【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-第03讲《一元二次方程根与系数的关系》同步讲学案

第03讲：一元二次方程根与系数的关系

【考点梳理】

考点一、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程，用配方法将其变形为：

(1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ；

(2) 当时，方程有两个相等的实数根：；

(3) 当时，方程没有实数根．

由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：.

考点二、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的两个根为：

.

所以：，

.

定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：

 .

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是．

【专题突破】

一、单选题

1．已知一元二次方程的两根为与，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数的直是（       ）

A． B．3

C．或3 D．或1

3．若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ）

A． B． C．，且 D．，且

4．已知是一元二次方程的两实根，则代数式的值是（       ）

A．7 B．1 C．5 D．

5．关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（       ）

A． B． C．4 D．-4

6．关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（       ）

A．  B． C． D．

7．已知关于的方程的两根分别是，且满足，则的值是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．若、是一元二次方程的两个不相等的根，则的值是（       ）

A．3 B．15 C．-3 D．-15

9．若，是方程的两个根，且，则的值为.

A．或2 B．1或 C． D．1

10．已知正实数满足，为方程的根，则（       ）

A． B． C． D．

11．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（       ）

A． B． C． D．

12．若一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为（       ）

A．-4 B．-2 C．0 D．1

13．在中，a、b、c为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是（       ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

14．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则的值为（       ）

A．或 B． C． D．

15．已知，是一元二次方程的两个实根，则的值为（       ）

A． B． C． D．

16．关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是（       ）

A． B． C．或 D．或

二、填空题

17．若和分别是一元二次方程的两根，则的是_____________.

18．若、是一元二次方程的两个根，则的值为___________.

19．已知，是方程的两个根，则____________.

20．若关于x的方程的两个实数根为，且，则实数m的值为___________.

21．已知关于的方程有两个实数根、，若，则的值为________

22．已知是方程的两根，且，则的值______．

三、解答题

23．已知关于x的方程．

（1）求证：对于任意实数m方程总有实数根；

（2）若是原方程的两根，且，求m的值．

24．已知方程的两根为与，求下列各式的值：

（1）；（2）．

25．已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．

26．已知一元二次方程的两根分别是，利用根与系数的关系求下列式子的值：

（1）；（2）（3）．

27．已知关于x的方程.

（1）若，方程两根分别为，，求和的值；

（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.

28．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) .

29．已知是一元二次方程的两个实数根．

（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．

30．已知关于的方程有两个不等实根.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）设方程的两个实根为，且，求实数的值；

（Ⅲ）请写出一个整数的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明）

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

利用根与系数关系求得的正确结果.

【详解】

依题意一元二次方程的两根为与，

所以，

所以.

故选：B

2．B

【解析】

【分析】

利用韦达定理求解即可.

【详解】

因为，是一元二次方程的两个不相等的实数根，

所以，，所以，

解得或，

又因为，得，所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于简单题.

3．C

【解析】

【分析】

由题意可得，从而可求出实数的取值范围.

【详解】

解：由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得

，解得，且.

故选:C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的分布问题.本题的关键是由不同两根得判别式大于零.本题的易错点是忽略了这一条件.

4．D

【解析】

将目标式展开，利用韦达定理，代值计算即可.

【详解】

∵是一元二次方程的两实根，

∴，

∴．

故选：D

【点睛】

本题考查韦达定理的应用，属基础题.

5．D

【解析】

根据一元二次方程的根与系数的关系，得到，化简，代入即可求解.

【详解】

由有两个实数根，可得，

所以．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程方程的性质及其应用，其中解答中熟记一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

6．D

【解析】

根据题意得且，解不等式即可得答案.

【详解】

解：因为关于的方程有两个不等的实根

且，即：且，

解得且.

故选：D.

【点睛】

本题考查一元二次方程的实数根问题，是基础题.

7．B

【解析】

【分析】

根据韦达定理求解即可.

【详解】

因为关于的方程的两根分别是,故.

故,解得.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了韦达定理的应用,属于基础题.

8．B

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.

【详解】

∵、是一元二次方程的两个不相等的根，

∴，即，

由根与系数的关系可知：，

∴.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了运算能力，属于中档题.

9．D

【解析】

【分析】

列出韦达定理的相关式子，将对应式子代入中计算的值，注意.

【详解】

由一元二次方程根与系数的关系，得，.

因为，所以.

解得，.

又由，解得.

综上，的值为1.故选D.

【点睛】

本题考查一元二次方程的根与系数的关系，难度较易.一元二次方程的两个根为，则：.

10．A

【解析】

【分析】

先由，求出的值，根据韦达定理，得到，，进而可求出结果.

【详解】

由解得或，因为为正实数，所以，

又为方程的根，所以，；

因此.

故选A

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，熟记根与系数关系即可，属于基础题型.

11．C

【解析】

【分析】

根据根与系数的关系可得出，将其代入中即可求出结论.

【详解】

解：∵，是一元二次方程的两根，

∴，

.

故选：C.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键.

12．B

【解析】

由方程的两个根分别为a，b，由根与系数的关系，可知， ，代入即可得到答案.

【详解】

方程的两个根分别为a，b

，

由韦达定理可得：

故选：B.

【点睛】

本题考查一元二次方程的根与系数的关系，考查学生的运算能力，属于基础题.

