【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题09《二元二次方程组》讲学案

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二元二次方程组1. 二元二次方程的定义：含有两个未知数且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.2. 二元二次方程组的定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组.3. 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：（1）代入法①把二元二次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④将所解得未知数的值代入二元一次方程，求另一个未知数的值（若代入的是二元二次方程，会出现“增解”问题）；⑤将解得两个未知数的值组在一起就是原方程组的解.例：解方程组【解答】【解析】由①得③，将③代入②得，，解得，将代入③，得，将，得，所以原方程组的解是.（2）逆用根与系数的关系对于形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，将、看作一元二次方程的两个根，求得的和的值，就是、的值，当时，；当时，，所以原方程组的解是两组“对称解”.例：解方程组【解答】【解析】这个方程组中的、恰好是的两个根，解得，∴原方程组的解为.4. 两个二元二次方程组成的方程组的解法（1）当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成新的两个方程组，解新的方程组所得的解就是原方程组的解.例：解方程组【解答】【解析】由①得，，∴或，原方程组可化为以下两个方程组，或，（2）当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到4个二元一次方程组，解这4个二元一次方程组所得的解都是原方程组的解.例：解方程组【解答】【解析】得，，或，得，，或，∵原方程组可化为，解这4个方程组，得原方程组的解是PS：对称性方程组或都可以通过变形转化为的形式，通过构造一元二次方程求解.5. 其他解法（1）加减法、代入法解二元二次方程组例：解方程组【解答】【解析】得，即，∴，∴或，∴原方程组可化为两个方程组，用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是.（2）换元法解二元二次方程组例：【解答】【解析】原方程组可化为，令，则原方程组可化为，解得，代入得原方程组的解为.巩固练习一．选择题1．二元二次方程组的解是（　　）A．B．C．D．【解答】C【解析】依题意得x＝3﹣y∴xy＝（3﹣y）y＝﹣10﹣y2+3y+10＝0y2﹣3y﹣10＝0（y﹣5）（y+2）＝0y1＝5，y2＝﹣2∴方程的解为：2．下列方程组中，为二元二次方程组的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：∵中各方程都是二元一次方程，∴A不合题意．∵中每一个方程都是分式方程，不符合二元二次方程组定义，∴B不合题意．∵中有无理方程，不符合二元二次方程组定义．∴C不合题意，∵是含有两个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程，符合二元二次方程的定义，∴D符合题意．故选：D．3．关于x，y的二元二次方程组有且只有一组实数解，则m的值是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】C【解析】将两式相减，可得x2﹣2x＝2﹣m，整理得x2﹣2x+m﹣2＝0，由题可得（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝0，解得m＝3．4．二元二次方程组的解共有（　　）个．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：，由①，得（x﹣2y）2＝1，即x﹣2y＝±1，由②，得x＝0或y＝0④，由③和④组成四个二元一次方程：，，，，解得：，，，，所以方程组的解有4个，故选：A．二．填空题5．已知，是某个二元二次方程组的解，那么这个方程组可以是 　．　．（只要写出一种情况）【解答】解：满足解是，的二元二次方程组可以是．故答案为：．6．方程组是关于x、y的二元二次方程组，则m、n的取值范围是      　．【解答】m，n不能同时为0【解析】当m≠0、n≠0时，方程组是关于x、y的二元二次方程组，当m＝0、n≠0时，方程组是关于x、y的二元二次方程组，当m≠0、n＝0时，方程组是关于x、y的二元二次方程组，故答案为：m，n不能同时为0．7．若二元二次方程组有两组不相等的实数解；则k的取值范围　k　．【解答】解：，由②得：x＝y+k③，把③代入①得：y2﹣4（y+k）+1＝0，y2﹣4y﹣4k+1＝0，∵方程组有两组不相等的实数解，∴Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣4k+1）×1＝16k+12＞0，解得：k，故答案为：k．8．二元二次方程组的解是                    　．