【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-1.4《充分条件与必要条件》同步讲学案

1．4　充分条件与必要条件

知识点一　充分条件与必要条件

知识点二　充要条件

一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.

题型一、充分不必要条件

命题点1 判断命题的充分不必要条件

1．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

命题点2 根据充分不必要条件求参数

2．若“a＜x＜a＋2”是“x＞3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）

A．a＞3 B．a≥3 C．a＜1 D．a≤1

【答案】B

【详解】因为“a＜x＜a＋2”是“x＞3”的充分不必要条件，故可得集合是的真子集，故.

故选：.

命题点3 充分条件的判定及性质

3．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；

对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；

对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是；

对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是.

故选：C

题型二、必要不充分条件

命题点1 判断命题的必要不充分条件

1．“”是“”的（     ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由不能得到，如;

反之，.  “”是“”的必要而不充分条件.

故选: B.

命题点2 根据必要不充分条件求参数

2．若“”是“”的必要不充分条件，则a的值可以是___________．（写出满足条件a的一个值即可）

【答案】(答案不唯一，满足即可)

【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以.

故答案为：(答案不唯一，满足即可).

命题点3 必要条件的判定及性质

3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关． 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（       ）

A．必要条件 B．充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【详解】由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，

故选：．

题型三、充要条件

命题点1 充要条件的判定

1．对于任意实数，，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．不要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】因为幂函数在上单调递增，

所以时，有，即，反之也成立.

故“”是“”的充要条件.

故选：C

命题点2 探究命题为真的充要条件

2．“”的充要条件是（       ）

A．       B．        C．        D．

【答案】D

【详解】由题意知，的充要条件是.

A明显错误；

B：或，故B错误；

C：或，故C错误；

D：，故D正确.

故选：D

命题点3 根据充要条件求参数

3．“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（       ）

A． B．

C． D．或

【答案】B一元二次方程有两个不相等的正实根，

设两根分别为：，

故，解得：，

故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是.

故选：B.

命题点4 既不充分也不必要条件

4．“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】充分性：取符合“x，y为无理数”，但是不符合“xy为无理数”，故充分性不满足；

必要性：当“xy为无理数”时，可以取，但是不符合“x，y为无理数”，故必要性不满足.

故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件.

故选：D

1．“”是“”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

【答案】A

【详解】，则，其中，但，

故是的充分不必要条件.

故选：A

2．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______

【答案】

【详解】因为是的充分不必要条件，所以，所以.

故答案为：.

3．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（       ）

A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似

C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0

【答案】ABC

【详解】由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；

由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；

由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；

由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如，所以本选项不符合题意，

故选：ABC

4．已知、都是实数，那么“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若，取，，则不成立，即“”“”；

若，则，即，所以，“”“”.

因此，“”是“”的必要而不充分条件.

故选：B.

5．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．

【答案】

【详解】∵“”是”的必要条件，∴，

当时，，则；

当时，根据题意作出如图所示的数轴，

由图可知或，解得或，

综上可得，实数a的取值范围为．

6．（多选）p是q的必要条件的是（       ）

A． 

B．

C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 

D．，q：关于x的方程有唯一解

【答案】CD

【详解】对于A，，，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要条件；

对于B，；当时，满足但q推不出p，故p是q的充分不必要条件；

对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；

反之，若“四边形是正方形”成立“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要条件；

对于D，关于x的方程有唯一解，故p是q的充分必要条件.

故选：CD.

7．“”是“关于的函数单调递减”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】D

【详解】若，则函数单调递减，满足充分性；若函数单调递减，则，满足必要性，

故“”是“关于的函数单调递减”的充要条件.

故选：D.

8．设集合，，则“且”成立的充要条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意可知，，，即，

所以“且”成立的充要条件是．

故选：D．

9．（多选）对于任意实数a、b、c，下列命题是真命题的是（       ）

A．“”是“”的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件

C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件

【答案】BD

【详解】“”“”为真命题，但当时，“”“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；

“是无理数”“a是无理数”为真命题，“a是无理数”“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；

“”“”为假命题，“”“”也为假命题，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；

因为由能得出，而由得不一定成立，故“”是“”的必要条件，故D为真命题.

故选：BD.

10．“”是“且”成立的 （       ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】D

【详解】当时，满足“”，不能推出“且”

当时，满足“且”，不能推出“”

所以“”是“且”的既不充分也不必要条件.

