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高考物理一轮复习课件专题五万有引力与航天 (含解析)
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这是一份高考物理一轮复习课件专题五万有引力与航天 (含解析)，共60页。
考点一 匀变速直线运动
A组 自主命题·天津卷题组
1.(2015天津理综,4,6分)未来的星际航行中,宇航员长期处于零重力状态,为缓解这种状态带来 的不适,有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”,如图所示。当旋转舱绕其轴 线匀速旋转时,宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上,可以受到与他站在地球表面时相同大小的 支持力。为达到上述目的,下列说法正确的是 ( )A.旋转舱的半径越大,转动的角速度就应越大B.旋转舱的半径越大,转动的角速度就应越小C.宇航员质量越大,旋转舱的角速度就应越大D.宇航员质量越大,旋转舱的角速度就应越小
答案 B 宇航员在舱内受到的支持力与他站在地球表面时受到的支持力大小相等,mg=mω 2r,即g=ω2r,可见r越大,ω就应越小,B正确,A错误;角速度与质量m无关,C、D错误。
2.(2019课标Ⅲ,15,6分)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加 速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半 径R金a地>a火 B.a火>a地>a金C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
答案 A 本题考查万有引力定律和匀速圆周运动,体现了物理模型建构、科学推理等核心 素养。行星绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即G =ma向=m ,解得a向=G ,v= ,由于R金a地>a火,v金>v地>v火,选项A正确。
解题关键 认识并掌握天体运动与万有引力的关系是解决这类问题的关键。
B组 统一命题、省（区、市）卷题组
3.(2019课标Ⅰ,21,6分)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹 簧上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另 一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示。假设 两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍,则 ( ) A.M与N的密度相等B.Q的质量是P的3倍C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
答案 AC 本题考查了重力与万有引力的关系、密度、牛顿第二定律与图像的综合应用、 机械能守恒定律等,以及理解能力、推理能力、综合分析能力及应用数学知识处理物理问题 的能力,难度较大。本题体现了运动与相互作用观念、能量观念、模型建构、科学推理和科 学论证的核心素养,加强了考生以科学态度探究科学本质的责任感。对物体在弹簧上向下运动的过程应用牛顿第二定律得mg-kx=ma,则a=g- x,结合a-x图像可得,重力加速度gM=3a0、gN=a0, = 、 = ,联立可解得mQ=6mP,故B选项错。认为星球表面的重力等于万有引力,即mg=G ,则星球质量M= ,星球的密度ρ= = = ,由此可知M星球与N星球的密度之比为 = = × =1,故A选项正确。设弹簧的最大压缩量为xm,此时物体动能为零,由机械能守恒定律有mgxm= k ,则xm= ,由此可得 = =6× =2,故D选项错。当物体加速度等于零时,速度最大,动能最大,由机械能守恒定律有,Ekm=
mgx'- kx'2,结合mg=kx'可得Ekm= kx'2,此时P、Q对应的弹簧的压缩量分别为x0和2x0,故有 = =4,故C选项正确。
疑难突破 (1)数形结合获取有用信息是解决本题的突破口,由a=g- x结合图像的纵截距和斜率即可得物理量间的关系。(2)当物体先加速后减速运动时,合力等于零时对应速度最大的运动状态。(3)应用机械能守恒定律是分析C、D选项的关键。弹簧的弹性势能Ep= kx2为必备知识。
4.(2018课标Ⅱ,16,6分)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0 253”,其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.67×10-11 N· m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
答案 C 本题考查万有引力定律在天体中的应用。以周期T稳定自转的星体,当星体的密度 最小时,其表面物体受到的万有引力提供向心力,即 =m R,星体的密度ρ= ,得其密度ρ= = kg/m3=5×1015 kg/m3,故选项C正确。
方法技巧 万有引力定律及天体质量和密度的求解方法(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。由于 =mg,故天体质量M= ,天体密度ρ= = = 。(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。①由万有引力提供向心力,即G =m r,得出中心天体质量M= ;②若已知天体半径R,则天体的平均密度ρ= = = ;③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密 度ρ= 。可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。
5.(2018课标Ⅰ,20,6分)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根 据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的 某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并 利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星 ( )A.质量之积 B.质量之和C.速率之和 D.各自的自转角速度
答案 BC 本题考查万有引力定律的应用等知识。双星系统由彼此间万有引力提供向心力, 得 =m1 r1,G =m2 r2,且T= ,两颗星的周期及角速度相同,即T1=T2=T,ω1=ω2=ω,两颗星的轨道半径r1+r2=L,解得 = ,m1+m2= ,因为 未知,故m1与m2之积不能求出,则选项A错误,B正确。各自的自转角速度不可求,选项D错误。速率之和v1+v2=ωr1+ωr2=ω·L,故C项正 确。
规律总结 比值关系类问题解法此类题目的通用解法是依据相对应的原理、规律、关系列出必要的方程组,解出相应关系表 达式,结合题目的已知条件及常数,判断相应的关系和结果。
6.(2017课标Ⅱ,19,6分)(多选)如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、 N为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王 星在从P经M、Q到N的运动过程中 ( )
A.从P到M所用的时间等于T0/4B.从Q到N阶段,机械能逐渐变大C.从P到Q阶段,速率逐渐变小D.从M到N阶段,万有引力对它先做负功后做正功
答案 CD 本题考查开普勒行星运动定律、机械能守恒条件,考查学生的理解能力。海王星 绕太阳沿椭圆轨道运动,由开普勒第二定律可知,从P→Q速度逐渐减小,故从P到M所用时间小 于T0/4,选项A错误,C正确;从Q到N阶段,只受太阳的引力,故机械能守恒,选项B错误;从M到N阶 段经过Q点时速度最小,故万有引力对它先做负功后做正功,选项D正确。
思路分析 天体绕太阳做椭圆运动时,近日点速率最大,远日点速率最小,结合动能定理可以确 定出万有引力的做功情况,结合机械能守恒条件可知,机械能守恒。
7.(2016课标Ⅲ,14,6分)关于行星运动的规律,下列说法符合史实的是 ( )A.开普勒在牛顿定律的基础上,导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律
答案 B 开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律,但并没有找出其中的 原因,A、C错误,B正确;万有引力定律是牛顿发现的,D错。
规律总结 开普勒三定律被称为行星运动的“宪法”,是行星运动的基本规律。开普勒虽然 总结出了这几条基本规律,但并没有找出行星运动之所以遵守这些基本规律的原因。
评析 本题考查物理学史,意在考查考生对物理学重要史实的识记能力。
8.(2008北京理综,17,6分)据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km, 运行周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是( )A.月球表面的重力加速度B.月球对卫星的吸引力C.卫星绕月球运行的速度D.卫星绕月球运行的加速度
答案 B 因为不知道卫星的质量,所以不能求出月球对卫星的吸引力。
C组 教师专用题组
9.(2018北京理综,17,6分)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同 样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证 ( )A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602 B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602 C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6 D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
答案 B 本题考查万有引力定律的应用。设地球半径为R,质量为M,月球绕地球公转轨道半 径为r。地球对地面附近的苹果的引力G =mg,所以g=G ①;地球对月球的引力提供月球公转的向心力,即G =m月a,所以a=G ②;比较①②可知a= g= g,故选项B正确。
解题关键 “月地检验”“月地检验”的本质是要验证不论是地球上物体的运动还是月球绕地球的运动,万有引力的 作用效果都是使受力物体产生加速度,且引力与加速度之间遵循牛顿运动定律。
10.(2017北京理综,17,6分)利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是 ( )A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案 D 本题考查天体运动。已知地球半径R和重力加速度g,则mg=G ,所以M地= ,可求M地;近地卫星做圆周运动,G =m ,T= ,可解得M地= = ,已知v、T可求M地;对于月球:G =m r,则M地= ,已知r、T月可求M地;同理,对地球绕太阳的圆周运动,只可求出太阳质量M太,故此题符合题意的选项是D项。
方法技巧 中心天体质量的求解途径此题提示我们可以从两个方面求得中心天体质量:①已知中心天体的半径和重力加速度。② 已知中心天体的行星或卫星的运动参数。
11.(2015北京理综,16,6分,0.95)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太阳的 距离小于火星到太阳的距离,那么 ( )A.地球公转周期大于火星的公转周期B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度
答案 D 据太阳对行星的引力提供行星运动所需的向心力得G =m =mω2r=m( )2r=ma向,解得v= ,ω= ,T=2π ,a向= ,由题意知,r地v火,ω地>ω火,T地a火,D项正确。
考查点 万有引力定律在天体运动中的应用。
知识拓展 在天体中有一种很重要的运动模型:恒星—行星模型,在这类运动系统中,行星围绕 恒星做匀速圆周运动,恒星对行星的万有引力提供向心力,随着运动半径的增大,行星的线速 度、角速度和加速度均减小,周期变长。
12.(2014北京理综,23,18分)万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在 的一致性。(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化可能会有不同的结 果。已知地球质量为M,自转周期为T,万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分 布的球体,不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时,弹簧秤的读数是F0。a.若在北极上空高出地面h处称量,弹簧秤读数为F1,求比值F1/F0的表达式,并就h=1.0%R的情形 算出具体数值(计算结果保留两位有效数字);b.若在赤道地面称量,弹簧秤读数为F2,求比值F2/F0的表达式。(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在 的1.0%,而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用,以现实地球的 1年为标准,计算“设想地球”的1年将变为多长?
答案 (1)a. = 0.98 b. =1- (2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
解析 (1)设小物体质量为m。a.在北极地面有G =F0在北极上空高出地面h处有G =F1得 = 当h=1.0%R时 = ≈0.98b.在赤道地面,小物体随地球自转做匀速圆周运动,受到万有引力和弹簧秤的作用力,有G -F2=m R得 =1- (2)地球绕太阳做匀速圆周运动,受到太阳的万有引力。设太阳质量为MS,地球质量为M,地球公 转周期为TE,有G =Mr
得TE= = 其中ρ为太阳的密度。由上式可知,地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因 此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。
考查点 万有引力定律在天体运动中的应用。
易错点拨 在地球表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力G物和随地球 自转而做圆周运动的向心力F',如图所示,其中F=G ,而F'=mrω2。 从图中可以看出:(1)当物体在赤道上时,F、G物、F'三力同向,此时F'达到最大值Fmax'=mRω2,重力达到最小值G物min =F-Fmax'=G -mRω2。(2)当物体在两极时,F'=0,F=G物,此时重力等于万有引力,重力达到最大值,此最大值为G物max=G 。(3)当物体由赤道向两极移动的过程中,向心力减小,重力增大,在两极时物体所受的万有引力 等于重力。
13.(2010北京理综,16,6分)一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知引力常 量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为 ( )A. B. C. D.
