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高考物理一轮复习课件专题一质点的直线运动 (含解析)
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这是一份高考物理一轮复习课件专题一质点的直线运动 (含解析)，共44页。
考点一 匀变速直线运动规律
统一命题、省（区、市）卷题组
1.(2019课标Ⅰ,18,6分)如图,篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮,离地后重心上升的最大高 度为H。上升第一个 所用的时间为t1,第四个 所用的时间为t2。不计空气阻力,则 满足 ( ) A.1< <2 B.2< <3C.3< <4 D.4< <5
答案 C 本题考查了匀变速直线运动中通过连续相邻相等位移所用时间的关系和考生的逻 辑推理能力,体现了科学思维素养中模型建构、科学论证要素。运动员离地后做竖直上抛运动,则可以按其逆过程——自由落体运动计算,将H分为相等的4 段,通过各段所用时间由上至下分别为T1、T2、T3、T4,则满足T1∶T2∶T3∶T4=1∶( -1)∶( - )∶(2- ),则 = =2+ ,则3< <4,故只有C正确。
关联知识 初速度为0的匀加速直线运动在连续相等时间内位移比为x1∶x2∶x3∶…∶xN=1∶ 3∶5∶…∶(2N-1);通过前x、前2x、前3x、…、前nx位移所用时间比值为t1∶t2∶t3∶…∶tn= 1∶ ∶ ∶…∶ 。
2.(2016课标Ⅲ,16,6分)一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动,在时间间隔t内位移为s,动能 变为原来的9倍。该质点的加速度为 ( )A. B. C. D.
答案 A 动能变为原来的9倍,速度变为原来的3倍,a= ,s= ·t,解得a= ,A正确。
考查点 匀变速直线运动规律的应用。
一题多解 解法二 ⇒a= 解法三 ⇒a=
3.(2007北京理综,18,6分)图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片。该照片经放 大后分析出,在曝光时间内,子弹影像前后错开的距离约为子弹长度的1%~2%。已知子弹飞行 速度约为500 m/s,由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近 ( ) A.10-3 s B.10-6 sC.10-9 s D.10-12 s
答案 B 子弹的长度约为5 cm,在曝光时间内子弹移动的距离为s=5×1% cm=0.05 cm=5×10-4 m,则曝光时间t= = s=10-6 s
4.(2007北京理综,20,6分)在真空中的光滑水平绝缘面上有一带电小滑块。开始时滑块静止。 若在滑块所在空间加一水平匀强电场E1,持续一段时间后立即换成与E1相反方向的匀强电场E2。当电场E2与电场E1持续时间相同时,滑块恰好回到初始位置,且具有动能Ek。在上述过程中, E1对滑块的电场力做功为W1,冲量大小为I1;E2对滑块的电场力做功为W2,冲量大小为I2。则 ( )A.I1=I2 B.4I1=I2C.W1=0.25Ek,W2=0.75Ek D.W1=0.20Ek,W2=0.80Ek
答案 C 设E1作用的时间为t,在这段时间内发生的位移大小为x。由x= · t2和 -x= t·t- · t2 可得:E2=3E1所以: = = 。A、B均错。由W1+W2=Ek和 = = 可得:W1=0.25Ek,W2=0.75Ek。故选C。
A组 自主命题·天津卷题组
考点二 运动图像 追及相遇问题
1.(2014天津理综,1,6分)质点做直线运动的速度-时间图像如图所示,该质点 ( ) A.在第1秒末速度方向发生了改变B.在第2秒末加速度方向发生了改变C.在前2秒内发生的位移为零D.第3秒末和第5秒末的位置相同
答案 D 由题图可知0~2 s内,速度为正,运动方向未改变,2 s末时,位移最大,v-t图线斜率表示 加速度,1~3 s图线斜率未改变,故第2 s末加速度方向没有变化,A、B、C错误;由v-t图线与时间 轴所围面积表示位移知,第3 s末和第5 s末质点位置相同,D正确。
