+山东省济南市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年山东省济南市高新区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  服饰文化是我国传统文化的重要组成部分下列传统服饰图纹是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个幸幸从中任意摸一个球，下面说法正确的是(    )

A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最大
C. 不可能是黑球 D. 摸出黄球的可能性最小

3.  若一个三角形的两边长分别为，，则它的第三边的长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是(    )

A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和单价

5.  如图，点是直线外一点，且，点是垂足，点，，在直线上，下列线段中最短的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”若，，则正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，直线，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证(    )

 

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(    )

A.  B.  C.  D.

12.  要得知某一池塘两端，的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图，先过点作，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测量的长即可；
方案Ⅱ：如图，过点作，再由点观测，用测角仪在的延长线上取一点，使，则测量的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是(    )

A. 只有方案Ⅰ可行 B. 只有方案Ⅱ可行
C. 方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ和Ⅱ都不可行

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  计算： ______ ．

14.  如图，是的中线，是边上的中点，连接，若的面积为，则的面积为______ ．

15.  有一棵树苗，刚栽下去时树高为米，以后每年长米，则树高米与年数年之间的关系式为______ ．

16.  如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，若，则______．

17.  如图，在下列网格中，小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的度数为______ ．

18.  如图，在中，，，线段，的垂直平分线交于点，则的长度为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
．

21.  本小题分
如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴如图例，要求所画的四种方案不能重复．

 

22.  本小题分
如图，，，，求，，的度数．
解：，
______ 两直线平行，同位角相等．
，
______ ，
，
，
，
______ ______
______

23.  本小题分
如图，是的角平分线，，，求的度数．
解：令，
平分，
， ______ ______
，
______
．
，，
______
，得，
．
在中，

______

24.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

25.  本小题分
如图，，，，求的长．

26.  本小题分
甲袋中有红球个、白球个和黑球个；乙袋中有红球个、白球个和黑球个．每个球除颜色外都相同
若从中任意摸出一个球是红球，选哪袋成功的机会大？请说明理由；
“从乙袋中取出个红球后，乙袋中的红球个数和甲袋中红球个数一样多，所以此时若从中任意摸出一个球是红球，选甲、乙两袋成功的机会相同”你认为这种说法正确吗？为什么？

27.  本小题分
如图，已知点在射线上，平分与，求证小明的证明过程如下：小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“”，若错误，请写出你的证明过程．

28.  本小题分
安阳某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂顶端到地面的距离的长．

29.  本小题分
观察以下等式：




按以上等式的规律，填空：______
利用多项式的乘法法则，说明中的等式成立．
利用中的公式化简：

30.  本小题分
在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足．
如图，当时，猜想线段，，之间的数量关系是______；
如图，当时，问题中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
拓展与应用：如图，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、图形是轴对称图形，符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：从中任意摸出一个球，有可能是红球，有可能是黄球，有可能是黑球，由红球有个，黄球有个，黑球有个，所以摸出红球的概率最大，摸出黑球的概率最小；
故A、、选项说法错误；
故选：．
根据概率的相关概念可进行排除选项．
本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系可得：
，
解得：，
故选：．
首先设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，再解不等式即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
 

4.【答案】 

【解析】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：．
根据常量与变量的定义即可判断．
本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量．
 

5.【答案】 

【解析】解：点是直线外一点，且，点是垂足，点，，在直线上，最短的线段是．
故选：．
由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断．
本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
 

6.【答案】 

【解析】解：，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.，原计算错误，故此选项不符合题意；
C.无法合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
分别同底数幂的乘法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方运算法则计算各项后，再进行判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：直角三角形较短的直角边为，
所以，正方形的面积．
故选：．
根据勾股定理求出另一条直角边，利用中间小正方形的面积大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可．
本题考查勾股定理的应用，解答时需要通过图形获取信息解题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
是三角形的外角，，，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，再根据是三角形的外角，求得．
本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，

