【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题05《和（差）的立方公式、立方和（差）公式》讲学案

和（差）的立方公式、立方和（差）公式

1. 完全立方和公式：

证明：

变形1：；

变形2：.

2. 完全立方差公式：

证明：

变形1：

完全立方公式的推广：

3. 立方和公式：

证明：

4. 立方差公式：

例1：分解因式

（1）

（2）

（3）

（4）

【解答】见解析

【解析】

例2：利用公式计算

计算：

【解答】

【解析】

例3：利用公式解决实际问题

已知矩形的周长为28，相邻的两边分别为、且满足，求这个矩形的面积？

【解答】49

【解析】

即，

整理得，

，

又，

，

∵矩形的面积为49.

巩固练习

1．运用立方和与立方差公式化简：

（1）（y+3）（y2﹣3y+9）；     （2）（3+2y）（9﹣6y+4y2）；

（3）（5xy）（25x2xyy2）；   （4）（2x+1）（4x2﹣2x+1）；

（5）（2x﹣3y）（4x2+6xy+9y2）；    （6）（x2+y2）（x4﹣x2y2+y4）

2. 求最大正整数，使得能被整除.

3. 若为任意整数，求证：的值不大于100.

4. 如果△ABC的三边a、b、c满足，试判断△ABC的形状.

5. 化简

6. 将分解因式，并用分解因式结果计算.

7. 已知，求：（1）的值；（2）的值；（3）的值．

8. 已知，求的值

9. 已知，求的值.

10．根据m（a+b+c）＝ma+mb+mc，可得（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3．

即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．

（1）把立方和公式①中的b改用﹣b替代时，可得立方差公式，请直接写出立方差公式 　   　．

（2）立方和和立方差公式统称为立方公式，请根据立方公式判断计算（x+1）（x2+x+1）能直接运用公式吗？若能，请直接写出答案；若不能，请改变某个因式中的某一项，使它能利用立方公式计算，并直接写出相应的计算结果．

11．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）

立方差公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）

根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中x＝3．

12．已知实数x，y满足方程组．温馨提示：立方和（差）公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．

求值：（1）xy  （2）x2+y2．

13．阅读：材料1：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，最高次项的系数不为零，这样的整式方程叫做一元二次方程，它有一种解法是利用因式分解来解的，如解方程：x2﹣3x+2＝0，左边分解因式得（x﹣1）（x﹣2）＝0，所以x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以原方程的解是x＝1或x＝2．

材料2：立方和公式用字母表示为：x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2），

（1）请利用材料1的方法解方程：x2﹣6x+5＝0；

（2）请根据材料2类比写出立方差公式：x3﹣y3＝　   　；（提示：可以用换元方法）

（3）结合材料1和2，请你写出方程x6﹣9x3+8＝0的两个解．

14．学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：

（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子．

①化简：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　   　；

②计算：（993+1）÷（992﹣99+1）＝　   　；

（2）【公式运用】已知：x＝5，求的值；

（3）【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由．