【解答】【解析】由②得：x＝2y，代入①整理得：3y2﹣4y+1＝0，解得：y＝1或，把y代入x＝2y，得：x＝2或．故本题答案为：．9．关于x、y的二元二次方程组的一个解是；那么这个方程组的其余的解是　　          ．【解答】【解析】把代入方程组得：，方程组为，则这个方程组的其余解是，故答案为：三．解答题10．若方程组是二元二次方程组，求m的值．【解答】m的值为，，3或﹣1【解析】根据题意，m2﹣2m﹣1＝0或m2﹣2m﹣1＝1或m2﹣2m﹣1＝2，解m2﹣2m﹣1＝0，得：m＝，解m2﹣2m﹣1＝1，得：m＝，解m2﹣2m﹣1＝2，得：m＝3或﹣1．综上，m的值为，，3或﹣1．11．若二元二次方程组有唯一解，求实数k的值．【解答】当k＝1或﹣1时，原方程组有唯一解【解析】，把②代入①得x2﹣[k（x﹣2）+1]2＝1，整理得（1﹣k2）x2+2k（2k﹣1）x﹣4k2+4k﹣2＝0，当1﹣k2＝0时，即k＝±1，关于x的方程变形为一元一次方程，方程有一个解；当1﹣k2≠0时，即k≠±1，关于x的方程变形为一元二次方程，当△＝0时，方程有两组相同的解，即[2k（2k﹣1）]2﹣4（1﹣k2）（﹣4k2+4k﹣2）＝0，整理得3k2﹣4k+2＝0，此方程无实数根，所以当k＝1或﹣1时，原方程组有唯一解．12．二元二次方程组有两个实数解和，其中y1＝2，且，求常数n，t的值．【解答】【解析】∵y1＝2，∴，将x1＝4n，y1＝2代入，得化简，得，解得，由方程组，消去x，得（n2+4）y2+4n2y+4（n2﹣t）＝0，由韦达定理，得，解得．13．在初中，我们学习过二元一次方程组，知道二元一次方程组的解法有代入消元法和加减消元法．现在我们来看一种新的方程组，二元二次方程组，含有两个未知数，且未知数的最高次数为二次的方程叫二元二次方程．将两个二元二次方程组合在一起的方程组叫二元二次方程组，二元二次方程组也可能通过二元一次方程的解法来求解，你明白了吗？那么，请解答以下问题：（1）解方程组（2）解方程组．【解答】解：（1）由②得x＝1﹣2y③，把③代入①可得（1﹣2y）2+3（1﹣2y）y+3y2＝8，解得y1，y2．当y1时，x1；当y2时，x2．故原方程组的解为，． （2）由①×2﹣②得，x＝±③，把③代入②得，y＝±．故原方程组的解为，，，．14．阅读材料，解答问题：我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：解：由②得：y＝2x﹣5         ③将③代入①得：x2+（2x﹣5）2＝10整理得：x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3将x1＝1，x2＝3代入③得y1＝1×2﹣5＝﹣3，y2＝2×3﹣5＝1∴原方程组的解为．（1）请你用代入消元法解二元二次方程组：；（2）若关x，y的二元二次方程组有两组不同的实数解，求实数a的取信范围．【解答】（1）；（2）a＜且a≠﹣4【解析】（1）由①得，y＝2x﹣3③，把③代入②得，（2x﹣3）2﹣4x2+6x﹣3＝0，整理的，6x＝6，解得x＝1，把x＝1代入③得，y＝﹣1，故原方程组的解为；（2）由①得，y＝1﹣2x③，把③代入②得，ax2+（1﹣2x）2+2x+1＝0，整理得，（a+4）x2﹣2x+2＝0，由题意得，4﹣4×2×（a+4）＞0，解得a＜，∵a+4≠0，∴a≠﹣4，∴a＜且a≠﹣4．15．阅读材料解方程组：．分析：方程①是二元一次方程，方程②是二元二次方程，这样的方程组叫二元二次方程是组，像这种有一个方程是二元一次方程的二元二次方程组，可以类比二元一次方程组的解法，采用消元法求解．解：由方程①，得y＝7﹣2x，代入方程②，得x（7﹣2x）＝6，整理，得2x2﹣7x+6＝0，解这个方程，得x1＝2，x2．当x＝2时，y＝3；当x时，y＝4．所以，原方程组的解为，．解决下列问题（1）解方程组：．（2）如图，点D、E是等腰Rt△ABC斜边AB上两点，且∠DCE＝45°．①求证：DE2＝AD2+EB2；②设AC＝1，求DE的最小值．【解答】解：（1）．由方程①，得y＝10﹣3x，代入方程②，得10﹣3x＝x2，整理，得x2+3x﹣10＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝﹣5．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣5时，y＝25．所以，原方程组的解为，；（2）①证明：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠FAC＝45°，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，∵∠ACF＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACF＝45°，即∠DCF＝45°，∴∠DCF＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DF＝DE，∵AD2+AF2＝DF2，∴AD2+BE2＝DE2；②设DE＝y，BE＝x，则ADx﹣y，∴（x﹣y）2+x2＝y2，∴yxx，∵x2，当x时，y的值最小，此时x1或1（舍弃），y的最小值为2，∴DE的最小值为2．