故选：D

1．设x，y都是实数，则“且”是“或”的（       ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分也非必要

【答案】A

【详解】由题意知：且能推出或，满足充分性；反过来或不能推出且，不满足必要性，

故“且”是“或”的充分非必要条件.

故选：A.

2．设，，则p是q的（       ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【详解】，解得：且，则，，故p是q的充分不必要条件.

故选：A

3．“”是“对任意的正数，均有”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当，时，由基本不等式可知，

故“”是“对任意的正数，均有”的充分条件；

当时，成立，不成立，

故“”是“对任意的正数，均有”的不必要条件.

故选：A

4．已知，为实数，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【详解】因为，则，所以，即由可推出，

取，可得，而，即由不可推出，

所以“”是“”的充分不必要条件，故A对，B,C,D错,

故选：A.

5．下面四个条件中，使成立的充分不必要的条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，且，故成立的充分不必要的条件是，A正确；

当时，此时满足，而不满足，故不是成立的充分不必要的条件，B错误；

，解得：或，故是成立的必要不充分条件，故不合题意，C错误；

，解得：，故是成立的充要条件，不合题意，D错误.

故选：A

6．已知，q：方程有两个不相等的实数根，则p是q的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】方程有两个不相等的实数根，当且仅当，解得或，

显然，，，所以p是q的充分不必要条件.

故选：A

7．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为若“”是“”的充分不必要条件，

所以是的真子集，所以，解得，即实数a的取值范围是．

故选：A

8．一次函数的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是（       ）

A．， B．

C．， D．

【答案】D

【详解】由题意，一次函数的图象同时经过第一、二、四象限，

则满足，且，解得，，

故由函数的图象同时经过第一、二、四象限可以推出，

而由不一定推出函数的图象过第一、二、四象限，

所以是函数的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件．

故选：D.

9．（多选）下列说法中正确的有（       ）

A．“”是“”的必要条件

B．“”是“”的充分不必要条件

C．“或”是“”的充要条件

D．“”是“”的必要不充分条件

【答案】BC

【详解】对于A，“”成立，“”不一定成立，A错误；

对于B，“”可以推出“”，

取，得，但，

所以“”不能推出“”，B正确；

对于C，的两个根为或，C正确；

对于D，“”不能推出“”，同时“”也不能推出“”，D错误．

故选:BC．

10．（多选）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】

由图可知，B，C，D都是的充要条件，

故选：BCD．

11．设x∈R，则“3－x≤0”是“|x－1|≤2”的 ________条件．(用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”填空)

【答案】既不充分也不必要

【详解】由，得；由，解得，

所以不成立；不成立；

∴是的既不充分也不必要条件．

故答案为：既不充分也不必要.

12．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为________.

【答案】

【详解】由，得，

根据是的必要不充分条件，

，解得：，

的范围是：．

故答案为：

13．若不等式的一个充分条件为，则实数a的最小值是___________.

【答案】2

【详解】由不等式，

当时，不等式的解集为空集，显然不成立；

当时，不等式，可得，

要使得不等式的一个充分条件为，则满足，

所以，即∴实数a的最小值是2.

故答案为：2

14．已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______.

【答案】

【详解】∵表示不超过的最大整数，

∴，，即，

又是的充分不必要条件，，

∴AB，故，即的取值范围是.

故答案为：.

15．已知命题P：方程没有实数根．

(1)若P是真命题，求实数t的取值集合A；

(2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围．

【答案】(1)，(2)

【详解】(1)若P是真命题，则，解得，则．

(2)因为是的必要条件，所以，

当时，由，得，此时，符合题意；

当时，则有，解之得，

综上所述，a的取值范围为．

16．在下列命题中，试判断是的什么条件.

(1)p：x2>0，q：x>0；

(2)：与都是奇数；：是偶数；

(3)：一元二次方程有两个实数根，：；

【答案】(1)必要不充分条件；

(2)充分不必要条件；

(3)必要不充分条件；

【详解】(1)由于，所以是的必要不充分条件.

(2)由于，所以是的充分不必要条件.

(3)对于，一元二次方程有两个实数根，则，

所以是的必要不充分条件.

17．已知集合，或．

(1)当时，求；

(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【详解】(1)当时，集合,

或 ，

或

(2) 若，且 “”是“”充分不必要条件，

因为，则

解得.

故的取值范围是: