【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题18《集合间的运算》讲学案

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集合间的运算
一、并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示如下：

1. “xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
2. 两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次)．
二、并集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；
交集的Venn图表示如下：

1. 并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
2. 概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
3. 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合．
三、集合间运算的常见结论



若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB
若x(A∪B)，则xA，或xB
例1：并集
设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B．
【解答】A∪B={ ，，-4}
【解析】∵A∩B={ }，
∴是方程2x2+px+q=0的解，
则有： (1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)
联立方程(1)(2)得到：，
∴方程(1)为2x2+7x-4=0，
∴方程的解为：x1= ， x2=-4，，
由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3= ， x4= ，
∴B={ ，}，则A∪B={ ，，-4}．
例2：交集
设集合，，，求．
【解答】
【解析】先将集合A、B、C、D转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可．
集合表示3的倍数所组成的集合；
集合表示除以3余1的整数所组成的集合；
集合表示除以3余2的整数所组成的集合；
集合表示除以6余1的整数所组成的集合；
．
例3：并集、交集综合
已知U=R，集合A={x｜1≤x≤4}，B={x｜a≤x≤a+2}．
（1）若a=3，求A∪B，；
（2）若BA，求a的范围．
【答案】（1）A∪B={x｜1≤x≤5}，；（2）1≤a≤2
【解析】（1）若a=3，∴B={x｜3≤x≤5}．
∴A∪B={x｜1≤x≤5}，
，
∴．
（2）∵BA，A={x｜1≤x≤4}，B={x｜a≤x≤a+2}．
∴，即，
解得1≤a≤2．
巩固练习
一．选择题（共6小题）
1．设全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|2x﹣4≥0}，则集合A∩（∁UB）＝（　　）
A．（0，2） B．（0，2] C．[0，2） D．[0，2]
【解答】解：∵2x﹣4≥0，∴x≥2．∴B＝{x|x≥2}．
∵|x﹣1|≤1，∴0≤x≤2，∴A＝{x|0≤x≤2}．
∴∁UB＝{x|x＜2}，则A∩（∁UB）＝{x|0≤x＜2}．
故选：C．
2．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|﹣2＜x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x＜1}
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}．
∴A∪B＝{x|﹣2＜x≤2}．
故选：B．
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．[﹣2，2] B．（﹣2，2] C．（﹣2，2） D．[﹣2，2）
【解答】解：∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，
∴∁B（A∩B）＝{x|﹣2＜x＜2}．
故选：C．
4．已知集合M＝{x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}，N＝{x|2x＞4}，则M∩N＝（　　）
A．{x|2＜x＜4} B．R C．{x|2＜x≤4} D．{x|x＞2}
【解答】解：∵M＝{x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}＝[1，4]，N＝{x|2x＞4}＝（2，+∞），
∴M∩N＝{x|1≤x≤4}∩{x|x＞2}＝{x|2＜x≤4}．
故选：C．
5．已知集合A＝{x∈Z|（x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|x2＞0}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
【解答】解：集合A＝{x∈Z|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，
B＝{x|x2＞0}＝{x|x≠0}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：D．
6．已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{x|x+m＞0}，且A∪B＝（﹣2，+∞），则m的取值范围为（　　）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．（﹣1，2] D．[﹣2，1）
【解答】解：A＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，
∵B＝{x|x+m＞0}＝{x|x＞﹣m}，A∪B＝（﹣2，+∞），
∴﹣2≤﹣m＜1，∴﹣1＜m≤2，
∴m的取值范围为（﹣1，2]．
故选：C．
二．多选题（共6小题）
（多选）7．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（　　）
A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8
【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，
∴A∩B＝{0，1}，故A正确，
∁UB＝{2，4}，故B错误，
A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，
集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误
故选：AC．
（多选）8．已知集合A＝{1，4，a}，B＝{1，2，3}，若A∪B＝{1，2，3，4}，则a的取值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：集合A＝{1，4，a}，B＝{1，2，3}，
A∪B＝{1，2，3，4}，
∴a的取值可以是2或3．
故选：AB．
（多选）9．如图所示，阴影部分表示的集合是（　　）

A．（∁UB）∩A B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．A∩∁U（A∩B）
【解答】解：由图可知，阴影部分表示的集合包含于A，且包含于B的补集，且包含于∁U（A∩B），
∴阴影部分表示的集合为：（∁UB）∩A或A∩∁U（A∩B），
故选：AD．
（多选）10．图中阴影部分的集合表示正确的是（　　）

A．N∩∁UM B．M∩∁UN
C．[∁U（M∩N）]∩N D．（∁UM）∩（∁UN）
【解答】解：由已知中阴影部分在集合N中，
而不在集合M中，
故阴影部分所表示的元素属于N，不属于M（属于M的补集），
即可表示为（∁UM）∩N或[∁U（M∩N）]∩N，
故选：AC．
（多选）11．江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（　　）
A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人
B．只参加球类一项比赛的人数有2人
C．只参加径赛一项比赛的人数为0人
D．只参加田赛一项比赛的人数为3人
【解答】解：设全班同学组成全集U，参加田赛的同学组成集合A，参加径赛的同学组成集合B，参加球类比赛的同学组成集合C，
设同时参加径赛和球类比赛的人数为x，
根据题意，画出韦恩图如图所示，

则3+8+9+x+（13﹣8﹣x）+（19﹣9﹣x）＝30，
解得x＝5，
所以同时参加径赛和球类比赛的人数有5人，
只参加球类一项比赛的人数有5人，
只参加径赛一项比赛的人数为0人，
只参加田赛一项比赛的人数为3人．
故选：CD．

