【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题04《分式》讲学案

专题04：分式

1. 分式的定义：形如（其中B中含有字母）的式子叫做分式.

2. 分式的性质：分式的分子与分母同时乘或除以一个不为0的整式，分式的值不变.

 如.

3. 繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，此分式就称为繁分式.

 如或等.

4. 繁分式的化简：一般将其化成分式的除法进行运算.

（1）分数乘除法在运算过程中，可以先约分再运算；

（2）当分子或分母是多项式时，必须先对其进行因式分解，然后再进行约分计算；

（3）最后的运算结果应该保留成整式或最简分式；

（4）分母的乘除法，按照运算顺序依次计算.

例1：分式化简求值

已知，

求的值.

【解答】1

【解析】

，

∵、、均为实数，

.

例2：分式的意义

已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为         .

【解答】12

【解析】该分式化简过程如下：

因为式子的值是整数，则，则或或或，则所有符合条件的的值的和为12.

例3：分式的性质

若边长为的正方形与长、宽分别为m、n的矩形面积相等，则下列比例式中，不正确的是（      ）

A.    B.   C.   D.

【解答】D

【解析】由题意可得，∴，A选项正确；

∵，，即；

∵，∴，即，∴，C选项正确；

故选D.

例4：用公式求值

已知，求的值.

【解答】

【解析】化简过程如下：

将代入上式得原式.

例5：通分化简分式

化简：

【解答】见解析

【解析】直接通分计算量较大，可采用逐步通分法，过程如下：

巩固练习

一．选择题

1．如果a，b，c，d是正数，且满足a+b+c+d＝2，

，那么的值为（　　）

A．1 B． C．0 D．4

2．设，则＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．8

3．自然数a，b，c，d满足，则等于（　　）

A． B． C． D．

4．设x＜0，，则代数式的值（　　）

A．1 B． C． D．

5．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）

A．﹣3或 B．或 

C．﹣3或或 D．﹣3或

6．如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（　　）

A．13 B．15 C．20 D．22

7．已知a、b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设则下列两个结论（　　）

①ab＝1时，M＝N，ab＞1时，M＞N；ab＜1时，M＜N．②若a+b＝0，则M•N≤0．

A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错

8．已知，则的值是（　　）

A． B． C． D．

二．填空题

9．（1）已知，则＝      　；

（2）已知，则＝       　．

10．已知：，则的值为　  　．

11．已知a2﹣3a﹣1＝0，求a6+120a﹣2＝　    　．

12．已知a，b，c是不为0的实数，且那么的值是      　．

13．如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，，则的值为　   　．

14．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，．

类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么 （B+1）﹣（A+1）＝　   　．

三．解答题

15．先化简，再求值：，其中．

16．（1）已知（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，求a2+b2与ab的值；

（2）已知，求的值.

17．已知，求的值．

18．已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，求代数式的值．

19．先化简后求值：已知：，求分式的值．

20．先化简，再求值：，其中x是方程 x2﹣3x﹣10＝0的解．

21．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；．

（1）分式是 　   　分式（填“真”或“假”）；

（2）将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式；

（3）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．

22．深化理解：阅读下列材料，并解答问题：

材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；

则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．

∵对于任意x上述等式成立，

∴解得：．

∴x﹣2．

这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．

（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 　   　；

（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．

23．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．

（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？

（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值．

24．观察下面的变形规律：

解答下面问题：

（1）若n为正整数请你猜想＝        　；

（2）证明你猜想的结论；

（3）利用这一规律化简：．

（4）尝试完成．（直接写答案）+…       　．