【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.4《函数的应用（一）》同步讲学案

3．4　函数的应用（一）

知识点一　一次函数模型

形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.

知识点二　二次函数模型

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．

3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．

知识点三　分段函数模型

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

知识点四　幂函数模型

1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．

2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．

题型一、一次函数模型的应用实例

1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（       ）

A．310元         B．300元         C．390元        D．280元

【答案】B

【详解】依题意，解得. 故选：B

2．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法：

（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．

（2）按购买总价的92%付款．

某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法．

【详解】由优惠办法（1）可得函数解析式为；

由优惠办法（2）可得函数解析式为．

当该顾客买茶杯40个时，采用（1）应付款（元）；采用（2）应付款（元）．

由于，故选择优惠办法（2）．

题型二、二次函数模型的应用实例

1．（多选）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（       ）

A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元

【答案】BCD

【详解】设商品A的单价为元，则销量为万件，此时商品A销售总收入为万元，根据题意有，解得，故BCD符合题意.

故选:BCD

2．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示.

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

【详解】由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，

设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，

在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶)．

令520－40x>0，则0<x<13.

y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200

＝－40(x－6.5)2＋1 490,0<x<13.

易知，当x＝6.5时，y有最大值．

所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润．

题型三、分段函数模型

1．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：

方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元.

方案二：不收管理费，每度0.58元.

（1）求方案一收费元与用电量（度）间的函数关系

（2）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

【详解】（1）当时，.

当时，.

∴

（2）设按第二方案收费为元，则.

当时，由，得∴

∴.

当时，由，得∴

∴.

综上，.

故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25、50度）时，选择方案一比方案二更好.

题型四、幂函数模型

1．某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.

（1）求的值；

（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？

【详解】设今年碳排放量为.

（1）由题意得，

所以，得.

（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，

则，

将代入得，

即，得.

故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的.

1．刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表：

刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）．

(1)设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数；

(2)请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的套餐．

【详解】(1)因为刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍，

所以他每月接打本地电话时间为，接打长途．

若选择套餐甲，则月租12元，本地话费，长途话费，

则；

若选择套餐乙，则月租0元，本地话费，长途话费，

则．

(2)∵，

当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱；

当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱；

当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样．

2．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.

（1）写出夏令营每位同学需交费用（单位：元）与夏令营人数之间的函数关系式；

（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？

【详解】（1）由题意可知每人需交费关于人数的函数：

（2）旅行社收入为，则，

即，

当时，为增函数，

所以，

当时，为开口向下的二次函数，

对称轴，所以在对称轴处取得最大值，.

综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元.

3．某人驱车以的速度从地驶往处的地，到达地并停留后，再以的速度返回地，试将此人驱车走过的路程（单位：）表示为时间（单位：）的函数.

【详解】由题知，A地到B地花费在路上的时间，

从B地返回A地花费在路上的时间，

所以根据题意，当时，；

当时，；

当时，，

所以函数的表达式为.

4．小王进行投资研究，发现投资开餐馆的收益与投资金额的关系是，的部分图象如图1；投资运输运营的收益与投资金额的关系是，的部分图象如图2.（收益与投资金额单位：万元）

（1）求，的解析式；

（2）小王准备将自己的存款100万元全部投资餐馆和运输运营，如何分配才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

【详解】（1）由图1，得，解得，

∴，

由图2，得，解得，

∴.

（2）设最大收益为万元，投资餐馆资金为万元，投资运输运营万元.

由题意得.

∴，

由，解得，

故在为增函数，

由，解得，

故在为减函数，

∴当时，.

∴投资餐馆资金为93.75万元，投资运输运营6.25万元，

才能使投资获得最大收益，其最大收益为万元.

1．某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．

(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？

【详解】(1)设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，

由题设，，

由图可知（1），所以，又（4），所以，

所以，；

(2)设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，

，，

令，则，，

所以当时，，此时，

所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.0625万元．

2．某市出租车的收费标准如下表：

(1)设里程为公里时乘车费用为元，请根据题意完善下列解题过程：

①当时，_________；

②当时，__________；

③当时，__________.

综上，关于的函数关系式是

(2)若计价器中显示的里程数为5公里，问乘客需支付多少费用?

(3)若某乘客微信支付了32元的费用，问该乘客的乘车里程是多少公里?

【详解】(1)根据收费标准列式，可得．

时，；

时，；

时，，

所以，

故答案为：①10；②；③；10；；

(2)由（1）知时，；

(3)由函数式知时，函数为增函数，而，

所以时，，．

3．某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．

(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？

(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？

【详解】(1)设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，

即血液含药量须不低于4微克，可得，解得，

所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．

(2)设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；

若，药物浓度，  解得，

若，药物浓度，               

化简得，所以；                           

若，药物浓度，解得，所以；                                           

综上，                                                               

所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．

4．某公司一年需要一种计算机元件8000个，每个电子元件单价为a元，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，每次单价不变，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为件，每个元件的库存费是一年2元．

（1）将公司每年总费用F表示成x的函数；

（2）请你帮公司核算一下，每年进货几次花费最小．

【详解】

（1）由题意可知，n＝，F＝8000a+500n+2•x＝x+500•+8000a，即：F＝x++8000a；

（2）由（1）可知，F＝x++8000a＝+500n+8000a＝4000+8000a．

当且仅当，即n＝4时，总费用最少，故每年进货4次花费最小．

5．某公司研发芯片耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入（平万元）与投入的资金x（千万元）成正比，已知每投入1千万元，获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式为，其图像如图所示.

（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入与投入资金的函数关系式.

（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？

（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金）

【详解】（1）由题易得生产A芯片的毛收入为；

将，，代入，得，所以，

所以，生产B芯片的毛收入为.

（2）由，得；由，得；由，得.

所以，当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大.

（3）设投入x千万元生产B芯片，则投入千万元资金生产A芯片.

公司所获利润.

故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元.