答案 D 球形天体表面的赤道上,物体对天体表面压力恰好为零,说明天体对物体的万有引 力提供向心力:G =m R,解得T=2π ①,又密度ρ= = ②,①②两式联立得T= 。
考点二 人造卫星 宇宙航行A组 自主命题·天津卷题组
1.(2019天津理综,1,6分)2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器 成功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹”。已知 月球的质量为M、半径为R,探测器的质量为m,引力常量为G,嫦娥四号探测器围绕月球做半径 为r的匀速圆周运动时,探测器的 ( ) A.周期为 B.动能为 C.角速度为 D.向心加速度为
答案 A 本题为天体运动中的人造卫星运动问题,考查了考生应用万有引力定律和圆周运 动知识进行分析推理的能力。物理核心素养中的模型建构、运动与相互作用观念等要素在 本题中均有体现。题目以嫦娥四号探测器的发射与运行为背景,厚植着深深的爱国情怀。探测器围绕月球做匀速圆周运动,月球对探测器的引力充当向心力,则G =m =mω2r=m r=ma向,解得a向=G ,T=2π ,ω= ,Ek= mv2= ,故A项正确。
解题关键 准确掌握卫星做匀速圆周运动时万有引力提供向心力的规律,是解决这类问题的 关键。
2.(2018天津理综,6,6分)(多选)2018年2月2日,我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发 射升空,标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通 过观测可以得到卫星绕地球运动的周期,并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若 将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动,且不考虑地球自转的影响,根据以上数据可以计算 出卫星的 ( )A.密度 B.向心力的大小C.离地高度 D.线速度的大小
答案 CD 本题考查万有引力定律的应用。设卫星离地面的高度为h,则有G =m (R+h),结合m0g= ,得h= -R= -R,又v= (R+h),可见C、D项均正确。因为卫星的质量未知,故无法算出卫星向心力的大小和卫星的密度,故A、B错误。
易错警示 对地面上的物体有m0g=G ,结合ρ= 可求出地球的密度,但题目要求算出卫星的密度,故不细心审题,可能会被已知地球的半径和地球表面处的重力加速度误导而错选 A。
3.(2016天津理综,3,6分)我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞 船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动, 为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是 ( ) A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接 近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
答案 C 对于绕地球做圆周运动的人造天体,由 =m ,有v= ∝ ,可见v与r是一一对应的。在同一轨道上运行速度相同,不能对接;而从同一轨道上加速或减速时由于发生变 轨,二者不能处于同一轨道上,亦不能对接,A、B皆错误。飞船处于半径较小的轨道上,要实现 对接,需增大飞船的轨道半径,飞船加速则轨道半径变大,飞船减速则轨道半径变小,C正确,D错 误。
4.(2015天津理综,8,6分)(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星,距各自表面相同高度处各有一颗 卫星s1、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速 度a,横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方,两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比 关系,它们左端点横坐标相同。则 ( ) A.P1的平均密度比P2的大B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小C.s1的向心加速度比s2的大D.s1的公转周期比s2的大
答案 AC 设行星的半径为R、质量为M、卫星的质量为m,对于卫星有:G =ma,则a= 。由a-r2图像中两条曲线左端点横坐标相同可知,r最小值相同,说明两卫星s1、s2在两行星表面运行,行星P1、P2的半径R是相同的,而两颗卫星到各自行星表面的距离也相同,所以卫星s 1、s2到各自行星的距离r是相同的,由图像可知,s1的向心加速度比s2的大,即C正确。由a= 可知,r相同时,a大说明对应的M也大,故P1的平均密度比P2的大,即A正确。设在行星表面发射 卫星的“第一宇宙速度”为v,则有G =m ,v= ,可见R相同时M大的对应的v也大,即P1的“第一宇宙速度”大,故B错。卫星的公转周期设为T,则有:G =m r,T=2π ,可见s1的公转周期小,故D错。
评析 本题考查了天体运动中多个常见的问题,涉及知识点较多。题目通过图像的形式展现 两个行星的特征,给理解题意提升了难度,因此题目难度偏大。万有引力部分的题目大多相似, 本题较有新意,可谓创新题。
5.(2014天津理综,3,6分)研究表明,地球自转在逐渐变慢,3亿年前地球自转的周期约为22小 时。假设这种趋势会持续下去,地球的其他条件都不变,未来人类发射的地球同步卫星与现在 的相比 ( )A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大C.线速度变大 D.角速度变大
答案 A 同步卫星运行周期与地球自转周期相同,由G =m(R+h)· 有h= -R,故T增大时h也增大,A正确。同理由 =ma=m =m(R+h)ω2可得a= 、v= 、ω= ,故h增大后a、v、ω都减小,B、C、D皆错误。
6.[2017天津理综,9(1)]我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后,与已经在轨运 行的“天宫二号”成功对接形成组合体。假设组合体在距地面高为h的圆形轨道上绕地球做 匀速圆周运动,已知地球的半径为R,地球表面处重力加速度为g,且不考虑地球自转的影响。 则组合体运动的线速度大小为 ,向心加速度大小为 。
答案 R g
解析 本题考查天体运动、万有引力定律的应用。设组合体的质量为m、运转线速度为v,地球质量为M,则G =ma向=m ①,又有G =mg②,联立上述两式得a向= g,v=R 。
7.[2013天津理综,9(1),4分]“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行, 标志着我国探月工程的第一阶段已经完成。设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆 周运动,它距月球表面的高度为h,已知月球的质量为M、半径为R,引力常量为G,则卫星绕月球 运动的向心加速度a= ,线速度 v= 。
答案
解析 设卫星的质量为m,卫星环绕月球作匀速圆周运动,所以卫星的向心力由万有引力提供, 所以有 =ma和 =m ,解得:a= ,v= 。
8.(2019北京理综,18,6分)2019年5月17日,我国成功发射第45颗北斗导航卫星,该卫星属于地球 静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星 ( )A.入轨后可以位于北京正上方B.入轨后的速度大于第一宇宙速度C.发射速度大于第二宇宙速度D.若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D 本题考查了有关人造卫星、宇宙航行的知识以及万有引力定律在航天中的应用, 体现了对考生综合分析能力和科学推理能力的考查。因地球静止轨道卫星(同步卫星)的运行轨道在地球赤道正上方,故该北斗导航卫星入轨后不 能位于北京正上方,选项A错误;第一宇宙速度在数值上等于地球近地卫星的线速度,由万有引 力提供向心力 = ,可得v= ,同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径,则同步卫星入轨后的速度小于第一宇宙速度,故选项B错误;地球卫星的发射速度应大于等于第一 宇宙速度,小于第二宇宙速度,选项C错误;近地卫星的高度小,发射时所需的能量较少,故选项D 正确。
B组 统一命题、省（区、市）卷题组
疑难突破 由 = 可知卫星在轨道上所具有的动能Ek= mv2= ,而卫星在轨道上的势能Ep=- ,故卫星在轨道上的机械能E=Ek+Ep=- ,因此相同质量卫星的运行轨道半径越大,发射时所需能量就越大。
9.(2019江苏单科,4,3分)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,该卫 星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2, 近地点到地心的距离为r,地球质量为M,引力常量为G。则( ) A.v1>v2,v1= B.v1>v2,v1> C.v1
答案 B 本题考查人造卫星沿椭圆轨道运动内容,培养了理解能力和推理能力,体现了核心 素养中的能量观念及模型建构要素,有利于培养学生爱国主义价值观。卫星沿椭圆轨道运动时,只受万有引力作用,机械能守恒,在卫星由近及远的运动过程中,卫星 的部分动能转化为势能,速度逐渐减小,故v1>v2。若卫星过近地点做半径为r的匀速圆周运动, 则满足G =m ,可得v= 。现卫星过近地点做离心运动,则v1> ,故选项B正确,A、C、D错误。
解题关键 ①卫星运动过程中机械能守恒,动能和势能相互转化。②当提供的向心力不能满 足所需时卫星做离心运动,当提供的向心力大于所需时卫星做向心运动。
10.(2019课标Ⅱ,14,6分)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器 “奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描 述F随h变化关系的图像是 ( )
答案 D 本题考查了万有引力定律公式。考查了学生对万有引力定律的理解能力,体现了 运动和相互作用的物理观念及科学推理的核心素养。 由万有引力定律可知,探测器受到 的万有引力F= ,其中R为地球半径。在探测器“奔向”月球的过程中,离地面距离h增大,其所受的万有引力非线性减小,故选项D正确。
储备知识 万有引力定律公式,数学函数与图像的关联。
11.(2018课标Ⅲ,15,6分)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为 地球半径的16倍;另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为 ( )A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1
答案 C 本题考查万有引力定律、向心力公式、周期公式。卫星P、Q围绕地球做匀速圆 周运动,万有引力提供向心力,即G =m R,则T= , = = ,选项C正确。
一题多解 卫星P、Q围绕地球做匀速圆周运动,满足开普勒第三定律, = ,解得 = = ,选项C正确。
12.(2017课标Ⅲ,14,6分)2017年4月,我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室 完成了首次交会对接,对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与 天宫二号单独运行时相比,组合体运行的 ( )A.周期变大 B.速率变大C.动能变大 D.向心加速度变大
审题指导 隐含条件明显化对接形成的组合体相比天宫二号质量增加,即公式中的m增大,仍沿天宫二号原来的轨道运行, 意味着轨道半径r不变。
13.(2016课标Ⅰ,17,6分)利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保 持无线电通讯。目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期 变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为 ( )A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h
方法技巧 天体运动规律中,有一个常用的重要推论,就是环绕周期T与轨道半径r的关系式:T= 2π ,该公式在天体运动中有着广泛的应用,在平时学习中把它作为一个二级结论熟记十分必要。
评析 本题考查卫星运动知识,关键是要从题目所给信息中找到卫星轨道半径与地球半径之 间的几何关系
14.(2015课标Ⅰ,21,6分,0.439)(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后,先在月 球表面附近的近似圆轨道上绕月运行;然后经过一系列过程,在离月面4 m高处做一次悬停(可 认为是相对于月球静止);最后关闭发动机,探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103 kg,地球质量约为月球的81倍,地球半径约为月球的3.7倍,地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器 ( )A.在着陆前的瞬间,速度大小约为8.9 m/sB.悬停时受到的反冲作用力约为2×103 NC.从离开近月圆轨道到着陆这段时间内,机械能守恒D.在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
