【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-1.5《全称量词与存在量词》同步讲学案

1．5　全称量词与存在量词

知识点一　全称量词和存在量词

知识点二　含量词的命题的否定

题型一、全称量词与全称命题

命题点1 判断全称命题的真假

1．判断下列全称命题的真假：

（1）所有的素数都是奇数；

（2）；

（3）对每一个无理数，也是无理数.

【答案】（1）假命题，（2）真命题，（3）假命题

【详解】

（1）因为2是素数，而2是偶数，所以所有的素数都是奇数为假命题，

（2）因为对于任意实数，都有，所以，所以此命题是真命题，

（3）若，则为有理数，所以此命题是假命题，

命题点2 根据全称命题的真假求参数

2．（多选）给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】AB

【详解】由于命题为假命题，所以命题的否定：，是真命题.

当时，则，令，所以选项A正确；

当时，则，令，所以选项B正确；

当时，则，，不成立，所以选项C错误；

当时，则，，不成立，所以选项D错误.

故选：AB

题型二、存在量词与特称命题

命题点1 判断特称（存在性）命题的真假

1．判断下列命题的真假：

（1） ；

（2）；

【答案】（1）真命题；（2）假命题.

【详解】（1）由，得，

即，解得或，

故命题为真；

（2）由，得，

即，解得或，

故时，不成立，

故是假命题.

命题点2 根据特称（存在性）命题的真假求参数

2．命题“”为真命题，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【详解】因为命题“”为真命题，

所以方程有2不等实根，

故，解得或，

故答案为：

题型三、含有一个量词的命题的否定

命题点1 全称命题的否定及其真假判断

1．已知命题，，则（       ）

A．命题，为假命题

B．命题，为真命题

C．命题，为假命题

D．命题，为真命题

【答案】D

【详解】显然当时不满足，故命题，为假命题，

所以，为真命题，

故选：D．

命题点2 特称命题的否定及其真假判断

2．已知命题：，或，则（       ）

A．：，或 B．：，且

C．：，且 D．：，或

【答案】B

【详解】因为命题：，或，

故可得：，且.

故选：B.

命题点3 含有一个量词的命题的否定的应用

3．（多选）下列说法正确的是（       ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．命题“，”的否定是“，”

C．“”是“”的必要而不充分条件

D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件

【答案】BD

【详解】A.命题“，”的否定是“，”，故错误；

B.命题“，”的否定是“，”，正确；

C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；

D.关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，

故选：BD.

命题点4 根据全称或特称命题及命题的否定的真假求参数

4．已知：，，：，．

（1）写出命题的否定；命题的否定；

（2）若和至少有一个为真命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）：，；：，；（2）.

【详解】（1）：，；

：，．

（2）由题意知，真或真，

当真时，，

当真时，，解得，

因此，当真或真时，或，

即．

1．判断下列全称量词命题的真假，并说明理由．

（1）时，则；

（2）任意一个实数乘以都等于它的相反数；

（3）对任意实数，，，关于的方程都有两个实数解．

【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析

【详解】对于（1），若，则必有，（1）为真命题．．

对于（2），根据相反数的定义，得（2）是真命题．

对于（3），当时，关于的方程为，此时该方程至多有一个实数解，所以（3）为假命题．

2．若命题“，”是真命题，则实数k的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】当时显然恒成立，

当时要使命题为真，则：

可得；而时不可能恒成立，

综上，k的取值范围是.

故选：B

3．判定下列存量量词命题的真假：

（1）；

（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；

（3）是无理数}，是无理数.

【答案】（1）真；（2）真；（3）真

【详解】

（1）当时，成立，故（1）为真命题；

（2）至少有一个整数例如1，它既不是合数，也不是素数，故（2）真命题；

（3）若为无理数，则也是无理数，故（4）为真命题

4．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（       ）

A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）

【答案】A

【详解】若命题“”是真命题，即有解，

则对应的判别式，即，解得，

故选：A

5．命题p：，的否定：___，且是___命题（填“真”或“假”）

【答案】     ，     假

【详解】根据题意可得：，，

而当时，恒有，故该命题错误.

故答案为：，；假.

6．命题“”的否定是____，该命题为____ 命题（填“真”“假”）.

【答案】          假

【详解】因为原命题为“”，所以其否定为：.

当x=0时，，所以该命题为假命题.

