压轴专题05 平面向量综合问题小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（安徽、吉林、黑龙江、云南、山西5省通用）

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 压轴专题05 平面向量综合问题小题综合

一、单选题
1．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.
【详解】由题意，为钝角时，取到最小值；如图，为的中点，在上的投影向量为；
由可知当在上的投影长最长时，即 与圆 相切时，可取到最小值；

，
当时，，所以的最小值为.
故选：B.
2．（2022秋·云南红河·高三云南省泸西县第一中学校考期末）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】采用向量的坐标运算，得到所求模长之和的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到和两点的距离之和的最小值的求解问题，根据直线与圆相交可知所求最小值即为两点间距离，由此计算得到结果.
【详解】均为单位向量且，不妨设，，且，
，，
，
的几何意义表示的是点到和两点的距离之和，
和两点确定的直线为，即，
原点到的距离，
与相交，
则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，
所求最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将所求模长之和的最值通过几何意义进行等价转化，将问题转化为单位圆上的点到两个定点距离之和的最值的求解问题.
3．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的数量积求得，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】，，
，，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，设
又，知，解得，
又E为的外心，，
，为等边三角形，，
∴，∴．
故选：A

4．（2022秋·山西朔州·高三统考期末）已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设向量所在直线为OA（A为向量的终点），当点P位于与直线OA垂直且与圆相切的直线上时，投影取得最值，进而求出最大值.
【详解】如图所示，向量所在直线为OA（A为向量的终点），则，则设与直线OA垂直且与圆相切的直线为，所以圆心到直线的距离，

根据图形可知，当时投影最大，设此时与直线OA交于B，
易得，直线OA：，联立：，解得：，
所以，则向量在向量方向上投影的最大值为.
故选：B.
5．（2022春·安徽滁州·高三校考期中）已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数,都有,则向量与夹角的最大值的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系,设出相关向量,通过分析位置,寻求临界值.
【详解】设.
如图,不妨设.
设为AB的中点,为OC的中点,为BD的中点,为AD的中点.
则.

,点在平行四边形内(含边界).
由题知恒成立.
为了使最大,则思考为钝角,即思考点在第一或第四象限.
思考临界值即与重合,与重合,且GM不能充当直角三角形斜边,否则可以改变的位置，使得
所以,即

即,即.
所以.
所以

所以向量与夹角的最大值的余弦值为
故选:A.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用已知条件转化出所在的位置.
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）如图，在ΔABC中，∠BAC=，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值为（    ）

A．3 B． C． D．6
【答案】B
【分析】由题可知，
根据三点共线即可求出，所以，
即 ，
又△ABC的面积为，可知，，求得，再根据基本不等式，即可求出的最小值．
【详解】因为，所以，由三点共线可得，
，即，所以，由向量的模的公式可得，
，
而，可得，
根据基本不等式，
，
所以的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查向量共线定理推论、向量的模的计算公式以及基本不等式的应用，意在考查学生综合运用知识的能力，属于难题．
7．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（    ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题通过正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：由及正弦定理，
得，即，
由余弦定理得，，∵，∴．
由，，
两边平方，得
即

，
当且仅当，即时取等号，即，
∴线段CD长度的最小值为．
故选：D．
8．（2022春·吉林·高三吉林一中校考阶段练习）已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由已知得，所以点在的平分线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，，可知，结合三角函数的性质可求最小值.
【详解】表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
的分向与的平分线一致，
，
所以点在的平分线上，即为的角平分线，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，其中
分析可知当时，取得最小值，即
故选：C
9．（2022·山西晋城·统考三模）在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先设，根据求出点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，即可得到 的取值范围
【详解】设，则，解得（舍去）或=4，
所以点P的轨迹方程为，曲线过点（1，2）且关于直线x=1对称，
由题可知k