答案 BD 月球表面重力加速度大小g月=G = ·G = g地=1.66 m/s2,则探测器在月球表面着陆前的速度大小vt= =3.6 m/s,A项错;悬停时受到的反冲作用力F=mg月=2×103 N,B项正确;从离开近月圆轨道到着陆过程中,有发动机工作阶段,故机械能不守恒,C项错;在近月 圆轨道上运行的线速度v月= < ,故D项正确。
15.(2015课标Ⅱ,16,6分,0.361)由于卫星的发射场不在赤道上,同步卫星发射后需要从转移轨道 经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时,发动机点火,给卫星一 附加速度,使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s,某次发射卫星 飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s,此时卫星的高度与同步轨道的高度相同,转移轨道和同 步轨道的夹角为30°,如图所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为 ( )
A.西偏北方向,1.9×103 m/s B.东偏南方向,1.9×103 m/sC.西偏北方向,2.7×103 m/s D.东偏南方向,2.7×103 m/s
答案 B 同步卫星的速度v方向为正东方向,设卫星在转移轨道的速度为v1,附加速度为v2,由 速度的合成可知v2的方向为东偏南方向,其大小为v2= ≈1.9×103 m/s,故B选项正确。
考查点 运动的合成
解题关键 ①清楚题图中所示的方向关系。②速度合成遵守平行四边形定则。
易错警示 题图中所给为方向关系平面图,不是一个立体关系图。
C组 教师专用题组
16.(2016北京理综,18,6分,0.62)如图所示,一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行,在P点 变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是 ( ) A.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的速度都相同B.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的加速度都相同C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
答案 B 卫星在轨道1上运行到P点,经加速后才能在轨道2上运行,故A错误。由G =ma得:a= ,由此式可知B正确、C错。卫星在轨道2上的任何位置具有的动量大小相等,但方向不同,故D错。
易错点拨 卫星做圆周运动的加速度要根据实际运动情况分析。 与 相等时,卫星才可以做稳定的匀速圆周运动; > 时,卫星将做离心运动。
评析 本题主要考查卫星的加速度、速度与哪些因素有关及变轨问题。题设情景简单,考查 问题基础,属于容易题。
17.(2012北京理综,18,6分,0.79)关于环绕地球运行的卫星,下列说法正确的是 ( )A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星,不可能具有相同的周期B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星,在轨道不同位置可能具有相同的速率C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星,它们的轨道半径有可能不同D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星,它们的轨道平面一定会重合
答案 B 根据开普勒第三定律 =C(常数),可知只要椭圆轨道的半长轴与圆轨道的半径相等,两者的周期就相等,A选项错误;沿椭圆轨道运行的卫星在以长轴为对称轴的对称点上具有 相同的速率,故B选项正确;由G =m r,解得r= ,对于地球同步卫星其周期T=24小时,故其轨道半径一定,C选项错误;经过北京上空的卫星轨道有无数条,轨道平面与赤道平面的 夹角可以不同,故轨道平面可以不重合,D选项错误。
18.(2011北京理综,15,6分)由于通讯和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星, 这些卫星的 ( )A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同
答案 A 地球同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同且与地球自转“同步”,所以它 们的轨道平面都必须在赤道平面内,故C项错误;由ω= 、mRω2=G 可得R= ,由此可知所有地球同步卫星的轨道半径都相同,故B项错误;由v=Rω,ω= 可得v=R ,可知所有地球同步卫星的运转速率都相同,故D项错误;而卫星的质量不影响运转周期,故A项正确。
评析 在考查万有引力定律的基础上同时考查了地球同步卫星的有关知识。如果理解和掌 握了地球同步卫星的有关知识,是容易得分的。
考点一 万有引力定律及其应用
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
1.(2018南开一模)火星表面特征非常接近地球,可能适合人类居住。2011年,我国志愿者王跃 参与了在俄罗斯进行的“模拟登火星”实验活动“火星—500”项目。“火星—500”项目 主要目的是探索人类模拟登陆火星过程中所能够耐受的一切,包括将来人类真正登陆火星,所 需要的必要的生理保证和物质保障。已知火星半径是地球半径的 ,质量是地球质量的 ,自转周期基本保持相同。地球表面重力加速度是g。若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是 h,在忽略自转影响的条件下,下述分析正确的是 ( )A.王跃在火星表面所受火星引力是他在地球表面所受地球引力的 B.火星表面的重力加速度是 C.火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 D.王跃在火星上向上跳起的最大高度是
答案 C 已知火星半径是地球半径的 ,质量是地球质量的 ,根据F=G 得,王跃在火星表面所受火星引力与他在地球表面所受地球引力之比 = ,故A错误。根据G =mg得,火星表面的重力加速度是 g,故B错误。根据G =m 得,火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 ,故C正确。由H= 知,初速度相同,火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 ,则他在火星上向上跳起的最大高度是地球上的 倍,即 h,故D错误。
2.(2019河西三模)(多选)2018年5月21日,“嫦娥四号”中继星“鹊桥”在西昌卫星发射中心 发射成功,同年12月8日成功发射“嫦娥四号”探测器,2019年1月3日实现人类探测器在月球 背面首次软着陆。探测器对月球背面进行科学考察,并把信息通过中继星即时传送回地球。 中继星“鹊桥”号,可认为相对于月球绕地月系统的拉格朗日L2点做匀速圆周运动,如图所 示。地月系统的拉格朗日点就是小星体在该位置时,可以与地球和月球基本保持相对静止,即 在地球和月球万有引力作用下与月球一起以相同的角速度近似绕地球运动。下列判断正确 的是 ( )A.中继星“鹊桥”绕拉格朗日点L2运动过程,只受到地球和月球万有引力作用B.中继星“鹊桥”绕拉格朗日点L2运动过程,不只受到地球和月球万有引力作用,还要受到自 身的动力作用C.中继星“鹊桥”随拉格朗日点L2绕地球运动运动的周期等于月球绕地球运动的周期D.月球一面始终朝着地球,说明月球也有自转,自转周期与地球自转周期相同
答案 BC 中继星“鹊桥”绕拉格朗日点L2运动过程中,中继星“鹊桥”的合力指向拉格朗 日点L2,地球和月球万有引力的合力不指向拉格朗日点L2,所以不只受到地球和月球万有引力 作用,还要受到自身的动力作用,故A错误,B正确;根据题意知“鹊桥”中继星绕地球转动的周 期与月球绕地球转动的周期相同,故C正确;由于月球被潮汐锁定,永远只有一面对着地球,说明 月球也有自转,月球自转周期等于月球绕地球运动的周期,故D错误。
思路点拨 中继星“鹊桥”与月球同步绕地球运动,角速度相等。根据T= 比较中继星“鹊桥”随拉格朗日点L2绕地球运动的周期与月球绕地球的周期关系。根据月球永远只有一面 对着地球,可知月球的自转周期与月球绕地球运动的周期关系。
3.(2019红桥二模)银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构 成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观 察测得其运动周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G,由此可求出S1 的质量为 ( )A. B. C. D.
答案 A 以S2为研究对象,有G =m2 (r-r1),解得S1的质量m1= ,选项A正确。
4.(2017南开一模,2)如图所示是“嫦娥三号”着陆器携“玉兔号”奔月过程中某阶段的运动 示意图,关闭动力的“嫦娥三号”着陆器在月球引力作用下向月球靠近,并将沿椭圆轨道在P 处变轨进入圆轨道。已知着陆器绕月做圆周运动的轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,下列 说法中正确的是 ( ) A.“嫦娥三号”着陆器经椭圆轨道到P处时的线速度大于经圆形轨道到P处时的线速度B.“嫦娥三号”着陆器经椭圆轨道到P处时的加速度和经圆形轨道到P处时的加速度不相等C.“嫦娥三号”着陆器携“玉兔号”绕月球做圆周运动的过程中,“玉兔号”所受重力为零D.图中“嫦娥三号”着陆器在P处由椭圆轨道进入圆轨道前后机械能守恒
考点二 人造卫星 宇宙航行
答案 A “嫦娥三号”着陆器由椭圆轨道在P点变轨到圆轨道,速度要减小,做近心运动,所 以“嫦娥三号”着陆器经椭圆轨道到P处时的线速度大于经圆轨道到P处时的线速度,故A正 确;根据牛顿第二定律得G =ma,得a= ,可知变轨前后“嫦娥三号”着陆器在P点的加速度相等,故B错误;“嫦娥三号”着陆器携“玉兔号”绕月球做圆周运动的过程中,“玉兔号” 所受重力等于万有引力,不为零,故C错误;着陆器在P点变轨时速度减小,机械能减小,故D错 误。
5.(2018和平一模)人造卫星需要经过多次变轨才能到达预定轨道。如图所示,一颗人造卫星原 来在椭圆轨道1绕地球运行,从轨道1和轨道2的切点P变轨后进入轨道2做匀速圆周运动,下列 说法正确的是 ( ) A.在轨道1和轨道2运行,卫星的运行周期相同B.在轨道1和轨道2运行,卫星在P点的加速度相同C.卫星从轨道1的P点经过减速制动可以进入轨道2D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
答案 B 轨道1的半长轴小于轨道2的半径,根据开普勒第三定律 =k知,在轨道2上的周期大于在轨道1上的周期,故A错误。在轨道1上的P点和在轨道2上的P点,卫星所受的万有引力 相同,根据牛顿第二定律知,加速度相同,所以B选项是正确的。卫星从轨道1上的P点进入轨道 2时,需加速,故C错误。卫星在轨道2上做匀速圆周运动,速度大小不变,方向时刻改变,则动量 在变化,故D错误。
6.(2019河东二模)(多选)“嫦娥四号”(专家称为“四号星”)在2018年发射升空,它是嫦娥探 月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星,主要任务是更深层次、更加全面地科学探测 月球地貌、资源等方面的信息,完善月球档案资料。已知引力常量为G,月球的半径为R,月球 表面的重力加速度为g,“嫦娥四号”离月球中心的距离为r,绕月运行的周期为T。根据以上 信息判断下列说法正确的是 ( )A.月球的第一宇宙速度为 B.“嫦娥四号”绕月运行的速度为 C.月球的平均密度为ρ= D.“嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球
答案 AC 月球的第一宇宙速度为最大环绕速度,由重力提供向心力:mg=m ,解得v= ,选项A正确;由G =m 得v= ,MG=R2g,v= ,选项B错误;由G =mr 得,月球质量M= ,又因月球的体积为V= πR3,所以月球的平均密度ρ= ,选项C正确;“嫦娥四号”返回地球应先加速,接近地面时再减速,选项D错误。
时间:35分钟 分值:65分一、选择题(每小题6分,共54分)
1.(2019和平一模)2018年12月12日16时39分,“嫦娥四号”探测器结束地月转移段飞行,按计 划顺利完成近月制动,并成功进入100 km~ 400 km环月椭圆轨道Ⅱ。其轨道示意如图,环月轨 道Ⅰ为圆形轨道,环月轨道Ⅱ为椭圆轨道,两轨道在制动点A相切。则“嫦娥四号” ( )A.由A向B点运动过程中机械能增大B.由A向B点运动过程中速度大小不变C.从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在A点进行点火加速D.沿轨道Ⅰ运动的周期大于沿轨道Ⅱ运动的周期
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
答案 D “嫦娥四号”在轨道Ⅱ上运动时,只有万有引力做功,故机械能守恒,故A错误;B点 为近月点,故“嫦娥四号”在B点的速度大于在A点的速度,故B错误;从高轨道Ⅰ进入低轨道Ⅱ 需要进行减速,故C错误;根据开普勒第三定律知,在轨道Ⅰ上运动时的半径大于在轨道Ⅱ上运 动时的半长轴,故在轨道Ⅰ上运动的周期较大,故D正确。
解题技巧 根据卫星变轨原理分析轨道变化时卫星是加速还是减速,并由此判定机械能大小 变化。根据开普勒第三定律分析卫星的运动周期和轨道半径之间的关系。
2.(2019和平二模)英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称,某科学家在银河系中心附近 的一团分子气体云中发现了一个黑洞。科学研究表明,当天体的逃逸速度(即第二宇宙速度, 为第一宇宙速度的 倍)超过光速时,该天体就是黑洞。已知某天体质量与地球质量之比为k,地球的半径为R,地球卫星的最大环绕速度(即第一宇宙速度)为v1,光速为c,则要使该天体成为 黑洞,其半径应小于 ( )A. B. C. D.