图的面积可表示为，
图阴影部分面积可表示为，
可以验证，
故选：．
图的面积可表示为，图阴影部分面积可表示为，即可求解．
本题考查了图形面积的求法，平方差公式的几何背景，解题关键是数形结合的解题思想．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，
是的角平分线，，，
，
．
故选：．
过点作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
故选：．
根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故方案Ⅰ可行；
，
，
在和中，
，
≌，
，
故方案Ⅱ可行；
综上可知，方案Ⅰ和Ⅱ都可行，
故选：．
在两个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据单项式的除法法则计算即可．
本题考查了单项式除法，解题的关键是熟练掌握运算法则．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的中线，的面积为，
，
是边上的中点，
．
故答案为：．
根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
本题主要考查了三角形的面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，
故答案为：．
根据题目中的数量关系得出答案．
本题考查函数关系式，掌握“树苗的总高度等于原高度与后期所长高度的和”是正确解答的前提．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补的性质，以及翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等求出，再根据翻折的性质以及平角的定义，求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补，列式计算即可得解．
【解答】
解：因为长方形纸片的边，
所以，
根据翻折的性质，可得，
又，
所以．
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，，，
，即，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
连接，利用勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接、，延长交于，

线段，的垂直平分线交于点，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
平分，
，
，，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
连接，延长交于，根据得≌，可得，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】根据同底数幂的乘法和合并同类项法则可直接得出结论．
本题主要考查同底数幂的乘法，熟知相关法则是解题关键：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
 

20.【答案】解：

． 

【解析】直接利用多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，进而得出答案．
此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
 

21.【答案】解：如图所示：
 

【解析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】      两直线平行，同旁内角互补   

【解析】解：，
两直线平行，同位角相等．
，
，
，
，
，
两直线平行，同旁内角互补，
．
故答案为：，，，两直线平行，同旁内角互补，．
先根据平行线的性质得出，故可得出的度数，由两直线平行，同旁内角互补即可得出的度数．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
 

23.【答案】  角平分线的定义  等腰三角形的性质  三角形外角的性质   

【解析】解：令，
平分，
，角平分线的定义．
，
等腰三角形的性质．
．
，，
三角形外角的性质．
，得，
．
在中，

．
故答案为：，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，．
设，先根据角平分线的定义求出，再根据等边对等角求出，然后列方程求出的值，最后根据三角形内角和计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
 

24.【答案】解：

，
当时，
原式

． 

【解析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

25.【答案】解：在和中，
，
≌，
，
，
，即，
的长是． 

【解析】由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明≌，则，所以的长是．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明≌是解题的关键．
 

26.【答案】解：甲袋中有红球个、白球个和黑球个，从甲袋中摸到红球的可能性为，
乙袋中有红球个、白球个和黑球个，从乙袋中摸到红球的可能性为，
因为，
故从中任意摸出一个球是红球，选乙袋成功的机会大；
从乙袋中取出个红球后，从乙袋中摸到红球的可能性为，
因为，
所以选甲、乙两袋成功的机会不相同，故说法不正确． 

【解析】首先求得从甲袋中摸到红球的可能性，从乙袋中摸到红球的可能性，比较得到结论；
分别求得从甲袋中摸到红球的可能性，从乙袋中摸到红球的可能性，做判断即可．
此题考查了可能性的大小，概率公式，正确的理解题意是解题的关键．一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为且．
 

27.【答案】解：小明利用的是，是不能证明与全等，故小明的证明不正确；
正确的证明如下，
平分，
，
，
，，
≌，
． 

【解析】由平分，证明，再由邻补角，推出，根据可证明≌，即可证明．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
 

28.【答案】解：在中，
由勾股定理得，
米，
米，
答：点到地面的距离的长为米． 

【解析】中，根据勾股定理求出得到，于是得到结论．
本题考查了勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．
 

29.【答案】解：；
；
原式
． 

【解析】

【分析】
本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
根据等式的规律填空即可；
利用多项式的乘法法则，进行计算即可得出中的等式成立；
利用中的公式进行计算、合并即可．
【解答】
解：；
故答案为；
见答案；
见答案．  

30.【答案】
仍然成立，理由如下，
，
，
，
，
≌，
，，
；
是等边三角形，理由如下，
，平分，
，
，
和是等边三角形，
，，
同理得，≌，
，，
，
≌，
，，
，
是等边三角形． 

【解析】解：，理由如下，
，
，
，
，
≌，
，，
，
故答案为：．
见答案；
见答案．
由得到，进而得到，然后结合得证≌，最后得到；
由得到，进而得到，然后结合得证≌，最后得到；
先由和平分得到，然后结合得到和是等边三角形，然后得到、，然后结合≌得到、，从而得到，故可证≌，从而得到、，最后得到，即可得证是等边三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等．