2.(2018课标Ⅱ,19,6分)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度-时间图像分 别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是 ( ) A.两车在t1时刻也并排行驶B.在t1时刻甲车在后,乙车在前C.甲车的加速度大小先增大后减小D.乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD 本题考查对v-t图线的理解、追及和相遇问题。v-t图线与时间轴包围的面积表示 车运动的位移,t2时刻两车并排行驶,故t1时刻甲车在后,乙车在前,所以A错,B对。v-t图线上各点 切线的斜率表示瞬时加速度,由此可知,C错,D对。
3.(2018课标Ⅲ,18,6分)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙 做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是 ( ) A.在t1时刻两车速度相等B.从0到t1时间内,两车走过的路程相等C.从t1到t2时间内,两车走过的路程相等D.在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等
答案 CD 本题考查x-t图像的应用。在x-t图像中,图线的斜率表示物体运动的速度,在t1时刻, 两图线的斜率关系为k乙>k甲,两车速度不相等;在t1到t2时间内,存在某一时刻甲图线的切线与乙 图线平行,如图所示,该时刻两车速度相等,选项A错误、D正确。从0到t1时间内,乙车走过的路 程为x1,甲车走过的路程小于x1,选项B错误。从t1到t2时间内,两车走过的路程都为x2-x1,选项C正 确。
4.(2016课标Ⅰ,21,6分)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图像如图所示。已知两 车在t=3 s时并排行驶,则 ( ) A.在t=1 s时,甲车在乙车后B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 mC.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 sD.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD 由题中v-t图像得a甲=10 m/s2,a乙=5 m/s2,两车在t=3 s时并排行驶,此时x甲= a甲t2= ×10×32 m=45 m,x乙=v0t+ a乙t2=10×3 m+ ×5×32 m=52.5 m,所以t=0时甲车在前,与乙车的距离为L=x乙-x甲=7.5 m,B项正确。t=1 s时,x甲'= a甲t'2=5 m,x乙'=v0t'+ a乙t'2=12.5 m,此时x乙'=x甲'+L=12.5 m,所以另一次并排行驶的时刻为t=1 s,故A、C项错误;两次并排行驶的位置沿公路方向相距L‘=x 乙-x乙’=40 m,故D项正确。
5.(2013课标Ⅰ,14,6分,0.787)图是伽利略1604年做斜面实验时的一页手稿照片,照片左上角的三 列数据如下表。表中第二列是时间,第三列是物体沿斜面运动的距离,第一列是伽利略在分析 实验数据时添加的。根据表中的数据,伽利略可以得出的结论是 ( )
A.物体具有惯性B.斜面倾角一定时,加速度与质量无关C.物体运动的距离与时间的平方成正比D.物体运动的加速度与重力加速度成正比
答案 C 由图表可知,图表中的物理量未涉及物体的惯性、质量以及加速度与重力加速度 的关系,所以A、B、D错误,由表中数据可以看出,在前1秒、前2秒、前3秒……内位移与时间 的平方成正比,所以C正确。
考查点 初速度为零的匀变速直线运动的基本规律。
知识拓展 伽利略做了一个6 cm多长、3 m多宽的光滑直木板槽,再把这个木板槽倾斜固定, 让小球从木板槽顶端沿斜面由静止滑下,并用水钟测量小球下滑的时间,研究运动路程和时间 的关系。亚里士多德曾预言小球下滑的速度是不变的。伽利略却证明小球运动的路程和时 间的平方成正比。
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
1.(2019宝坻联考)以20 m/s的速度行驶的汽车,制动后以5 m/s2的加速度做匀减速直线运动。则 汽车在制动后的5 s内的位移是 ( )A.45 m B.37.5 m C.50 m D.40 m
答案 D 汽车刹车时间为t0= = s=4 s<5 s,所以汽车制动后5 s内的位移等于4 s内的位移,利用平均速度计算,即x= t0= ×4 m=40 m,故D正确。
易错警示 汽车制动问题首先要判断汽车刹车时间,再根据运动学规律进行计算。