答案 D 对于地球有 =m ;设该天体成为黑洞时其半径为r,第一宇宙速度为v2,有 =m ,c= v2,联立解得r= ,故D正确,A、B、C均错误。
3.(2019河东一模)2016年11月24日,我国成功发射了“天链一号”04星,“天链一号”04星是 我国发射的第4颗地球同步卫星,它与“天链一号”02星、03星实现组网运行,为我国神舟飞 船、空间实验室“天宫二号”提供数据中继与测控服务。如图,1是“天宫二号”绕地球稳定 运行的轨道,2是“天链一号”绕地球稳定运行的轨道,下列说法正确的是 ( )
A.“天链一号”04星的最小发射速度是11.2 km/sB.“天链一号”04星的运行速度小于“天宫二号”的运行速度C.为了便于测控,“天链一号”04星相对于地面静止于北京飞控中心的正上方D.“天链一号”02、03、04星所受万有引力大小相等
答案 B 由于第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动时的最大环绕速度, 同时又是最小的发射速度,可知卫星的发射速度大于第一宇宙速度7.9 km/s,卫星的发射速度 大于第二宇宙速度11.2 km/s时,将脱离地球束缚,所以卫星的发射速度要介于第一宇宙速度和 第二宇宙速之间,故A错误;由万有引力提供向心力得 = ,可得v= ,可知轨道半径比较大的“天链一号”04星的运行速度小于“天宫二号”的运行速度,故B正确;“天链一 号”04星位于赤道正上方,不可能位于北京飞控中心的正上方,故C错误;“天链一号”02、0 3、04星的质量不一定相同,则所受万有引力大小不一定相等,故D错误。故选B。
思路点拨 了解第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度,也是最大的环绕速度,要比较一个物理 量大小,我们应该把这个物理量先表示出来,再进行比较。
4.(2019南开二模)2016年10月17日,“神舟十一号”载人飞船发射升空,运送两名宇航员前往2 016年9月15日发射的“天宫二号”空间实验室,宇航员计划在“天宫二号”驻留30天进行科 学实验。“神舟十一号”与“天宫二号”的对接变轨过程如图所示,AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴, “神舟十一号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ,再变轨到圆轨道Ⅲ,与在圆轨道Ⅲ运行的 “天宫二号”实施对接。下列描述正确的是 ( ) A.“神舟十一号”在变轨过程中机械能不变B.可让“神舟十一号”先进入圆轨道Ⅲ,然后加速追赶“天宫二号”实现对接C.“神舟十一号”从A到C的平均速率比“天宫二号”从B到C的平均速率大D.“神舟十一号”在椭圆轨道上运动的周期与“天宫二号”运行周期相等
答案 C “神舟十一号”在变轨过程中需要向外喷出气体,气体对飞船做功,所以机械能发 生变化,A错误;若“神舟十一号”与“天宫二号”同轨加速会做离心运动,不会对接,故B错误; 结合牛顿第二定律和开普勒第三定律,可以将椭圆轨道的平均速率与半径等于 的圆轨道类比,根据v= 可知,“神舟十一号”从A到C的平均速率比“天宫二号”从B到C的平均速率大,故C正确;由图可知轨道Ⅱ的半长轴小于圆轨道Ⅲ的半径,根据开普勒第三定律可知,“神 舟十一号”在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期小于“天宫二号”运行周期,故D错误。
5.(2019河西二模)小行星绕恒星运动,恒星均匀地向四周辐射能量,质量缓慢减小,可认为小行 星绕恒星运动一周的过程中近似做匀速圆周运动,则经过足够长的时间后,小行星运动的 ( )A.半径变大 B.速率变大 C.角速度变大 D.加速度变大
答案 A 恒星均匀地向四周辐射能量,质量缓慢减小,小行星与恒星之间万有引力减小,小行 星做离心运动,即半径增大,故A正确;小行星绕恒星运动做匀速圆周运动,万有引力提供向心 力,设小行星的质量为m,恒星的质量为M,则G =m ,即v= ,M减小,r增大,故v减小,所以B错误;v=ωr,v减小,r增大,故ω减小,所以C错误;由G =ma得,a= ,M减小,r增大,所以a减小,故D错误。
6.(2019部分区一模)(多选)一行星绕恒星做匀速圆周运动,由天文观测可得,其运行周期为T,速 度为v,引力常量为G,由以上条件,可求得的物理量有 ( )A.恒星的质量 B.行星的质量C.行星运行的轨道半径 D.行星受到的引力
答案 AC 根据T= 得行星的轨道半径r= ,由 =m 得,恒星质量M= = ,行星的质量无法求出,引力也无法求出,所以A、C选项正确。
解题技巧 根据线速度与周期、半径的关系求行星运动的轨道半径,根据万有引力提供圆周 运动向心力求恒星的质量M。
7.(2017八校联考)(多选)“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球,在距月球表面200 km的P点进行第一次变轨后被月球捕获,先进入椭圆轨道Ⅰ上绕月飞行,如图所示。之后,卫星 在P点又经过两次变轨,最后在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。 对此,下列说法正确的是 ( ) A.卫星在轨道Ⅲ上的运动周期比在轨道Ⅰ上的短B.卫星在轨道Ⅲ上运动的速度大于月球的第一宇宙速度C.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种轨道运行相比较,卫星在轨道Ⅲ上运动的机械能最小D.卫星在轨道Ⅲ上运动到P点的加速度大于沿轨道Ⅰ运动到P点的加速度
答案 AC 根据开普勒第三定律,半长轴越长,周期越大,所以卫星在轨道Ⅰ上运动的周期最 长,故A正确;月球第一宇宙速度是绕月球做圆周运动的最大环绕速度,所以卫星在轨道Ⅲ上运 动的速度小于月球的第一宇宙速度,故B错误;卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ进入轨道 Ⅲ,都要减速做向心运动,故其机械能要减小,故卫星在轨道Ⅲ上运行的机械能最小,故C正确; 卫星在轨道Ⅲ上的P点和在轨道Ⅰ上的P点受到的万有引力大小相等,根据牛顿第二定律,加速 度大小相等,故D错误。
8.(2018河西一模,5)(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的由三颗星体组成的三星系统。 可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一 种是直线三星系统A(三颗星体始终在一条直线上);另一种是三角形三星系统B(三颗星体位于 等边三角形的三个顶点上)。已知某直线三星系统A中每颗星体的质量均为m,相邻两颗星体 间的距离均为R;某三角形三星系统B中每颗星体的质量恰好也均为m,且三星系统A外侧的两 颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B中每颗星体做匀速圆周运动的周期相等,引力常 量为G,则 ( )A.三星系统B中星体的运动周期为T=2πR B.三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为ω= C.三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v= D.三星系统B任意两颗星体中心间的距离为L=R
答案 BC 对三星系统A:三颗星体位于同一直线上,两颗星体围绕中央星体在同一半径为R 的圆轨道上运行;其中边上的一颗星体受中央星和另一颗边上星体的万有引力作用,两万有引力的合力提供向 心力: + =m 解得:v= 故ω= = 三星系统A外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B中每颗星体做匀速圆周运动 的周期相等,故:T=T'= =4πR ,故A错误,B、C正确;三星系统B是三颗星体位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于三角形的圆形轨道运行,
由万有引力定律和牛顿第二定律得:2 =cos 30°= 计算得出:L= R,故D错误。
解题技巧 明确研究对象,对研究对象受力分析,找到做圆周运动所需向心力的来源,根据牛顿 第二定律列式分析即可。
9.(2017十二区二模)(多选)甲、乙两星组成双星系统,它们离其他天体都很遥远;观察到它们的 距离始终为L,甲的轨道半径为R,运行周期为T。下列说法正确的是 ( )A.乙星的质量大小为 B.乙星的向心加速度大小为 C.若两星间的距离减小,则它们的运动周期会变小D.甲、乙两星的质量之比为R∶(L-R)
答案 AC 对双星系统的两颗星球,由它们之间的万有引力提供向心力,则:G = 所以m乙= ,所以A选项是正确的;双星系统具有相同的角速度和周期,轨道半径之和为L。甲的向心加速度:a甲= 乙的向心加速度a乙= (L-R),故B错误;若两星间的距离减小,根据:G =Rm甲( )2=(L-R)m乙( )2解得 (m甲+m乙)=( )2L,T= ,L减小,则它们的运动周期会变小,C正确;由题可知,m甲ωR=m乙ω(L-R)所以Rm甲=(L-R)m乙甲、乙两星的质量之比为 ,故D错误。
10.(2019红桥二模,12)(11分)2010年10月我国“嫦娥二号”探月卫星成功发射,“嫦娥二号” 卫星开始绕地球做椭圆轨道运动,经过若干次变轨、制动后,最终使它绕月球在一个圆轨道上 运行。设“嫦娥二号”距月球表面的高度为h,绕月做圆周运动的周期为T。已知月球半径为 R,引力常量为G。(1)求月球的质量M;(2)求月球的密度ρ;(3)若地球质量为月球质量的k倍,地球半径为月球的n倍,求地球与月球的第一宇宙速度之比v 1∶v2。
二、非选择题(共11分)
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)根据万有引力提供向心力,有G =m (R+h)解得M= (2)根据ρ= ,V= πR3解得ρ= (3)对近地卫星和近月卫星分别有G =m G =m 解得 =
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
1.(2017河北二模)2017年4月17日在北京举行的“中国航天日”新闻发布会上,国防科工局总 工程师、国家航天局秘书长田玉龙透露,今年年底将实施探月工程“嫦娥五号”发射任务,完 成我国首次从月球采样返回的重大使命,届时该运载任务将由“长征五号”火箭承担。为了 实现这一计划,先要使登月飞船从距月面一定距离的高轨道变到靠近月球表面的低轨道。假 设有一登月飞船以某一速度绕月球做匀速圆周运动,该飞船质量为m,距月球表面的高度为h。 该飞船在距月球表面h高处的A点短促地向前喷气,喷出气体相对飞船的速度为u,经过一段时 间后飞船运动到靠近月球表面的B点,A、B两点的连线过月球球心,飞船在A、B两点的速度与 飞船到月心距离的乘积为定值。月球表面的重力加速度为g,已知登月飞船在月球上空的万有 引力势能为Ep=- (以无穷远处引力势能为零)。求:(1)飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的线速度大小;(2)飞船在A点喷出气体的质量。
答案 (1) (2)见解析
解析 (1)设飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动的线速度为v0,设月球的质量为M,万有 引力提供向心力G = 由黄金代换公式GM=gR2得:v0= (2)飞船喷气后的质量设为m',速度为vA,到达B点的速度为vB,飞船从喷气后到B点的过程中满足 机械能守恒定律 m' -m' = m' - 又因为飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值,有vA(R+h)=vBR联立以上两式消去vB,可得vA= 飞船喷气过程中动量守恒,以v0方向为正方向,则有mv0=m'vA+Δm(vA+u),m'=m-ΔmΔm=m =
2.(2019河北二模)已知物体从地球上的逃逸速度v= ,其中G、M、R分别是引力常量、地球的质量和半径。已知G=6.67×10-11 N·m2/kg2、光速c=2.99×108 m/s,逃逸速度大于真空光速 的天体叫做黑洞,设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030 kg,求它可能的最大半径。
答案 2.95 km
解析 由题目所提供的信息可知,任何天体都存在与其对应的逃逸速度v,对于黑洞来说,其逃 逸速度大于真空中的光速,即v>c,所以R< =2.95 km,即该黑洞的最大半径为2.95 km。
3.(2019 5·3原创)小明的父亲在某地质研究所工作,某次小明父亲测得某地重力加速度明显偏 大,于是钻井取样获知该地地表下某深度有较大范围的重金属矿,为了进一步获悉金属矿的具 体范围,需要进行理论计算。小明父亲为了锻炼小明“学以致用”的能力,把这个问题抛给了 小明。小明查阅资料得到的数据有:地球的半径R,地球的平均密度ρ0,地球表面的重力加速度g 0。小明父亲提供的数据有:当地测得的重力加速度g,取样深度h(取样深度远大于矿区范围),取 样重金属矿的平均密度ρ。(1)小明构建了运用高中所学知识可解的理想模型,并明确了所需求解问题。请用图构建这一 模型,并说明所需求解的物理量。(2)用获悉的数据表示(1)中所需求解的物理量。
答案 见解析
解析 (1)小明把地球除重金属矿的其他地方都看成密度相同的球体,把重金属矿所占空间也 看成球体,并设重金属矿球体半径为r。考虑到r≪h,于是重金属矿球心至地表的距离为h。所 构建模型如图所示。需要求解的物理量是r。 (2)忽视重金属矿密度较大的情况,A处重力加速度应为g0,即有G =mg0(设A处某物体质量为m)。其中M=ρ0· πR3因为重金属矿密度较大,导致A处物体重力更大,可认为是由于金属矿所在空间叠加了密度为ρ -ρ0的物质球的作用。
则G +G =mg,其中M'=(ρ-ρ0)· πr3解得r= 。
4.(2019 5·3原创)火星是太阳系中和地球环境最为相似的行星,100年后,人类或已能够方便地 前往火星度假。地球人小明去火星度假前,在地球上用体重秤测得体重为F,到达火星后,小明 参加了为期一个月的减肥训练营,他惊喜地发现,经过一个月的训练,在火星上测得的体重已变 为 F。已知火星半径是地球半径的 ,火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 ,地球密度为ρ。(忽略地球和火星自转的影响,火星和地球均可看成质量分布均匀的球体)(1)小明减肥是否成功?(2)人类即将前往度假的这颗星球的密度是多少?
解析 (1)设火星和地球半径分别为R'和R,火星和地球第一宇宙速度分别为v'和v,火星和地球 表面重力加速度分别为g'和g根据已知条件,得: = ① = ②火星上第一宇宙速度满足m0g'=m0 ③地球上第一宇宙速度满足m0g=m0 ④由①②③④式得: = ⑤设小明在火星和地球上的质量分别为m'和m,则:F=mg ⑥ F=m'g' ⑦由⑤⑥⑦式得m'=m因此,小明的质量没变,减肥没有成功。
答案 (1)见解析 (2) ρ
(2)设火星和地球的质量分别为M'和M,火星密度为ρ'在火星上满足m0g'= ⑧在地球上满足m0g= ⑨由①⑤⑧⑨式得: = ⑩所以 = = ρ'= ρ
5.(2019 5·3原创)2018年,太空探索技术公司的重型猎鹰火箭发射升空,计划将一辆樱桃红纯电 动跑车送入火星轨道。已知火星同步卫星轨道半径为r,运行周期为T。假设该公司先后将两 辆跑车送入火星轨道,且两辆跑车均绕火星做匀速圆周运动,其中跑车A的轨道在赤道平面,旋 转方向与火星自转方向相同,轨道半径rA= r,跑车B的轨道经过火星两极点的上空,轨道半径rB= r。假如2100年的一天深夜,火星移民小明站在火星赤道上仰望夜空,他看见两辆跑车恰好同时经过头顶的天空。求:(1)两辆跑车绕火星运行的周期TA和TB各是多少?(2)如果小明从此刻等在原地,那么至少还需要等多长时间,他会在夜空中再次看到两辆跑车同 时经过他头顶的天空?
