x+2y=2，即x+y=1③，
③×2021得，2021x+2021y=2021④，
④-②得，y=2，
将y=2代入③得，x=-1，
∴原方程组的解是；
(2)
解：，
①-②，得（a-b）x+（a-b）y=a-b，即x+y=1③，
③×（a+2）得，（a+2）x+（a+2）y=a+2④，
④-①得，y=2，
将y=2代入③得，x=-1，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
26．如图，长青化工厂与，两地有公路，铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨5000元的产品运到地，已知公路运价为2元/（吨·千米），铁路运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元．求：

(1)该工厂从地购买了多少吨原料？制成运往地的产品多少吨？
(2)不计其他因素，这批产品的利润为多少元（利润＝销售款－原料费－运输费）？
【答案】(1)工厂从地购买了300吨原料，制成运往地的产品200吨
(2)299000元
【解析】（1）设该工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，根据“这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“利润＝销售款－原料费－运输费”计算求解即可．
(1)
解：设工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨．则依题意，得：

解得：
∴工厂从地购买了300吨原料，制成运往地的产品200吨；
(2)
解：依题意，得：（元）
答：这批产品的利润是299000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
27．数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．

(1)在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
(2)若AM＝BN，，求m和n值．
【答案】(1)见解析
(2)或或
【解析】（1）分三种情况：①当M是A，N的中点时；②当A是M、N的中点时；③当N是M、A的中点时分别进行求解；
（2）根据AM＝BN，可得，再根据，可得，二者组成方程组即可求解．
(1)
解：①当M是A，N的中点时，
∴n＝2m＋3
②当A是M、N的中点时，
∴n＝－6－m
③当N是M、A的中点时，．
(2)
解：∵AM＝BN，
∴，
∵，
∴
∴或或或，
解得或或或
∵ ，
∴或或．
【点评】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用及数轴上两点间的距离公式．结合数量关系表示出线段的长度，再根据线段间的关系列出方程是解题的关键．
28．为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．
(1)求医用口罩和洗手液的单价；
(2)由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需购买单价为6元的N95口罩m个．若需购买医用口罩和N95口罩共1200个，且100＜m＜200，剩余的钱全部用来购买洗手液，恰好用完5400元，求m的值．
【答案】(1)医用口罩的单价为2.5 元/个，洗手液的单价为30元/瓶；
(2)120或者180．
【解析】（1）设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得出方程组，解方程组即可；
（2）设增加购买N95口罩m个，洗手液b瓶，则医用口罩（1200−m）个，根据题意得6m＋2.5（1200−m）＋30b＝5400，解得b＝80−，可得m为60的倍数，且100＜m＜200，进而得出结论．
(1)
设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，
根据题意得：，
解得：，
答：医用口罩的单价为2.5元/个，洗手液的单价为30元/瓶；
(2)
设增加购买N95口罩m个，洗手液b瓶，则医用口罩（1200−m）个，
根据题意得：6m＋2.5（1200−m）＋30b＝5400，
化简，得：7m＋60b＝4800，
∴b＝80−，
∵m，b都为正整数，
∴m为60的倍数，100＜m＜200，
∴ ， ，
∴m的值为120或者180．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，由题意找出相等关系列方程是解题的关键．