(2018河北一模)如图所示,在倾角θ=30°的足够长光滑斜面上,一质量为2 kg的小球自与斜面底 端P点相距0.5 m处,以4 m/s的初速度沿光滑斜面向上运动。在返回P点之前,若小球与P点之间 的距离为d,重力加速度g取10 m/s2。则d与t的关系式为 ( )A.d=4t+2.5t2 B.d=4t-+4t+2.5t2 D.d=0.5+4t-2.5t2
答案 D 以沿斜面向上为正方向,据牛顿第二定律可求小球在光滑斜面上的加速度为:a=-g sin 30°=-5 m/s2。据运动学公式得:x=4t-2.5t2。据小球位移与d的关系可知:d=0.5+4t-2.5t2, 故A、B、C均错误,D正确。
3.(2019七校联考)核潜艇是战略核威慑手段之一,我国自主研制的“094A”核潜艇在世界上 处于比较领先的地位。如图所示,在某次实战训练中潜艇遇到情况需要紧急下潜,假设在某段 时间内潜艇的运动可视为匀减速下潜。若在这段时间内5 s末的速度比2 s末的速度小3 m/s,则 “094A”潜艇在该段时间内的加速度大小为 ( ) A.1 m/s2 B.1.5 m/s2 C.2 m/s2 D.3 m/s2
答案 A 5 s末与2 s末之间的时间间隔为3 s,速度变化量为-3 m/s,a= =-1 m/s2,即“094A”潜艇在该段时间的加速度大小为1 m/s2,A正确。
4.(2019耀华中学月考)一个物体做末速度为零的匀减速直线运动,比较该物体在减速运动的倒 数第3 m、倒数第2 m、倒数第1 m内的运动,下列说法中正确的是 ( )A.经历的时间之比是1∶2∶3B.平均速度之比是3∶2∶1C.平均速度之比是1∶( -1)∶( - )D.平均速度之比是( + )∶( +1)∶1
答案 D 初速度为零的匀加速直线运动中,相邻相等位移所用时间之比为1∶( -1)∶( - )∶…∶( - ),将末速度为零的匀减速直线运动看成反向的匀加速直线运动,所以通过倒数第3 m、倒数第2 m、倒数第1 m内的时间之比为( - )∶( -1)∶1,故A错误;平均速度 = ,位移都一样,即平均速度之比为 ∶ ∶ ,化简为( + )∶( +1)∶1,故D正确,B、C错误。
5.(2017滨海七校联考)一物体自t=0时开始做直线运动。其速度-时间图像如图所示,下列说法 正确的是 ( ) A.t=6 s时刻,物体离出发点最远B.前5 s内,物体的平均速度为7 m/sC.4~6 s物体的加速度大小不变,但方向改变D.在5~6 s内,物体所受的合外力做负功
考点二 运动图像 追及相遇问题
答案 B 在0~5 s,物体向正方向运动,5~6 s向负方向运动。故5 s末离出发点最远,故A错误; 根据速度-时间图像的面积大小等于位移大小,得前5 s内物体的位移x= ×10 m=35 m,平均速度为 = = m/s=7 m/s,故B正确;根据图像的斜率表示加速度,知4~6 s物体的加速度不变,即加速度大小不变,方向也不变,故C错误;在5~6 s内,物体的速度增大,动能增加,由动能定理知 物体所受的合外力做正功,故D错误。
6.(2018十二区县一模)(多选)甲、乙两辆玩具小汽车同时同地沿同一条平直路面并排行驶,速 度-时间图像如图所示,下列说法正确的是 ( ) A.甲车在0到4 s内的平均速度大小为4.5 m/sB.甲车启动的加速度大小为1 m/s2C.2 s末乙车位于甲车前方4 m处D.6 s时两车停在同一位置
答案 AC 由图可知,4 s内甲车的位移x= ×6 m=18 m,故甲车在0到4 s内的平均速度大小为 = = m/s=4.5 m/s,故A正确;图像的斜率表示加速度,故甲车启动的加速度大小为a= = m/s2=3 m/s2,故B错误;由图可知,2 s末两车的距离x'= ×2 m- m=4 m,由于乙车位移大于甲车位移,故2 s时乙车位于甲车前方4 m处,故C正确;由图可知,6 s时两车的位移并不相同,甲 车的位移大于乙车的位移,故两车并不停在同一位置,故D错误。
7.(2017南开三模)甲、乙两辆汽车在同一水平直道上运动,其运动的x-t图像如图所示,则下列 关于两车运动情况说法正确的是( ) A.甲车先做匀减速直线运动,后做匀速直线运动B.乙车在0~10 s内的平均速度大小大于0.8 m/sC.在0~10 s内,甲车的位移小于乙车的位移D.若乙车做匀变速直线运动,则图线上P点所对应的瞬时速度大小一定大于0.8 m/s