考点一 匀变速直线运动
A组 自主命题·天津卷题组
1.(2015天津理综,4,6分)未来的星际航行中,宇航员长期处于零重力状态,为缓解这种状态带来 的不适,有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”,如图所示。当旋转舱绕其轴 线匀速旋转时,宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上,可以受到与他站在地球表面时相同大小的 支持力。为达到上述目的,下列说法正确的是 ( )A.旋转舱的半径越大,转动的角速度就应越大B.旋转舱的半径越大,转动的角速度就应越小C.宇航员质量越大,旋转舱的角速度就应越大D.宇航员质量越大,旋转舱的角速度就应越小
答案 B 宇航员在舱内受到的支持力与他站在地球表面时受到的支持力大小相等,mg=mω 2r,即g=ω2r,可见r越大,ω就应越小,B正确,A错误;角速度与质量m无关,C、D错误。
2.(2019课标Ⅲ,15,6分)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加 速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半 径R金
答案 A 本题考查万有引力定律和匀速圆周运动,体现了物理模型建构、科学推理等核心 素养。行星绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即G =ma向=m ,解得a向=G ,v= ,由于R金
解题关键 认识并掌握天体运动与万有引力的关系是解决这类问题的关键。
B组 统一命题、省（区、市）卷题组
3.(2019课标Ⅰ,21,6分)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹 簧上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另 一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示。假设 两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍,则 ( ) A.M与N的密度相等B.Q的质量是P的3倍C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
答案 AC 本题考查了重力与万有引力的关系、密度、牛顿第二定律与图像的综合应用、 机械能守恒定律等,以及理解能力、推理能力、综合分析能力及应用数学知识处理物理问题 的能力,难度较大。本题体现了运动与相互作用观念、能量观念、模型建构、科学推理和科 学论证的核心素养,加强了考生以科学态度探究科学本质的责任感。对物体在弹簧上向下运动的过程应用牛顿第二定律得mg-kx=ma,则a=g- x,结合a-x图像可得,重力加速度gM=3a0、gN=a0, = 、 = ,联立可解得mQ=6mP,故B选项错。认为星球表面的重力等于万有引力,即mg=G ,则星球质量M= ,星球的密度ρ= = = ,由此可知M星球与N星球的密度之比为 = = × =1,故A选项正确。设弹簧的最大压缩量为xm,此时物体动能为零,由机械能守恒定律有mgxm= k ,则xm= ,由此可得 = =6× =2,故D选项错。当物体加速度等于零时,速度最大,动能最大,由机械能守恒定律有,Ekm=
mgx'- kx'2,结合mg=kx'可得Ekm= kx'2,此时P、Q对应的弹簧的压缩量分别为x0和2x0,故有 = =4,故C选项正确。
疑难突破 (1)数形结合获取有用信息是解决本题的突破口,由a=g- x结合图像的纵截距和斜率即可得物理量间的关系。(2)当物体先加速后减速运动时,合力等于零时对应速度最大的运动状态。(3)应用机械能守恒定律是分析C、D选项的关键。弹簧的弹性势能Ep= kx2为必备知识。
4.(2018课标Ⅱ,16,6分)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0 253”,其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.67×10-11 N· m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
答案 C 本题考查万有引力定律在天体中的应用。以周期T稳定自转的星体,当星体的密度 最小时,其表面物体受到的万有引力提供向心力,即 =m R,星体的密度ρ= ,得其密度ρ= = kg/m3=5×1015 kg/m3,故选项C正确。
方法技巧 万有引力定律及天体质量和密度的求解方法(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。由于 =mg,故天体质量M= ,天体密度ρ= = = 。(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。①由万有引力提供向心力,即G =m r,得出中心天体质量M= ;②若已知天体半径R,则天体的平均密度ρ= = = ;③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密 度ρ= 。可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。
5.(2018课标Ⅰ,20,6分)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根 据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的 某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并 利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星 ( )A.质量之积 B.质量之和C.速率之和 D.各自的自转角速度
答案 BC 本题考查万有引力定律的应用等知识。双星系统由彼此间万有引力提供向心力, 得 =m1 r1,G =m2 r2,且T= ,两颗星的周期及角速度相同,即T1=T2=T,ω1=ω2=ω,两颗星的轨道半径r1+r2=L,解得 = ,m1+m2= ,因为 未知,故m1与m2之积不能求出,则选项A错误,B正确。各自的自转角速度不可求,选项D错误。速率之和v1+v2=ωr1+ωr2=ω·L,故C项正 确。
规律总结 比值关系类问题解法此类题目的通用解法是依据相对应的原理、规律、关系列出必要的方程组,解出相应关系表 达式,结合题目的已知条件及常数,判断相应的关系和结果。
6.(2017课标Ⅱ,19,6分)(多选)如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、 N为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王 星在从P经M、Q到N的运动过程中 ( )
A.从P到M所用的时间等于T0/4B.从Q到N阶段,机械能逐渐变大C.从P到Q阶段,速率逐渐变小D.从M到N阶段,万有引力对它先做负功后做正功
答案 CD 本题考查开普勒行星运动定律、机械能守恒条件,考查学生的理解能力。海王星 绕太阳沿椭圆轨道运动,由开普勒第二定律可知,从P→Q速度逐渐减小,故从P到M所用时间小 于T0/4,选项A错误,C正确;从Q到N阶段,只受太阳的引力,故机械能守恒,选项B错误;从M到N阶 段经过Q点时速度最小,故万有引力对它先做负功后做正功,选项D正确。
思路分析 天体绕太阳做椭圆运动时,近日点速率最大,远日点速率最小,结合动能定理可以确 定出万有引力的做功情况,结合机械能守恒条件可知,机械能守恒。
7.(2016课标Ⅲ,14,6分)关于行星运动的规律,下列说法符合史实的是 ( )A.开普勒在牛顿定律的基础上,导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律,找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律,发现了万有引力定律
答案 B 开普勒在天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律,但并没有找出其中的 原因,A、C错误,B正确;万有引力定律是牛顿发现的,D错。
规律总结 开普勒三定律被称为行星运动的“宪法”,是行星运动的基本规律。开普勒虽然 总结出了这几条基本规律,但并没有找出行星运动之所以遵守这些基本规律的原因。
评析 本题考查物理学史,意在考查考生对物理学重要史实的识记能力。
8.(2008北京理综,17,6分)据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km, 运行周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是( )A.月球表面的重力加速度B.月球对卫星的吸引力C.卫星绕月球运行的速度D.卫星绕月球运行的加速度
答案 B 因为不知道卫星的质量,所以不能求出月球对卫星的吸引力。
C组 教师专用题组
9.(2018北京理综,17,6分)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同 样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证 ( )A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602 B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602 C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6 D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
答案 B 本题考查万有引力定律的应用。设地球半径为R,质量为M,月球绕地球公转轨道半 径为r。地球对地面附近的苹果的引力G =mg,所以g=G ①;地球对月球的引力提供月球公转的向心力,即G =m月a,所以a=G ②;比较①②可知a= g= g,故选项B正确。
解题关键 “月地检验”“月地检验”的本质是要验证不论是地球上物体的运动还是月球绕地球的运动,万有引力的 作用效果都是使受力物体产生加速度,且引力与加速度之间遵循牛顿运动定律。
10.(2017北京理综,17,6分)利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是 ( )A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案 D 本题考查天体运动。已知地球半径R和重力加速度g,则mg=G ,所以M地= ,可求M地;近地卫星做圆周运动,G =m ,T= ,可解得M地= = ,已知v、T可求M地;对于月球:G =m r,则M地= ,已知r、T月可求M地;同理,对地球绕太阳的圆周运动,只可求出太阳质量M太,故此题符合题意的选项是D项。
方法技巧 中心天体质量的求解途径此题提示我们可以从两个方面求得中心天体质量:①已知中心天体的半径和重力加速度。② 已知中心天体的行星或卫星的运动参数。
11.(2015北京理综,16,6分,0.95)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太阳的 距离小于火星到太阳的距离,那么 ( )A.地球公转周期大于火星的公转周期B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度
答案 D 据太阳对行星的引力提供行星运动所需的向心力得G =m =mω2r=m( )2r=ma向,解得v= ,ω= ,T=2π ,a向= ,由题意知,r地
考查点 万有引力定律在天体运动中的应用。
知识拓展 在天体中有一种很重要的运动模型:恒星—行星模型,在这类运动系统中,行星围绕 恒星做匀速圆周运动,恒星对行星的万有引力提供向心力,随着运动半径的增大,行星的线速 度、角速度和加速度均减小,周期变长。
12.(2014北京理综,23,18分)万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在 的一致性。(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化可能会有不同的结 果。已知地球质量为M,自转周期为T,万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分 布的球体,不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时,弹簧秤的读数是F0。a.若在北极上空高出地面h处称量,弹簧秤读数为F1,求比值F1/F0的表达式,并就h=1.0%R的情形 算出具体数值(计算结果保留两位有效数字);b.若在赤道地面称量,弹簧秤读数为F2,求比值F2/F0的表达式。(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在 的1.0%,而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用,以现实地球的 1年为标准,计算“设想地球”的1年将变为多长?
答案 (1)a. = 0.98 b. =1- (2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
解析 (1)设小物体质量为m。a.在北极地面有G =F0在北极上空高出地面h处有G =F1得 = 当h=1.0%R时 = ≈0.98b.在赤道地面,小物体随地球自转做匀速圆周运动,受到万有引力和弹簧秤的作用力,有G -F2=m R得 =1- (2)地球绕太阳做匀速圆周运动,受到太阳的万有引力。设太阳质量为MS,地球质量为M,地球公 转周期为TE,有G =Mr
得TE= = 其中ρ为太阳的密度。由上式可知,地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因 此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。
考查点 万有引力定律在天体运动中的应用。
易错点拨 在地球表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力G物和随地球 自转而做圆周运动的向心力F',如图所示,其中F=G ,而F'=mrω2。 从图中可以看出:(1)当物体在赤道上时,F、G物、F'三力同向,此时F'达到最大值Fmax'=mRω2,重力达到最小值G物min =F-Fmax'=G -mRω2。(2)当物体在两极时,F'=0,F=G物,此时重力等于万有引力,重力达到最大值,此最大值为G物max=G 。(3)当物体由赤道向两极移动的过程中,向心力减小,重力增大,在两极时物体所受的万有引力 等于重力。
13.(2010北京理综,16,6分)一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知引力常 量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期为 ( )A. B. C. D.
