初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程优质ppt课件

21.1 一元二次方程及有关概念

【A组-基础题】

1．下列方程中，一元二次方程有（　　）

①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解答】

解：①符合一元二次方程定义，正确；

②方程含有两个未知数，错误；

③不是整式方程，错误；

④符合一元二次方程定义，正确；

⑤符合一元二次方程定义，正确．

故选B．

2．方程（x+1）（x+2）＝0化为一般形式后，常数项为（　　）

A．6 B．﹣8 C．2 D．﹣4

【解答】

解：（x+1）（x+2）＝0，x2+3x+2＝0，常数项为2，故选：C．

3．（2021 聊城市中考）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（  ）

A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2

【解答】

解：将x=-2代入原方程得到：，

解关于k的一元二次方程得：k=0或4，

故选：B．

4．若（1﹣m）x3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是（　　）

A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3

【解答】

解：∵是关于x的一元二次方程，

∴，

∴，

∴该方程的一次项系数是3m=-3，

故选C．

5．已知两个数的差为，它们的平方和是，设较小的数为，则可列出方程________，化成一般形式为________．

【详解】

∵较小的数为，

∴较大的数为x+3，

∴方程为：，

化成一般形式为：，

故答案为（1）（2）

6．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为______．

【解答】

解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2-2x=0．

故答案为：x2-2x=0．

7．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：

（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？

（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．

【解答】

解：（1）∵是关于x的一元一次方程，

∴，

解得

（2）∵是关于x的一元二次方程，

∴即，

∴这个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为

8．根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式:

(1)一个长方形的宽比长少3,面积是75,求长方形的长x;

(2)两个连续偶数的积为168,求较小的偶数x;

(3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x.

【详解】

（1）设长方形的长为x,则宽为x-3，则有，

x(x-3)=75，

化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为:

x2-3x-75=0；

（2）设较大的偶数为x，则较小的数为x-2，

依题意得：x（x-2）=168．

化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为:

x2-2x-168=0；

（3）根据题意列出方程x(20-x)=25,化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为:

 x2-20x+50=0.

9．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．

【详解】

依题意，得．

∴．

∵，

∴．∴．

10．已知方程是关于的一元二次方程．

（1）求的取值范围；

（2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根．

【详解】

解：化简，得

．

方程是关于的一元二次方程，得

，解得，

当时，方程是关于的一元二次方程；

由一次项系数为零，得．

则原方程是，即．

因式分解得，

解得，．

11．简答题：

（1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？

（2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值．

（3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？

【详解】

解：（1）∵关于的方程是一元二次方程，

∴，解得：；

（2）∵关于的一元二次方程有一个根是0，

∴将x=0代入可得：，解得：m=-3；

（3）∵关于的一元二次方程有一个根是1，

∴将x=1代入可得：，解得：m=±2.

12．a、b、c都是实数，满足，ax2+bx+c＝0，求代数式x2+2x+1的值．

【详解】

根据题意得，   

解得a=2，b=4，c=−8，

∴

即

解得

∴

【B组-提高题】

13．已知a是方程x2﹣2020x＋1＝0的一个根，则的值为（       ）

A．2017 B．2018 C．2019 D．2020

【详解】

解：∵a是方程的一个根，

∴，即，，

∴

，

故选：C．

14．若x1是方程ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设M＝(ax1+1)2，N＝2﹣ac，则M与N的大小关系为(     )

A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不能确定

【详解】

∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，

∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，

则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）

=a2x12+2ax1+1-2+ac

=a（ax12+2x1）+ac-1

=-ac+ac-1

=-1，

∵-1＜0，

∴M-N＜0，

∴M＜N．

故选C．

15．请阅读下列材料：已知方程x2+x﹣3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．

解：设所求方程的根为y，则y=2x．所以x=．

把x=代入已知方程，得（）2+﹣3=0，化简，得y2+2y﹣12=0．

故所求方程为y2+2y﹣12=0．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．

问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍．

【详解】

设所求方程的根为y，则y=3x，

∴x=．

把x=代入已知方程，得（）2+﹣1=0，

化简，得y2+3y﹣9=0.

所以所求方程为y2+3y﹣9=0．

16．如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值．

【详解】

解：∵有且只有一个公共根

∴

∴

∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，

∴

∴

当时，代入第一个方程可得

1-a+1=0

解得：

17．若关于x的一元二次方程有一个根为，且，求的值．

【详解】

中，

∵且，

解得：，

∴，

∵关于的一元二次方有一个根为，

∴，

∴，

∴．

【C组-拓展题】

18．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，求的值。

【详解】

解：==1．

∵方程x2+ax+b=0的一根是，

∴++b=0．

∴．

∴．

∵、是整数，

∴

解得

∴==．