13．A

【解析】

【分析】

利用方程根的判别式可得，结合勾股定理的逆定理即可.

【详解】

因为方程有两个相等的实数根，

所以，即，

所以

所以

所以是直角三角形.

故选：A

14．B

【解析】

【分析】

根据韦达定理以及，列方程可得的值，再检验是否满足即可.

【详解】

因为关于的一元二次方程的两个实数根为，

所以，，

由且，

可得：，即，

解得：或，

因为，可得，

所以，

故选：B.

15．A

【解析】

【分析】

用韦达定理求出两根和与积，再代入计算．

【详解】

由题意，，∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．

16．B

【解析】

【分析】

利用韦达定理结合判别式求出实数的值，再结合韦达定理可求得的值.

【详解】

由题意可知，可得，

由韦达定理可得，因为，则，

原方程为，所以，，

故，

因此，.

故选：B.

17．

【解析】

【分析】

由韦达定理得， ，进而求解．

【详解】

解：由韦达定理：， ，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查韦达定理，两根只差与两根之和、两根之积的关系．

18．

【解析】

【分析】

列出韦达定理，由可求得的值.

【详解】

对于方程，，故原方程必有两根，

又根据二次方程根与系数的关系，可得，.

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用韦达定理求值，考查计算能力，属于基础题.

19．32

【解析】

【分析】

由题得的值，再把韦达定理代入得解.

【详解】

由题得.

所以.

故答案为32

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的韦达定理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

20．

【解析】

【分析】

由题知，，再根据韦达定理求解得，进而解方程得

【详解】

解：因为关于x的方程的两个实数根为，

所以，，

所以

所以，

因为，

所以，即，解得

因为，所以

故答案为：

21．4

【解析】

将，变形为，根据方程有两个实数根、，得到，再代入上式求解.

【详解】

因为方程有两个实数根、，

所以，

因为，

所以，

，

即，

解得或（舍去）

故答案为：4

22．或

【解析】

【分析】

由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，化简，代入韦达定理，解出即可.

【详解】

解：因为是方程的两根

所以，

又因为，即

所以，解得或

故答案为或

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，韦达定理得应用，属于基础题.

23．（1）证明见详解；（2）或

【解析】

（1）对参数进行分类讨论，当为二次方程时，关注的正负即可；

（2）根据韦达定理，将目标式进行转化，代值即可求得.

【详解】

（1）证明：当时，方程化为，即，方程有一个实根；

当时，，方程有两个实根．

综上，对于任意实数m方程总有实数根．

（2）∵是方程的两根，

∴．

又∵，

∴，

∴，

整理，得，

解得或．

【点睛】

本题考查二次方程根的情况与参数之间的关系，以及韦达定理的应用，属基础题.

24．（1）；（2）

【解析】

（1）由方程的根为与，结合韦达定理，求得两根之和与两根之积，再提取公因式，将转化为进行求解；

（2）将进行通分，由韦达定理即可求得.

【详解】

由方程得．

（1）；

（2）．

【点睛】

本题考查由韦达定理，求解的代数式的值，属基础题.

25．（1）k＞﹣且k≠0；（2）2020.

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；

（2）k＝1．方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算α3+β2+β+2016的值．

【详解】

（1）根据题意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，

解得k＞﹣且k≠0；

（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，

∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，

∴α+β＝1，αβ＝﹣1，

∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，

∴β2＝β+1，α2＝α+1

∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，

α3+β2+β+2016

＝2α+1+β+1+β+2016

＝2（α+β）+2018

＝2×1+2018

＝2020．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．

26．（1）；（2）11；（3）-36

【解析】

利用韦达定理写出两根之和与两根之积.

（1）应用，代值计算即可；

（2）将目标式转化为，代值计算即可；

（3）利用公式，将目标式转化为，代值计算即可.

【详解】

根据一元二次方程根与系数的关系，得．

（1）∵

∴．

（2）．

（3）．

【点睛】

本题考查利用韦达定理，求解的混合式的值，需要注意第三问中的转化，需要牢记三次方公式.

27．（1），

（2）

【解析】

【分析】

（1）由，，借助韦达定

理求解.

（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.

【详解】

（1）当时，即：

因此：

（2）

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.

28．（1）（2）3 （3）（4）

【解析】

【分析】

由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，然后将各小问所求代数式化简处理，代入韦达定理即可.

【详解】

解：∵是方程的两个根，

∴

(1)原式；

(2)原式；

(3)原式；

(4)原式.

29．（1）不存在k；理由见解析；（2）．

【详解】

（1）假设存在实数k，使成立．

∵一元二次方程的两个实数根

∴，

又，是一元二次方程的两个实数根

∴∴

，但 ．

∴不存在实数k，使成立．

（2）∵

∴要使其值是整数，只需能整除4，

∴，，，

注意到，要使的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5．

所以的值为

30．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）依题意，解得即可；（Ⅱ）利用韦达定理得到，再代入方程，解得即可；

（Ⅲ）依题意找出合适的即可；

【详解】

解：（Ⅰ）因为方程有两个不相等实数根，所以，即，解得，即

（Ⅱ）因为方程的两个实根为，所以，，又，所以，解得或，又，所以

（Ⅲ）当时，方程，解得，满足条件；