答案 D 球形天体表面的赤道上,物体对天体表面压力恰好为零,说明天体对物体的万有引 力提供向心力:G =m R,解得T=2π ①,又密度ρ= = ②,①②两式联立得T= 。
考点二 人造卫星 宇宙航行A组 自主命题·天津卷题组
1.(2019天津理综,1,6分)2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器 成功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹”。已知 月球的质量为M、半径为R,探测器的质量为m,引力常量为G,嫦娥四号探测器围绕月球做半径 为r的匀速圆周运动时,探测器的 ( ) A.周期为 B.动能为 C.角速度为 D.向心加速度为
答案 A 本题为天体运动中的人造卫星运动问题,考查了考生应用万有引力定律和圆周运 动知识进行分析推理的能力。物理核心素养中的模型建构、运动与相互作用观念等要素在 本题中均有体现。题目以嫦娥四号探测器的发射与运行为背景,厚植着深深的爱国情怀。探测器围绕月球做匀速圆周运动,月球对探测器的引力充当向心力,则G =m =mω2r=m r=ma向,解得a向=G ,T=2π ,ω= ,Ek= mv2= ,故A项正确。
解题关键 准确掌握卫星做匀速圆周运动时万有引力提供向心力的规律,是解决这类问题的 关键。
2.(2018天津理综,6,6分)(多选)2018年2月2日,我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发 射升空,标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通 过观测可以得到卫星绕地球运动的周期,并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若 将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动,且不考虑地球自转的影响,根据以上数据可以计算 出卫星的 ( )A.密度 B.向心力的大小C.离地高度 D.线速度的大小
答案 CD 本题考查万有引力定律的应用。设卫星离地面的高度为h,则有G =m (R+h),结合m0g= ,得h= -R= -R,又v= (R+h),可见C、D项均正确。因为卫星的质量未知,故无法算出卫星向心力的大小和卫星的密度,故A、B错误。
易错警示 对地面上的物体有m0g=G ,结合ρ= 可求出地球的密度,但题目要求算出卫星的密度,故不细心审题,可能会被已知地球的半径和地球表面处的重力加速度误导而错选 A。
3.(2016天津理综,3,6分)我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞 船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动, 为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是 ( ) A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接 近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
答案 C 对于绕地球做圆周运动的人造天体,由 =m ,有v= ∝ ,可见v与r是一一对应的。在同一轨道上运行速度相同,不能对接;而从同一轨道上加速或减速时由于发生变 轨,二者不能处于同一轨道上,亦不能对接,A、B皆错误。飞船处于半径较小的轨道上,要实现 对接,需增大飞船的轨道半径,飞船加速则轨道半径变大,飞船减速则轨道半径变小,C正确,D错 误。
4.(2015天津理综,8,6分)(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星,距各自表面相同高度处各有一颗 卫星s1、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速 度a,横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方,两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比 关系,它们左端点横坐标相同。则 ( ) A.P1的平均密度比P2的大B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小C.s1的向心加速度比s2的大D.s1的公转周期比s2的大
答案 AC 设行星的半径为R、质量为M、卫星的质量为m,对于卫星有:G =ma,则a= 。由a-r2图像中两条曲线左端点横坐标相同可知,r最小值相同,说明两卫星s1、s2在两行星表面运行,行星P1、P2的半径R是相同的,而两颗卫星到各自行星表面的距离也相同,所以卫星s 1、s2到各自行星的距离r是相同的,由图像可知,s1的向心加速度比s2的大,即C正确。由a= 可知,r相同时,a大说明对应的M也大,故P1的平均密度比P2的大,即A正确。设在行星表面发射 卫星的“第一宇宙速度”为v,则有G =m ,v= ,可见R相同时M大的对应的v也大,即P1的“第一宇宙速度”大,故B错。卫星的公转周期设为T,则有:G =m r,T=2π ,可见s1的公转周期小,故D错。
评析 本题考查了天体运动中多个常见的问题,涉及知识点较多。题目通过图像的形式展现 两个行星的特征,给理解题意提升了难度,因此题目难度偏大。万有引力部分的题目大多相似, 本题较有新意,可谓创新题。
5.(2014天津理综,3,6分)研究表明,地球自转在逐渐变慢,3亿年前地球自转的周期约为22小 时。假设这种趋势会持续下去,地球的其他条件都不变,未来人类发射的地球同步卫星与现在 的相比 ( )A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大C.线速度变大 D.角速度变大
答案 A 同步卫星运行周期与地球自转周期相同,由G =m(R+h)· 有h= -R,故T增大时h也增大,A正确。同理由 =ma=m =m(R+h)ω2可得a= 、v= 、ω= ,故h增大后a、v、ω都减小,B、C、D皆错误。
6.[2017天津理综,9(1)]我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后,与已经在轨运 行的“天宫二号”成功对接形成组合体。假设组合体在距地面高为h的圆形轨道上绕地球做 匀速圆周运动,已知地球的半径为R,地球表面处重力加速度为g,且不考虑地球自转的影响。 则组合体运动的线速度大小为 ,向心加速度大小为 。
答案 R g
解析 本题考查天体运动、万有引力定律的应用。设组合体的质量为m、运转线速度为v,地球质量为M,则G =ma向=m ①,又有G =mg②,联立上述两式得a向= g,v=R 。
7.[2013天津理综,9(1),4分]“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行, 标志着我国探月工程的第一阶段已经完成。设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆 周运动,它距月球表面的高度为h,已知月球的质量为M、半径为R,引力常量为G,则卫星绕月球 运动的向心加速度a= ,线速度 v= 。
答案
解析 设卫星的质量为m,卫星环绕月球作匀速圆周运动,所以卫星的向心力由万有引力提供, 所以有 =ma和 =m ,解得:a= ,v= 。
8.(2019北京理综,18,6分)2019年5月17日,我国成功发射第45颗北斗导航卫星,该卫星属于地球 静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星 ( )A.入轨后可以位于北京正上方B.入轨后的速度大于第一宇宙速度C.发射速度大于第二宇宙速度D.若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D 本题考查了有关人造卫星、宇宙航行的知识以及万有引力定律在航天中的应用, 体现了对考生综合分析能力和科学推理能力的考查。因地球静止轨道卫星(同步卫星)的运行轨道在地球赤道正上方,故该北斗导航卫星入轨后不 能位于北京正上方,选项A错误;第一宇宙速度在数值上等于地球近地卫星的线速度,由万有引 力提供向心力 = ,可得v= ,同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径,则同步卫星入轨后的速度小于第一宇宙速度,故选项B错误;地球卫星的发射速度应大于等于第一 宇宙速度,小于第二宇宙速度,选项C错误;近地卫星的高度小,发射时所需的能量较少,故选项D 正确。
B组 统一命题、省（区、市）卷题组
疑难突破 由 = 可知卫星在轨道上所具有的动能Ek= mv2= ,而卫星在轨道上的势能Ep=- ,故卫星在轨道上的机械能E=Ek+Ep=- ,因此相同质量卫星的运行轨道半径越大,发射时所需能量就越大。
9.(2019江苏单科,4,3分)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,该卫 星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2, 近地点到地心的距离为r,地球质量为M,引力常量为G。则( ) A.v1>v2,v1= B.v1>v2,v1> C.v1
答案 B 本题考查人造卫星沿椭圆轨道运动内容,培养了理解能力和推理能力,体现了核心 素养中的能量观念及模型建构要素,有利于培养学生爱国主义价值观。卫星沿椭圆轨道运动时,只受万有引力作用,机械能守恒,在卫星由近及远的运动过程中,卫星 的部分动能转化为势能,速度逐渐减小,故v1>v2。若卫星过近地点做半径为r的匀速圆周运动, 则满足G =m ,可得v= 。现卫星过近地点做离心运动,则v1> ,故选项B正确,A、C、D错误。
解题关键 ①卫星运动过程中机械能守恒,动能和势能相互转化。②当提供的向心力不能满 足所需时卫星做离心运动,当提供的向心力大于所需时卫星做向心运动。
10.(2019课标Ⅱ,14,6分)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器 “奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描 述F随h变化关系的图像是 ( )
答案 D 本题考查了万有引力定律公式。考查了学生对万有引力定律的理解能力,体现了 运动和相互作用的物理观念及科学推理的核心素养。 由万有引力定律可知,探测器受到 的万有引力F= ,其中R为地球半径。在探测器“奔向”月球的过程中,离地面距离h增大,其所受的万有引力非线性减小,故选项D正确。
储备知识 万有引力定律公式,数学函数与图像的关联。
11.(2018课标Ⅲ,15,6分)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为 地球半径的16倍;另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为 ( )A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1
答案 C 本题考查万有引力定律、向心力公式、周期公式。卫星P、Q围绕地球做匀速圆 周运动,万有引力提供向心力,即G =m R,则T= , = = ,选项C正确。
一题多解 卫星P、Q围绕地球做匀速圆周运动,满足开普勒第三定律, = ,解得 = = ,选项C正确。
12.(2017课标Ⅲ,14,6分)2017年4月,我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室 完成了首次交会对接,对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与 天宫二号单独运行时相比,组合体运行的 ( )A.周期变大 B.速率变大C.动能变大 D.向心加速度变大
审题指导 隐含条件明显化对接形成的组合体相比天宫二号质量增加,即公式中的m增大,仍沿天宫二号原来的轨道运行, 意味着轨道半径r不变。
13.(2016课标Ⅰ,17,6分)利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保 持无线电通讯。目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期 变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为 ( )A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h
方法技巧 天体运动规律中,有一个常用的重要推论,就是环绕周期T与轨道半径r的关系式:T= 2π ,该公式在天体运动中有着广泛的应用,在平时学习中把它作为一个二级结论熟记十分必要。
评析 本题考查卫星运动知识,关键是要从题目所给信息中找到卫星轨道半径与地球半径之 间的几何关系
14.(2015课标Ⅰ,21,6分,0.439)(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后,先在月 球表面附近的近似圆轨道上绕月运行;然后经过一系列过程,在离月面4 m高处做一次悬停(可 认为是相对于月球静止);最后关闭发动机,探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103 kg,地球质量约为月球的81倍,地球半径约为月球的3.7倍,地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器 ( )A.在着陆前的瞬间,速度大小约为8.9 m/sB.悬停时受到的反冲作用力约为2×103 NC.从离开近月圆轨道到着陆这段时间内,机械能守恒D.在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
答案 BD 月球表面重力加速度大小g月=G = ·G = g地=1.66 m/s2,则探测器在月球表面着陆前的速度大小vt= =3.6 m/s,A项错;悬停时受到的反冲作用力F=mg月=2×103 N,B项正确;从离开近月圆轨道到着陆过程中,有发动机工作阶段,故机械能不守恒,C项错;在近月 圆轨道上运行的线速度v月= < ,故D项正确。
15.(2015课标Ⅱ,16,6分,0.361)由于卫星的发射场不在赤道上,同步卫星发射后需要从转移轨道 经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时,发动机点火,给卫星一 附加速度,使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s,某次发射卫星 飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s,此时卫星的高度与同步轨道的高度相同,转移轨道和同 步轨道的夹角为30°,如图所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为 ( )
A.西偏北方向,1.9×103 m/s B.东偏南方向,1.9×103 m/sC.西偏北方向,2.7×103 m/s D.东偏南方向,2.7×103 m/s
答案 B 同步卫星的速度v方向为正东方向,设卫星在转移轨道的速度为v1,附加速度为v2,由 速度的合成可知v2的方向为东偏南方向,其大小为v2= ≈1.9×103 m/s,故B选项正确。
考查点 运动的合成
解题关键 ①清楚题图中所示的方向关系。②速度合成遵守平行四边形定则。
易错警示 题图中所给为方向关系平面图,不是一个立体关系图。
C组 教师专用题组
16.(2016北京理综,18,6分,0.62)如图所示,一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行,在P点 变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是 ( ) A.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的速度都相同B.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的加速度都相同C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
答案 B 卫星在轨道1上运行到P点,经加速后才能在轨道2上运行,故A错误。由G =ma得:a= ,由此式可知B正确、C错。卫星在轨道2上的任何位置具有的动量大小相等,但方向不同,故D错。
易错点拨 卫星做圆周运动的加速度要根据实际运动情况分析。 与 相等时,卫星才可以做稳定的匀速圆周运动; > 时,卫星将做离心运动。
评析 本题主要考查卫星的加速度、速度与哪些因素有关及变轨问题。题设情景简单,考查 问题基础,属于容易题。
17.(2012北京理综,18,6分,0.79)关于环绕地球运行的卫星,下列说法正确的是 ( )A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星,不可能具有相同的周期B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星,在轨道不同位置可能具有相同的速率C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星,它们的轨道半径有可能不同D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星,它们的轨道平面一定会重合
答案 B 根据开普勒第三定律 =C(常数),可知只要椭圆轨道的半长轴与圆轨道的半径相等,两者的周期就相等,A选项错误;沿椭圆轨道运行的卫星在以长轴为对称轴的对称点上具有 相同的速率,故B选项正确;由G =m r,解得r= ,对于地球同步卫星其周期T=24小时,故其轨道半径一定,C选项错误;经过北京上空的卫星轨道有无数条,轨道平面与赤道平面的 夹角可以不同,故轨道平面可以不重合,D选项错误。
18.(2011北京理综,15,6分)由于通讯和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星, 这些卫星的 ( )A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同
答案 A 地球同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同且与地球自转“同步”,所以它 们的轨道平面都必须在赤道平面内,故C项错误;由ω= 、mRω2=G 可得R= ,由此可知所有地球同步卫星的轨道半径都相同,故B项错误;由v=Rω,ω= 可得v=R ,可知所有地球同步卫星的运转速率都相同,故D项错误;而卫星的质量不影响运转周期,故A项正确。
评析 在考查万有引力定律的基础上同时考查了地球同步卫星的有关知识。如果理解和掌 握了地球同步卫星的有关知识,是容易得分的。
考点一 万有引力定律及其应用
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
1.(2018南开一模)火星表面特征非常接近地球,可能适合人类居住。2011年,我国志愿者王跃 参与了在俄罗斯进行的“模拟登火星”实验活动“火星—500”项目。“火星—500”项目 主要目的是探索人类模拟登陆火星过程中所能够耐受的一切,包括将来人类真正登陆火星,所 需要的必要的生理保证和物质保障。已知火星半径是地球半径的 ,质量是地球质量的 ,自转周期基本保持相同。地球表面重力加速度是g。若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是 h,在忽略自转影响的条件下,下述分析正确的是 ( )A.王跃在火星表面所受火星引力是他在地球表面所受地球引力的 B.火星表面的重力加速度是 C.火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 D.王跃在火星上向上跳起的最大高度是
答案 C 已知火星半径是地球半径的 ,质量是地球质量的 ,根据F=G 得,王跃在火星表面所受火星引力与他在地球表面所受地球引力之比 = ,故A错误。根据G =mg得,火星表面的重力加速度是 g,故B错误。根据G =m 得,火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 ,故C正确。由H= 知,初速度相同,火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 ,则他在火星上向上跳起的最大高度是地球上的 倍,即 h,故D错误。
2.(2019河西三模)(多选)2018年5月21日,“嫦娥四号”中继星“鹊桥”在西昌卫星发射中心 发射成功,同年12月8日成功发射“嫦娥四号”探测器,2019年1月3日实现人类探测器在月球 背面首次软着陆。探测器对月球背面进行科学考察,并把信息通过中继星即时传送回地球。 中继星“鹊桥”号,可认为相对于月球绕地月系统的拉格朗日L2点做匀速圆周运动,如图所 示。地月系统的拉格朗日点就是小星体在该位置时,可以与地球和月球基本保持相对静止,即 在地球和月球万有引力作用下与月球一起以相同的角速度近似绕地球运动。下列判断正确 的是 ( )A.中继星“鹊桥”绕拉格朗日点L2运动过程,只受到地球和月球万有引力作用B.中继星“鹊桥”绕拉格朗日点L2运动过程,不只受到地球和月球万有引力作用,还要受到自 身的动力作用C.中继星“鹊桥”随拉格朗日点L2绕地球运动运动的周期等于月球绕地球运动的周期D.月球一面始终朝着地球,说明月球也有自转,自转周期与地球自转周期相同
答案 BC 中继星“鹊桥”绕拉格朗日点L2运动过程中,中继星“鹊桥”的合力指向拉格朗 日点L2,地球和月球万有引力的合力不指向拉格朗日点L2,所以不只受到地球和月球万有引力 作用,还要受到自身的动力作用,故A错误,B正确;根据题意知“鹊桥”中继星绕地球转动的周 期与月球绕地球转动的周期相同,故C正确;由于月球被潮汐锁定,永远只有一面对着地球,说明 月球也有自转,月球自转周期等于月球绕地球运动的周期,故D错误。
思路点拨 中继星“鹊桥”与月球同步绕地球运动,角速度相等。根据T= 比较中继星“鹊桥”随拉格朗日点L2绕地球运动的周期与月球绕地球的周期关系。根据月球永远只有一面 对着地球,可知月球的自转周期与月球绕地球运动的周期关系。
3.(2019红桥二模)银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构 成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观 察测得其运动周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G,由此可求出S1 的质量为 ( )A. B. C. D.