故答案为：；假.

7．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．

【答案】

【详解】因为为假命题，所以为真命题，

命题，都有， 为真命题，则，即

命题，使，为真命题，则，即

因为命题、同时为真命题，所以，解得，

故实数m的取值范围是．

8．已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围.

【答案】

【详解】若为真命题，当时，可得恒成立，满足题意；

当时，则，解得，

当为真命题，实数的取值范围是.

若为真命题，则有，解得，

当为真命题，实数的取值范围是.

中有且仅有一个为真命题，

当为真命题，为假命题时，实数的取值范围是;

当为假命题，为真命题时，实数的取值范围是.

综上，当中有且仅有一个为真命题时，实数的取值范围是.

1．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【详解】根据题意，命题“，”中含有存在量词，

所以该命题的否定需要将存在量词改为全称量词，且只否结论，不否条件，

所以命题的否定为：，，

故选：A.

2．若命题“时，”是假命题，则的取值范围（       ）

A．      B．       C．      D．

【答案】B

【详解】因为“，”是假命题，

则其否定“，”为真命题，则

而当时，取得最小值，所以，故选：B

3．（多选）下列命题中，不是真命题是（       ）

A．若且，则，至少有一个大于1

B．，

C．的充要条件是

D．，

【答案】BCD

【详解】对于A，若均小于等于1，则，可知A正确

对于B，当时，，故B错误，

对于C，当时，满足，但无意义，故C错误，

对于D，由二次函数性质知D错误，

故选：BCD

4．（多选）下列存在量词命题中，为真命题的是（       ）

A．有些自然数是偶数 B．至少有一个x∈，使x能同时被2和3整除

C．，|x|<0 D．，x2-2x+3=0

【答案】AB

【详解】对于A，2，4都是自然数，也都是偶数，A正确；

对于B，6是整数，6能同时被2和3整除，B正确；

对于C，因是真命题，则，|x|<0是假命题，C不正确；

对于D，因，成立，则，是假命题，D不正确.

故选：AB

5．（多选）若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（        ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】ABC

【详解】由题意，不等式恒成立，

所以，．

故选：ABC．

6．若命题：“，”，则命题的否定为____________．

【答案】，

【详解】由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题p：“∃m∈N，∈N”，

则命题p的否定为：∀m∈N，∉N．

故答案为：∀m∈N，∉N．

7．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______

【答案】

【详解】因为命题“，”是真命题，

所以不等式在上恒成立.

由函数的图象是一条开口向上的抛物线可知，

判别式即，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

8．若命题“，成立.”是真命题，则实数a的取值范围是________

【答案】

【详解】令，则在上有解，

开口向上且对称轴为，，

所以或，解得.

故答案为：

9．若命题“，使成立”是假命题，则实数的取值范围为______.

【答案】

【详解】由题可知“，”为真命题，

当时，，，

当时，则，所以，

综上可得.故答案为：.

故答案为：

10．命题，，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为___________.

【答案】

【详解】，要使得，则，解得.

若命题p为真命题，则实数a的取值范围为.

故答案为：.

11．写出下列命题p的否定，并判断其真假.

(1)p：，.

(2)p：不论m取何实数，方程必有实数根.

(3)p：有的三角形的三条边相等.

(4)p：等腰梯形的对角线垂直．

【答案】(1)：，；假命题．

(2)：存在一个实数，方程没有实数根；假命题．

(3)：所有的三角形的三条边不都相等；假命题．

(4)：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直；真命题．

【详解】(1)：，；所以：，；

显然当时，即为假命题．

(2)：不论取何实数值，方程必有实数根；

所以：存在一个实数，方程没有实数根；

若方程没有实数根，则判别式，此时不等式无解，即为假命题．

(3)：有的三角形的三条边相等；

：所有的三角形的三条边不都相等，为假命题．正三角形的三条边相等，则命题是真命题，所以是假命题．

(4)：等腰梯形的对角线垂直；则是假命题，

所以：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直，是假命题，是真命题．

12．已知，.，.

(1)若为真命题，求的取值范围；

(2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】(1)由，，

若为真命题，

则，解得或，

所以的取值范围为；

(2)若为真命题时，则对恒成立，所以，

若，一个是真命题，一个是假命题，

当是真命题，是假命题时，

则或，解得，

当是假命题，是真命题时，

则，解得，

综上所述.