【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题21《全称量词与存在量词》讲学案

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全称量词与存在量词一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对中任意一个，有成立”，记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.PS：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在中一个元素，有成立”，记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题：，的否定：，；从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题：，的否定：，；从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.PS：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.  （3）正面词：等于、大于、小于、是、都是、至少一个、至多一个、小于等于；否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在.例1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）xR，x2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）有些整数只有两个正因数. 【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“有些”；是特称命题。例2：写出下列命题的否定并判断真假（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于；【解析】（1）存在未位数字是0或5的整数但它不能被5整除，假命题；（2）存在一个非负数的平方它不是正数，真命题；（3）任何一个三角形它的内角和都不大于180°，真命题；例3：已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   【解析】，q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0，又∵m>0，∴不等式的解为1-m≤x≤1+m，∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”，∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集，，∴实数m的取值范围是.   巩固练习一、单选题1．下列语句不是全称量词命题的是（       ）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【答案】C【解析】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案．【详解】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.【点睛】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的定义，熟练掌握全称命题和特称命题的定义是解答本题的关键．2．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是（       ）A．对，方程无实根 B．对，方程有实根C．对，方程无实根 D．对，方程有实根【答案】A【解析】【分析】只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是对，方程无实根故选：A3．设命题，则的否定为（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】命题，则的否定为：.故选：B【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．4．下列结论中，错误的是（       ）A．“”是“”的充分不必要条件B．已知命题，则C．若复合命题是假命题，则都是假命题D．命题“若，则的逆否命题“若，则【答案】C【解析】对A，可利用子集法确定；对B,D直接利用定义；对C，根据复合命题的真假判断；【详解】对A， 或，所以“”“”，反之不成立，故A正确；对B，D都是可以直接判断为正确的.对C，复合命题假，只需至少有一假就可以了，所以C错误.故选：C.二、多选题5．已知下列说法：①命题“，”的否定是“，”；②命题“，，”的否定是“，，”；③“”是“”的充分不必要条件；④命题：对任意，总有.其中说法错误的是（       ）A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】【分析】①根据特称命题的否定是全称命题即可判断；②根据全称命题的否定是特称命题即可判断；③根据必要条件和充分条件的概念即可判断；④判断命题的真假.【详解】对于①，命题“，”的否定是“，”，故错误；对于②，命题“，，”的否定是“，，”，正确；对于③，“”是“”的必要不充分条件，故错误；对于④，当时，故错误.故选：ACD.6．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有A．B．所有的正方形都是矩形C．D．至少有一个实数，使【答案】AC【解析】【分析】通过原命题的否定为全称量词命题且为真命题，确定原命题是特称量词命题且为假命题，根据此结论逐项分析.【详解】由条件可知：原命题为特称量词命题且为假命题，所以排除BD；又因为，，所以AC均为假命题，故选AC.【点睛】（1）含一个量词的命题的否定方法：改变量词，否定结论；（2）常见的：含有全部、都、所有等词时，对应的是全称命题；含有存在、有一个等词对应的是特称命题.7．下列说法中正确的个数是（       ）A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；B．命题“”是全称量词命题；C．命题“，”是存在量词命题．D．命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题；【答案】BC【解析】【分析】根据存在量词命题和全称量词命题的定义判断ABC，根据判别式判断D.【详解】A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误；B中命题“ ”是全称量词命题,故B正确；C中命题“,”是存在量词命题,故C正确；D中选项中当时，即当时，方程没有实数根,因此，此命题为假命题.故选：BC8．使“”成立的必要不充分条件是（       ）A．， B．， C．， D．，【答案】BCD【解析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【详解】解：若，，则，，，即，则不一定成立；故错误，若，当，，，有成立，反之不一定成立；故满足条件．，由得，，，即则成立，故满足条件，若，当，，，有成立，反之不一定成立；故满足条件．故选：BCD．【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．三、填空题9．命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________．【答案】存在一个无理数，它的平方不是有理数【解析】【分析】根据全称命题的否定形式，即可求解结论.【详解】存在一个无理数，它的平方不是有理数，全称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”．故答案为：存在一个无理数，它的平方不是有理数【点睛】本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题.10．已知命题，.若为假命题，则的取值范围为___________【答案】【解析】【分析】首先写出命题的否命题，根据为假命题即可得出为真命题即可求出的取值范围.【详解】为假命题 为真命题，故在 的最小值为∴ 故答案为：11．已知命题“”是假命题，则实数m的取值范围是_________.【答案】【解析】求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围【详解】若命题“”是假命题，则“”为真命题，显然时，不满足题意，故只需满足，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在上恒成立求参数的问题，属综合基础题.12．若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，命题“，使得成立”是真命题，可得出，结合基本不等式可解得实数的取值范围．【详解】若命题“，使得成立”是假命题，则有“，使得成立”是真命题.即，则，又，当且仅当时取等号，故．故答案为：四、解答题13．已知命题p：，命题q：.（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（3）若命题p、q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】（1）p为真命题，可得判别式；（2）q为真命题，可得判别式；（3）m的范围为（1）和（2）中m的并集.【详解】（1）若命题p：为真命题，则，解得.（2）若命题q：为真命题，则，解得或.（3）若命题p、q至少有一个为真命题，则，或，或，∴或.14．已知集合（1）若，求实数m的取值范围.（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.②当B不是空集时，∵，，∴综上①②，.（2），使得，∴B为非空集合且.当时，无解或，，∴.15．选择合适的量词、，加在的前面，使其成为一个真命题：（1）；（2）；（3）是偶数；（4）若x是无理数，则是无理数；（5）这是含有三个变量的语句，用表示【答案】答案见解析.【解析】【分析】根据勾股定理等知识，用全称量词和存在量词改写命题，使其成为真命题即可.【详解】（1），.（2），；，都是真命题.（3），x是偶数；（4），若x是无理数，则是无理数；例如.（5），b，，有.【点睛】本题主要考查了用全称量词和存在量词改写命题，属于中档题.16．设命题对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）命题为真，只需，根据一次函数的单调性，转化为求关于的一元二次不等式；（2）命题为真，只需，根据二次函数的性质，求出的范围，依题意求出真假，和假真时，实数m的取值范围.【详解】（1）对于命题p：对任意，不等式恒成立，而，有，，，所以p为真时，实数m的取值范围是；（2）命题q：存在，使得不等式成立，只需，而，，，，即命题q为真时，实数m的取值范围是，依题意命题一真一假，若p为假命题， q为真命题，则，得；若q为假命题， p为真命题，则，得，综上，或.【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.17．已知集合，（1）若命题是真命题，求m的取值范围；（2）命题是真命题，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可；（2）由命题是真命题得，故，进而得，再根据集合关系求解即可得答案.【详解】解：（1）因为命题是真命题，所以，当时，，解得；当时，，解得.综上，m的取值范围为.（2）因为是真命题，所以，所以，即，所以，所以只需满足即可，即. 故m的取值范围为.【点睛】本题考查根据命题真假求参数取值范围，解题的关键在于将命题关系转化为集合关系，考查化归转化思想，是中档题.18．设证明:的充要条件是.【答案】见解析【解析】分别证明充分性与必要性即可.【详解】证明:(1)充分性:如果,那么,.(2)必要性:如果,那么,,.由(1)(2)知,的充要条件是.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.