答案 A 以S2为研究对象,有G =m2 (r-r1),解得S1的质量m1= ,选项A正确。
4.(2017南开一模,2)如图所示是“嫦娥三号”着陆器携“玉兔号”奔月过程中某阶段的运动 示意图,关闭动力的“嫦娥三号”着陆器在月球引力作用下向月球靠近,并将沿椭圆轨道在P 处变轨进入圆轨道。已知着陆器绕月做圆周运动的轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,下列 说法中正确的是 ( ) A.“嫦娥三号”着陆器经椭圆轨道到P处时的线速度大于经圆形轨道到P处时的线速度B.“嫦娥三号”着陆器经椭圆轨道到P处时的加速度和经圆形轨道到P处时的加速度不相等C.“嫦娥三号”着陆器携“玉兔号”绕月球做圆周运动的过程中,“玉兔号”所受重力为零D.图中“嫦娥三号”着陆器在P处由椭圆轨道进入圆轨道前后机械能守恒
考点二 人造卫星 宇宙航行
答案 A “嫦娥三号”着陆器由椭圆轨道在P点变轨到圆轨道,速度要减小,做近心运动,所 以“嫦娥三号”着陆器经椭圆轨道到P处时的线速度大于经圆轨道到P处时的线速度,故A正 确;根据牛顿第二定律得G =ma,得a= ,可知变轨前后“嫦娥三号”着陆器在P点的加速度相等,故B错误;“嫦娥三号”着陆器携“玉兔号”绕月球做圆周运动的过程中,“玉兔号” 所受重力等于万有引力,不为零,故C错误;着陆器在P点变轨时速度减小,机械能减小,故D错 误。
5.(2018和平一模)人造卫星需要经过多次变轨才能到达预定轨道。如图所示,一颗人造卫星原 来在椭圆轨道1绕地球运行,从轨道1和轨道2的切点P变轨后进入轨道2做匀速圆周运动,下列 说法正确的是 ( ) A.在轨道1和轨道2运行,卫星的运行周期相同B.在轨道1和轨道2运行,卫星在P点的加速度相同C.卫星从轨道1的P点经过减速制动可以进入轨道2D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
答案 B 轨道1的半长轴小于轨道2的半径,根据开普勒第三定律 =k知,在轨道2上的周期大于在轨道1上的周期,故A错误。在轨道1上的P点和在轨道2上的P点,卫星所受的万有引力 相同,根据牛顿第二定律知,加速度相同,所以B选项是正确的。卫星从轨道1上的P点进入轨道 2时,需加速,故C错误。卫星在轨道2上做匀速圆周运动,速度大小不变,方向时刻改变,则动量 在变化,故D错误。
6.(2019河东二模)(多选)“嫦娥四号”(专家称为“四号星”)在2018年发射升空,它是嫦娥探 月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星,主要任务是更深层次、更加全面地科学探测 月球地貌、资源等方面的信息,完善月球档案资料。已知引力常量为G,月球的半径为R,月球 表面的重力加速度为g,“嫦娥四号”离月球中心的距离为r,绕月运行的周期为T。根据以上 信息判断下列说法正确的是 ( )A.月球的第一宇宙速度为 B.“嫦娥四号”绕月运行的速度为 C.月球的平均密度为ρ= D.“嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球
答案 AC 月球的第一宇宙速度为最大环绕速度,由重力提供向心力:mg=m ,解得v= ,选项A正确;由G =m 得v= ,MG=R2g,v= ,选项B错误;由G =mr 得,月球质量M= ,又因月球的体积为V= πR3,所以月球的平均密度ρ= ,选项C正确;“嫦娥四号”返回地球应先加速,接近地面时再减速,选项D错误。
时间:35分钟 分值:65分一、选择题(每小题6分,共54分)
1.(2019和平一模)2018年12月12日16时39分,“嫦娥四号”探测器结束地月转移段飞行,按计 划顺利完成近月制动,并成功进入100 km~ 400 km环月椭圆轨道Ⅱ。其轨道示意如图,环月轨 道Ⅰ为圆形轨道,环月轨道Ⅱ为椭圆轨道,两轨道在制动点A相切。则“嫦娥四号” ( )A.由A向B点运动过程中机械能增大B.由A向B点运动过程中速度大小不变C.从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要在A点进行点火加速D.沿轨道Ⅰ运动的周期大于沿轨道Ⅱ运动的周期
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
答案 D “嫦娥四号”在轨道Ⅱ上运动时,只有万有引力做功,故机械能守恒,故A错误;B点 为近月点,故“嫦娥四号”在B点的速度大于在A点的速度,故B错误;从高轨道Ⅰ进入低轨道Ⅱ 需要进行减速,故C错误;根据开普勒第三定律知,在轨道Ⅰ上运动时的半径大于在轨道Ⅱ上运 动时的半长轴,故在轨道Ⅰ上运动的周期较大,故D正确。
解题技巧 根据卫星变轨原理分析轨道变化时卫星是加速还是减速,并由此判定机械能大小 变化。根据开普勒第三定律分析卫星的运动周期和轨道半径之间的关系。
2.(2019和平二模)英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称,某科学家在银河系中心附近 的一团分子气体云中发现了一个黑洞。科学研究表明,当天体的逃逸速度(即第二宇宙速度, 为第一宇宙速度的 倍)超过光速时,该天体就是黑洞。已知某天体质量与地球质量之比为k,地球的半径为R,地球卫星的最大环绕速度(即第一宇宙速度)为v1,光速为c,则要使该天体成为 黑洞,其半径应小于 ( )A. B. C. D.