（多选）12．已知（∁RA）∩B＝∅，则下面选项中不成立的是（　　）
A．A∩B＝A B．A∩B＝B C．A∪B＝B D．A∪B＝R
【解答】解：因为（∁RA）∩B＝∅，所以B⊆A，
因为A∩B＝A，则A⊆B，故选项A错误，
因为A∩B＝B，则B⊆A，故选项B正确；
因为A∪B＝B，则A⊆B，故选项C错误；
因为A∪B＝R，不能确定是否B⊆A，故选项D错误．
故选：ACD．
三．填空题（共5小题）
13．已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{x∈Z|2≤x≤5}，则A∩B＝　{3，5}　．
【解答】解：∵B＝{x∈Z|2≤x≤5}＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{3，5}．
故答案为：{3，5}．
14．设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A∩∁RB＝∅，则实数a的取值范围为 　（﹣∞，﹣2]　．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，
∴∁RB＝{x|x≤a}，
∵A∩∁RB＝∅，
∴a≤﹣2，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．
故答案为：（﹣∞，﹣2]．
15．已知A＝{x|a≤x≤a+3}，b＝{x|﹣1＜x＜5}，A∩B＝∅，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，﹣4]∪[5，+∞）　．
【解答】解：∵A＝{x|a≤x≤a+3}，b＝{x|﹣1＜x＜5}，A∩B＝∅，
∴a≥5或a+3≤﹣1，解得a≥5或a≤﹣4，
故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[5，+∞）．
16．已知A＝（﹣∞，0]，B＝[a，+∞），且A∪B＝R，则实数a的取值范围为 　（﹣∞，0]　．
【解答】解：∵A＝（﹣∞，0]，B＝[a，+∞），且A∪B＝R，
∴a≤0，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]．
故答案为：（﹣∞，0]．
17．建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了100人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中a＝　9　；b＝　8　；c＝　10　．

【解答】解：由题意得28+a+b+6=5135+a+c+6=6026+b+c+6=50，
解得a＝9，b＝8，c＝10．
故答案为：9，8，10．
四．解答题（共7小题）
18．已知S＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{4，5，6，7}，B＝{3，5，7，8}．求：
（1）A∩B；
（2）A∪B；
（3）（∁SA）∪B．
【解答】解：（1）A∩B＝{5，7}；
（2）A∪B＝{3，4，5，6，7，8}；
（3）∁SA＝{1，2，3，8}，（∁SA）∪B＝{1，2，3，5，7，8}．
19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，A∩B＝∅，
∴当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；
当B≠∅时，m+1≤2m-12m-1＜-2或m+1≤2m-1m+1＞5，
解得m＞4，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，2）∪（4，+∞）；
（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，
当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；
当B≠∅时，m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5，解得2≤m≤3．
综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．
20．已知全集为R，集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|（2x﹣3）（x﹣4）≤0}．
（Ⅰ）求A∪B，（∁RA）∩B；
（Ⅱ）若C＝{x|m+1＜x＜2﹣m}，且A∩C＝C，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵全集为R，集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|（2x﹣3）（x﹣4）≤0}＝{x|32≤x≤4}，
∴∁RA＝{x|x≥3或x＜1}，
∴A∪B＝{x|1≤x≤4}，（∁RA）∩B＝{x|3≤x≤4}；
（Ⅱ）∵C＝{x|m+1＜x＜2﹣m}，且A∩C＝C，
∴C⊆A，
∴当m+1≥2﹣m，即m≥32时，C＝∅，满足题意，
当C≠∅时，m＜32，需满足m+1≥12-m≤3m＜32，即0≤m＜32，
综上可得，实数m的取值范围为{m|m≥0}．
21．已知集合A＝{x|log2（x+1）≥1}，B＝{x|x2﹣2x﹣m＜0}．
（1）当m＝3时，求∁RB；
（2）若A∩B＝{x|1≤x＜4}，求A∪B．
【解答】解：（1）当m＝3时，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），
所以∁RB＝{x|x≥3或x≤﹣1}；
（2）因为A＝{x|log2（x+1）≥1}＝{x|x≥1}，A∩B＝{x|1≤x＜4}，
所以x＝4是x2﹣2x﹣m＝0的一个根，
故m＝8，B＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，
所以A∪B＝{x|x＞﹣2}．
22．已知全集U＝R，若集合A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x﹣m≤0}．
（1）若m＝3，求∁UB，A∪B；
（2）若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵m＝3，∴B＝{x|x≤3}，
∵U＝R，∴∁UB＝{x|x＞3}，
∵A＝{x|﹣2≤x≤4}，∴A∪B＝{x|x≤4}．
（2）∵A∩B＝A，∴A⊆B，
∵A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x≤m}，
∴m≥4，
∴实数m的取值范围是[4，+∞）．
23．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}．
（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，B＝{x|a+2≤x≤3a}＝{x|4≤x≤6}，
∵A＝{x|2≤x＜4}，
∴A∩B＝∅．
（2）若B⊆A，
①当B＝∅时，则a+2＞3a，∴a＜1，
②当B≠∅时，则a+2≤3aa+2≥23a＜4，∴1≤a＜43，
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，43）．
24．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，U＝R．
（1）若A∪∁UB＝U，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）A∪∁UB＝U，
所以B⊆A，
当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，
当B≠∅时，2m-1≥m+1m+1≥-22m-1≤5，
解得2≤m≤3，
综上，m的取值范围为{m|m≤3}；
（2）当A∩B＝∅时，
当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，
当B≠∅时，2m-1≥m+12m-1＜-2或2m-1≥m+1m+1＞5，
解得，m＞4，
综上，A∩B＝∅时，m＞4或m＜2，
故当A∩B≠∅时，实数m的取值范围为[2，4]．