【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.2.1《单调性与最大（小）值》同步讲学案

第2课时　函数的最大(小)值

知识点一　函数的最大(小)值及其几何意义

知识点二　求函数最值的常用方法

1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．

2．运用已学函数的值域．

3．运用函数的单调性：

(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．

(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．

4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．

题型一、图像法求函数的最值

1．画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：

（1）；

（2），；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）.

【详解】（1）图象如题所示：，

单调递减区间为，递减区间为 最大值为，无最小值；

（2）图象如图所示：，单调递减区间为，最小值为，最大值为；

（3）图象如图所示：，单调递增区间为，无最大值和最小值；

（4）图象如图所示：，单调递减区间为，最大值为；

（5）图象如图所示：，

单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值；

（6）图象如图所示：，单调递增区间为，无最大值和最小值.

2．已知函数.完成下面两个问题：

(1)画出函数的图象，并写出其单调增区间：

(2)求函数在区间上的最大值.

【详解】(1)，图象如下：

单调增区间为和.

(2)由（1）中的图象可知，函数在上单调增，在上单调减，在上单调增，，故在区间上的最大值为.

3．已知函数，的图象如图所示，请回答：

（1）当，时，求此函数的值域；

（2）当，时，求此函数的值域.

【详解】（1）根据函数的图象可得在为减函数，在上为增函数，

故的值域为.

（2）根据函数的图象可得在为减函数，在上为增函数，

故， ，

故函数的值域为.

题型二、利用函数的单调性求最值

1．已知，，求函数的最大值和最小值．

【详解】在上单调递减，

在上的最大值；最小值.

2．求的最小值．

【详解】由题意得：的定义域为，

任取，则，

；

，，，

在上为增函数，.

3．已知函数，且

(1)求实数a的值；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；

(3)求函数在上的值域．

【详解】(1) ，，解得.

(2)由（1）得

函数在上的单调递增，证明如下：

设，且，则有

，，，，

，即，

∴函数在上的单调递增.

(3)由（2）得函数在上的单调递增，

，在上单调递增，

又，

在上的值域是.

1．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大（小）值点．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【详解】(1)因为，所以函数在上单调递增，区间为开区间，

所以该函数没有最大值和最小值；

(2)因为，所以一次函数在上单调递减，

所以，因此该函数单调递减，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值；

(3)因为的对称轴为：，

所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，

所以当时，函数有最小值，因为，

所以当时，函数有最大值；

(4)，

因为，所以当时，函数单调递增，

故当时，函数有最小值，当时，函数有最大值.

2．已知函数

（1）画出函数图象

（2）结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间.

（3）若，写出函数f(x)的值域.

【详解】（1）由函数解析式可得，图象如下：

（2）由（1）函数图象知：在和上单调递增；在上单调递减；

（3）由（2）知：上单调增，，，

上单调减，上单调增，则有极小值，，

∴，的值域为；

3．已知函数；

(1)用分段函数的形式表示该函数；

(2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）．

【详解】(1)

∵，即.

(2)由可得函数图象，

由图象可知函数的单调减区间为，单调增区间为，函数值域为.

4．已知函数.

(1)画出函数的图像并写出它的值域；

(2)根据图象写出函数的单调区间.

【详解】(1)图象如不图所示：

当时，，结合图象知函数值域为.

(2)由图象可知，函数的单调增区间是，，单调减区间是.

5．已知函数.

（1）用分段函数的形式表示；

（2）画出的图象，并写出函数的单调区间、值域.

【详解】（1）当时，，

当时，.

故；

（2）函数的图象如下图所示：

由图可知，函数的单调递增区间为，无单调递减区间，函数的值域为.

6．已知函数.

（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（不用列表，直接画出草图．

（2）根据图象，直接写出函数的单调区间；

（3）若关于的方程有四个解，求的取值范围．

【详解】（1）由题意，函数，

所以的图象如右图所示：

 （2）由（1）中的函数图象，

可得函数的单调增区间为和，单调减区间为和．

（3）由方程有四个解等价于函数与的图象有四个交点，

又由函数的最小值为，

结合图象可得，即实数的取值范围．

7．已知函数

（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象.

（2）写出此函数的单调区间，并写出值域.