答案 D 对于地球有 =m ;设该天体成为黑洞时其半径为r,第一宇宙速度为v2,有 =m ,c= v2,联立解得r= ,故D正确,A、B、C均错误。
3.(2019河东一模)2016年11月24日,我国成功发射了“天链一号”04星,“天链一号”04星是 我国发射的第4颗地球同步卫星,它与“天链一号”02星、03星实现组网运行,为我国神舟飞 船、空间实验室“天宫二号”提供数据中继与测控服务。如图,1是“天宫二号”绕地球稳定 运行的轨道,2是“天链一号”绕地球稳定运行的轨道,下列说法正确的是 ( )
A.“天链一号”04星的最小发射速度是11.2 km/sB.“天链一号”04星的运行速度小于“天宫二号”的运行速度C.为了便于测控,“天链一号”04星相对于地面静止于北京飞控中心的正上方D.“天链一号”02、03、04星所受万有引力大小相等
答案 B 由于第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动时的最大环绕速度, 同时又是最小的发射速度,可知卫星的发射速度大于第一宇宙速度7.9 km/s,卫星的发射速度 大于第二宇宙速度11.2 km/s时,将脱离地球束缚,所以卫星的发射速度要介于第一宇宙速度和 第二宇宙速之间,故A错误;由万有引力提供向心力得 = ,可得v= ,可知轨道半径比较大的“天链一号”04星的运行速度小于“天宫二号”的运行速度,故B正确;“天链一 号”04星位于赤道正上方,不可能位于北京飞控中心的正上方,故C错误;“天链一号”02、0 3、04星的质量不一定相同,则所受万有引力大小不一定相等,故D错误。故选B。
思路点拨 了解第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度,也是最大的环绕速度,要比较一个物理 量大小,我们应该把这个物理量先表示出来,再进行比较。
4.(2019南开二模)2016年10月17日,“神舟十一号”载人飞船发射升空,运送两名宇航员前往2 016年9月15日发射的“天宫二号”空间实验室,宇航员计划在“天宫二号”驻留30天进行科 学实验。“神舟十一号”与“天宫二号”的对接变轨过程如图所示,AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴, “神舟十一号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ,再变轨到圆轨道Ⅲ,与在圆轨道Ⅲ运行的 “天宫二号”实施对接。下列描述正确的是 ( ) A.“神舟十一号”在变轨过程中机械能不变B.可让“神舟十一号”先进入圆轨道Ⅲ,然后加速追赶“天宫二号”实现对接C.“神舟十一号”从A到C的平均速率比“天宫二号”从B到C的平均速率大D.“神舟十一号”在椭圆轨道上运动的周期与“天宫二号”运行周期相等
答案 C “神舟十一号”在变轨过程中需要向外喷出气体,气体对飞船做功,所以机械能发 生变化,A错误;若“神舟十一号”与“天宫二号”同轨加速会做离心运动,不会对接,故B错误; 结合牛顿第二定律和开普勒第三定律,可以将椭圆轨道的平均速率与半径等于 的圆轨道类比,根据v= 可知,“神舟十一号”从A到C的平均速率比“天宫二号”从B到C的平均速率大,故C正确;由图可知轨道Ⅱ的半长轴小于圆轨道Ⅲ的半径,根据开普勒第三定律可知,“神 舟十一号”在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期小于“天宫二号”运行周期,故D错误。
5.(2019河西二模)小行星绕恒星运动,恒星均匀地向四周辐射能量,质量缓慢减小,可认为小行 星绕恒星运动一周的过程中近似做匀速圆周运动,则经过足够长的时间后,小行星运动的 ( )A.半径变大 B.速率变大 C.角速度变大 D.加速度变大
答案 A 恒星均匀地向四周辐射能量,质量缓慢减小,小行星与恒星之间万有引力减小,小行 星做离心运动,即半径增大,故A正确;小行星绕恒星运动做匀速圆周运动,万有引力提供向心 力,设小行星的质量为m,恒星的质量为M,则G =m ,即v= ,M减小,r增大,故v减小,所以B错误;v=ωr,v减小,r增大,故ω减小,所以C错误;由G =ma得,a= ,M减小,r增大,所以a减小,故D错误。
6.(2019部分区一模)(多选)一行星绕恒星做匀速圆周运动,由天文观测可得,其运行周期为T,速 度为v,引力常量为G,由以上条件,可求得的物理量有 ( )A.恒星的质量 B.行星的质量C.行星运行的轨道半径 D.行星受到的引力
答案 AC 根据T= 得行星的轨道半径r= ,由 =m 得,恒星质量M= = ,行星的质量无法求出,引力也无法求出,所以A、C选项正确。
解题技巧 根据线速度与周期、半径的关系求行星运动的轨道半径,根据万有引力提供圆周 运动向心力求恒星的质量M。
7.(2017八校联考)(多选)“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球,在距月球表面200 km的P点进行第一次变轨后被月球捕获,先进入椭圆轨道Ⅰ上绕月飞行,如图所示。之后,卫星 在P点又经过两次变轨,最后在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。 对此,下列说法正确的是 ( ) A.卫星在轨道Ⅲ上的运动周期比在轨道Ⅰ上的短B.卫星在轨道Ⅲ上运动的速度大于月球的第一宇宙速度C.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种轨道运行相比较,卫星在轨道Ⅲ上运动的机械能最小D.卫星在轨道Ⅲ上运动到P点的加速度大于沿轨道Ⅰ运动到P点的加速度
答案 AC 根据开普勒第三定律,半长轴越长,周期越大,所以卫星在轨道Ⅰ上运动的周期最 长,故A正确;月球第一宇宙速度是绕月球做圆周运动的最大环绕速度,所以卫星在轨道Ⅲ上运 动的速度小于月球的第一宇宙速度,故B错误;卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ进入轨道 Ⅲ,都要减速做向心运动,故其机械能要减小,故卫星在轨道Ⅲ上运行的机械能最小,故C正确; 卫星在轨道Ⅲ上的P点和在轨道Ⅰ上的P点受到的万有引力大小相等,根据牛顿第二定律,加速 度大小相等,故D错误。
8.(2018河西一模,5)(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的由三颗星体组成的三星系统。 可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一 种是直线三星系统A(三颗星体始终在一条直线上);另一种是三角形三星系统B(三颗星体位于 等边三角形的三个顶点上)。已知某直线三星系统A中每颗星体的质量均为m,相邻两颗星体 间的距离均为R;某三角形三星系统B中每颗星体的质量恰好也均为m,且三星系统A外侧的两 颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B中每颗星体做匀速圆周运动的周期相等,引力常 量为G,则 ( )A.三星系统B中星体的运动周期为T=2πR B.三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为ω= C.三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v= D.三星系统B任意两颗星体中心间的距离为L=R
答案 BC 对三星系统A:三颗星体位于同一直线上,两颗星体围绕中央星体在同一半径为R 的圆轨道上运行;其中边上的一颗星体受中央星和另一颗边上星体的万有引力作用,两万有引力的合力提供向 心力: + =m 解得:v= 故ω= = 三星系统A外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B中每颗星体做匀速圆周运动 的周期相等,故:T=T'= =4πR ,故A错误,B、C正确;三星系统B是三颗星体位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于三角形的圆形轨道运行,
由万有引力定律和牛顿第二定律得:2 =cos 30°= 计算得出:L= R,故D错误。
解题技巧 明确研究对象,对研究对象受力分析,找到做圆周运动所需向心力的来源,根据牛顿 第二定律列式分析即可。
9.(2017十二区二模)(多选)甲、乙两星组成双星系统,它们离其他天体都很遥远;观察到它们的 距离始终为L,甲的轨道半径为R,运行周期为T。下列说法正确的是 ( )A.乙星的质量大小为 B.乙星的向心加速度大小为 C.若两星间的距离减小,则它们的运动周期会变小D.甲、乙两星的质量之比为R∶(L-R)
答案 AC 对双星系统的两颗星球,由它们之间的万有引力提供向心力,则:G = 所以m乙= ,所以A选项是正确的;双星系统具有相同的角速度和周期,轨道半径之和为L。甲的向心加速度:a甲= 乙的向心加速度a乙= (L-R),故B错误;若两星间的距离减小,根据:G =Rm甲( )2=(L-R)m乙( )2解得 (m甲+m乙)=( )2L,T= ,L减小,则它们的运动周期会变小,C正确;由题可知,m甲ωR=m乙ω(L-R)所以Rm甲=(L-R)m乙甲、乙两星的质量之比为 ,故D错误。
10.(2019红桥二模,12)(11分)2010年10月我国“嫦娥二号”探月卫星成功发射,“嫦娥二号” 卫星开始绕地球做椭圆轨道运动,经过若干次变轨、制动后,最终使它绕月球在一个圆轨道上 运行。设“嫦娥二号”距月球表面的高度为h,绕月做圆周运动的周期为T。已知月球半径为 R,引力常量为G。(1)求月球的质量M;(2)求月球的密度ρ;(3)若地球质量为月球质量的k倍,地球半径为月球的n倍,求地球与月球的第一宇宙速度之比v 1∶v2。
二、非选择题(共11分)
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)根据万有引力提供向心力,有G =m (R+h)解得M= (2)根据ρ= ,V= πR3解得ρ= (3)对近地卫星和近月卫星分别有G =m G =m 解得 =
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
1.(2017河北二模)2017年4月17日在北京举行的“中国航天日”新闻发布会上,国防科工局总 工程师、国家航天局秘书长田玉龙透露,今年年底将实施探月工程“嫦娥五号”发射任务,完 成我国首次从月球采样返回的重大使命,届时该运载任务将由“长征五号”火箭承担。为了 实现这一计划,先要使登月飞船从距月面一定距离的高轨道变到靠近月球表面的低轨道。假 设有一登月飞船以某一速度绕月球做匀速圆周运动,该飞船质量为m,距月球表面的高度为h。 该飞船在距月球表面h高处的A点短促地向前喷气,喷出气体相对飞船的速度为u,经过一段时 间后飞船运动到靠近月球表面的B点,A、B两点的连线过月球球心,飞船在A、B两点的速度与 飞船到月心距离的乘积为定值。月球表面的重力加速度为g,已知登月飞船在月球上空的万有 引力势能为Ep=- (以无穷远处引力势能为零)。求:(1)飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动时的线速度大小;(2)飞船在A点喷出气体的质量。
答案 (1) (2)见解析
解析 (1)设飞船在距月球表面h高度处做匀速圆周运动的线速度为v0,设月球的质量为M,万有 引力提供向心力G = 由黄金代换公式GM=gR2得:v0= (2)飞船喷气后的质量设为m',速度为vA,到达B点的速度为vB,飞船从喷气后到B点的过程中满足 机械能守恒定律 m' -m' = m' - 又因为飞船在A、B两点的速度与飞船到月心距离的乘积为定值,有vA(R+h)=vBR联立以上两式消去vB,可得vA= 飞船喷气过程中动量守恒,以v0方向为正方向,则有mv0=m'vA+Δm(vA+u),m'=m-ΔmΔm=m =
2.(2019河北二模)已知物体从地球上的逃逸速度v= ,其中G、M、R分别是引力常量、地球的质量和半径。已知G=6.67×10-11 N·m2/kg2、光速c=2.99×108 m/s,逃逸速度大于真空光速 的天体叫做黑洞,设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030 kg,求它可能的最大半径。
答案 2.95 km
解析 由题目所提供的信息可知,任何天体都存在与其对应的逃逸速度v,对于黑洞来说,其逃 逸速度大于真空中的光速,即v>c,所以R< =2.95 km,即该黑洞的最大半径为2.95 km。
3.(2019 5·3原创)小明的父亲在某地质研究所工作,某次小明父亲测得某地重力加速度明显偏 大,于是钻井取样获知该地地表下某深度有较大范围的重金属矿,为了进一步获悉金属矿的具 体范围,需要进行理论计算。小明父亲为了锻炼小明“学以致用”的能力,把这个问题抛给了 小明。小明查阅资料得到的数据有:地球的半径R,地球的平均密度ρ0,地球表面的重力加速度g 0。小明父亲提供的数据有:当地测得的重力加速度g,取样深度h(取样深度远大于矿区范围),取 样重金属矿的平均密度ρ。(1)小明构建了运用高中所学知识可解的理想模型,并明确了所需求解问题。请用图构建这一 模型,并说明所需求解的物理量。(2)用获悉的数据表示(1)中所需求解的物理量。
答案 见解析
解析 (1)小明把地球除重金属矿的其他地方都看成密度相同的球体,把重金属矿所占空间也 看成球体,并设重金属矿球体半径为r。考虑到r≪h,于是重金属矿球心至地表的距离为h。所 构建模型如图所示。需要求解的物理量是r。 (2)忽视重金属矿密度较大的情况,A处重力加速度应为g0,即有G =mg0(设A处某物体质量为m)。其中M=ρ0· πR3因为重金属矿密度较大,导致A处物体重力更大,可认为是由于金属矿所在空间叠加了密度为ρ -ρ0的物质球的作用。
则G +G =mg,其中M'=(ρ-ρ0)· πr3解得r= 。
4.(2019 5·3原创)火星是太阳系中和地球环境最为相似的行星,100年后,人类或已能够方便地 前往火星度假。地球人小明去火星度假前,在地球上用体重秤测得体重为F,到达火星后,小明 参加了为期一个月的减肥训练营,他惊喜地发现,经过一个月的训练,在火星上测得的体重已变 为 F。已知火星半径是地球半径的 ,火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 ,地球密度为ρ。(忽略地球和火星自转的影响,火星和地球均可看成质量分布均匀的球体)(1)小明减肥是否成功?(2)人类即将前往度假的这颗星球的密度是多少?
解析 (1)设火星和地球半径分别为R'和R,火星和地球第一宇宙速度分别为v'和v,火星和地球 表面重力加速度分别为g'和g根据已知条件,得: = ① = ②火星上第一宇宙速度满足m0g'=m0 ③地球上第一宇宙速度满足m0g=m0 ④由①②③④式得: = ⑤设小明在火星和地球上的质量分别为m'和m,则:F=mg ⑥ F=m'g' ⑦由⑤⑥⑦式得m'=m因此,小明的质量没变,减肥没有成功。
答案 (1)见解析 (2) ρ
(2)设火星和地球的质量分别为M'和M,火星密度为ρ'在火星上满足m0g'= ⑧在地球上满足m0g= ⑨由①⑤⑧⑨式得: = ⑩所以 = = ρ'= ρ
5.(2019 5·3原创)2018年,太空探索技术公司的重型猎鹰火箭发射升空,计划将一辆樱桃红纯电 动跑车送入火星轨道。已知火星同步卫星轨道半径为r,运行周期为T。假设该公司先后将两 辆跑车送入火星轨道,且两辆跑车均绕火星做匀速圆周运动,其中跑车A的轨道在赤道平面,旋 转方向与火星自转方向相同,轨道半径rA= r,跑车B的轨道经过火星两极点的上空,轨道半径rB= r。假如2100年的一天深夜,火星移民小明站在火星赤道上仰望夜空,他看见两辆跑车恰好同时经过头顶的天空。求:(1)两辆跑车绕火星运行的周期TA和TB各是多少?(2)如果小明从此刻等在原地,那么至少还需要等多长时间,他会在夜空中再次看到两辆跑车同 时经过他头顶的天空?
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