【详解】（1）图象如图所示

（2）定义域为R，增区间为[1，3]，减区间为、、，值域为.

8．已知函数．

(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；

(2)求函数在区间上的值域.

【详解】(1)函数在上的为增函数，理由如下：

任取，且，有

∵，∴

∴即

∴函数在区间上单调递增

(2)由（1）可知函数在区间上单调递增，

∴，又∵时，，∴

∴

∴函数的值域为.

9．已知函数．

(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；

(2)求在区间上的值域．

【详解】(1)在区间上单调递增，证明如下：

，且，有

．

因为，且，所以，．

于是，即．

故在区间上单调递增．

(2)由第（1）问结论可知，因为在区间上单调递增,

，．

所以在区间上的值域为．

1．函数在上的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设，，，则，则，

根据双勾函数性质：函数在上单调递减，在上单调递增，

，，

故函数值域为.

故选：C.

2．（多选）已知，，设，则关于的说法正确的是（       ）

A．最大值为3，最小值为

B．最大值为，无最小值

C．单调递增区间为和，单调递减区间为和

D．单调递增区间为和，单调递减区间为和

【答案】BC

【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，

当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，

当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，

然后根据定义画出，

就容易看出有最大值，无最小值，故A错误，

当时，由，得舍或，

此时的最大值为：，无最小值，故B正确，

时，由，解得：（舍去），

故F在，递增，在和递减故C正确，D错误，

故选：BC．

3．（多选）已知函数，若的最小值为，则实数的值可以是（       ）

A． B．1 C．0 D．2

【答案】AC

【详解】当时，，则在上单调递减，

所以，

当时，，在上单调递增，

所以，得，

故选：AC

4．已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.

【答案】         

【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

即有当时，，而当时，，当时，，则，

所以函数的最大值为，最小值为.

故答案为：；

5．函数的值域为_______________．

【答案】

【详解】因为

，

所以此函数的定义域为，

又因为是减函数，

当

当

所以值域为

故答案为：．

6．已知在上的最大值为M，最小值为m，若，则______．

【答案】−2或−4

【详解】二次函数的对称轴为：，

当时，即，函数在上单调递增，

所以，由，得，不满足，舍去；

当时，即时，函数在上单调递减，

所以，由，得，不满足，舍去，

当时，则，此时，

若时，即时，，

由，得，或舍去，

若时，即，，

由，得，或舍去，

综上所述：或，

故答案为：−2或−4

7．已知函数.

(1)求函数的解析式

(2)当时，判断函数的单调性，并求其值域.

【详解】(1)令，则，

，即，

(2)，

时，由是减函数知，是减函数，

故，，

所以函数的值域为.

8．已知函数f(x)=.

(1)求函数的定义域；

(2)试判断函数在(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明；

(3)试判断函数在x∈[3，5]的最大值和最小值.

【详解】(1)

∵f(x)=，∴x+1≠0，∴x≠-1，

∴函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}.

(2)∵f(x)==2-，∴函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数.

证明如下：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=( 2-) –(2-)=-+=，

∵-1<x1<x2，∴x2-x1>0，∴x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，

∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(-1，+∞)上是增函数.

(3)∵函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数，

∴f(x)在x∈[3，5]上单调递增，

∴函数f(x)在x∈[3，5]上的最大值为f(5)=2-=，最小值为f（3）=2-=.

9．已知函数，

(1)证明：在上单调递减，并求出其最大值与最小值：

(2)若在上的最大值为，且，求的最小值.

【详解】(1)设是区间上的任意两个实数，且，

则

，

因为且，

所以，

所以，即，

所以函数在上单调递减，

所以，.

(2)由（1）知在上的最大值为，

所以，即

所以，

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

10．已知函数.

(1)若，求函数的最小值和最大值；

(2)当时，求函数的最小值．

【详解】(1)因为，对称轴为，开口向上，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，即函数的最小值为，最大值为；

(2)，抛物线开口向上，对称轴为，最小值为，过点，

结合二次函数的图象可知：

当，即时，，，函数在上单调递减，

所以在处取最小值，

当，即时，，在处取最小值，

当时，，，函数在上单调递增，函数在处取最小值，

由以上分析可得，函数的最小值．