答案 D x-t图像的斜率表示速度,根据图像可知,甲车先做匀速直线运动,后静止,故A错误;乙 车在0~10 s内的位移x=0-8 m=-8 m,则平均速度 = = m/s=-0.8 m/s,所以乙车在0~10 s内的平均速度大小等于0.8 m/s,故B错误;由图可知,甲车的位移为2 m-10 m=-8 m,乙车的位移为0-8 m=-8 m,大小相等,故C错误;若乙车做匀变速直线运动,则乙车做匀加速直线运动,中间时刻的 瞬时速度等于平均速度,所以5 s末的速度等于0.8 m/s,所以P点速度一定大于0.8 m/s,故D正 确。
时间:30分钟 分值:54分选择题(每小题6分,共54分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
1.(2017河西二模)a、b两物体从同一位置沿同一直线运动,它们的速度-时间图像如图所示,下 列说法正确的是 ( ) A.a、b加速时,物体a的加速度等于物体b的加速度B.40 s时,a、b两物体相距最远C.60 s时,物体a追上物体bD.40 s时,a、b两物体速度相等,相距50 m
答案 B a、b加速时,a图线的斜率小于b图线的斜率,则物体a的加速度小于物体b的加速度, 故A错误;速度-时间图线与时间轴围成的面积表示物体通过的位移,由图可知,前40 s内两图线 所围面积之差最大,故40 s时相距最远,故B正确;由图可知,前60 s内,a的位移比b的位移大,两个 物体又是从同一位置沿同一直线运动的,所以60 s时物体a在前方,故C错误;由图可知,40 s 时,a、b两物体速度相等,两者前40 s内位移之差Δs= ×20 m+ m=900 m,故D错误。
2.(2017河东一模)某物体以一定的初速度沿足够长的斜面从底端向上滑去,此后该物体的运动 图像不可能的是(图中x是位移、v是速度、t是时间) ( )
答案 D 物体可能先斜向上做匀减速直线运动,后斜向下做匀加速直线运动,根据x=v0t+ at2得知,位移是时间的二次函数,图线是曲线,A可能正确。物体可能先向上做匀减速直线运动,后 停在斜面上,故B、C可能正确;选项D中,物体返回时加速度大于出发时加速度,不符合物体的 运动情况,不可能正确。故选D。
3.(2018南开三模)(多选)在某次军事演习中,空降兵从悬停在高空中的直升机上跳下,当下落到 距离地面适当高度时打开降落伞,最终安全到达地面。空降兵从跳离飞机到安全到达地面的 过程中,在竖直方向上运动的v-t图像如图所示,则以下判断中正确的是 ( ) A.空降兵在0~t1时间内做自由落体运动B.空降兵在t1~t2时间内的加速度方向竖直向上,大小在逐渐减小C.空降兵在0~t2时间内的平均速度 = v2D.空降兵在t1~t2时间内的平均速度 < (v1+v2)
答案 BD 图像在0~t1时间内斜率越来越小,故加速度不恒定,空降兵不做自由落体运动,故A 错误;由图像可知,空降兵在t1~t2时间内的加速度方向竖直向上,大小在逐渐减小,故B正确;因空 降兵不是做匀变速直线运动,故空降兵在0~t1时间内的平均速度不等于 ,故C错误;若物体做匀减速直线运动,t1~t2时间内的平均速度为 '= ;而由题图可知,图像与横坐标轴围成的面积小于匀变速直线运动时的面积,故空降兵在t1~t2时间内的平均速度 < ,故D正确。
4.(2018五区县二模)平直公路上有甲、乙两车,t=0时刻从同一位置同向运动,它们运动的v-t图 像如图所示。下列说法正确的是( ) A.t1时刻甲、乙两车相距最远B.t2时刻,两车的加速度相同C.0~t2时间内,乙车的速度先减小后变大D.0~t2时间内,乙车平均速度大于
答案 C 当速度相同时,两者相距最远,故在t2时刻甲、乙两车相距最远,故A错误;在v-t图像 中,斜率表示加速度,t2时刻,斜率不同,故两车的加速度不相同,故B错误;由图可知,0~t2时间内,乙 车的速度先减小后变大,故C正确;在v-t图线中,图像与时间轴所围面积为物体运动的位移,相同 时间内甲的位移大,故甲的平均速度大于乙的平均速度,甲做匀变速运动,甲的平均速度为 ,故乙的平均速度小于 ,故D错误。
5.(2018河东二模)如图所示是利用DIS测得的运动小车的v-t图像,由图可知 ( )A.小车做曲线运动B.小车的最大位移是0.8 mC.小车运动的最大速度约为0.8 m/sD.小车先做匀加速运动,后做匀减速运动
答案 C v-t图像只能描述直线运动,故小车做直线运动,故A错误;图像中曲线与t轴所围的面 积表示小车的最大位移,图中每一小格表示0.1 m,面积超过方格一半的算一个,不足半格舍去, 总共有84格,所以小车的最大位移为8.4 m,故B错误;由图像读出速度的最大值约为0.8 m/s,故C 正确;图线的斜率一直在变化,说明小车的加速度一直在变化,所以小车做的不是匀变速运动, 故D错误。
6.(2018南开一模)某运动员(可看作质点)参加跳水比赛,t=0时运动员向上起跳离开跳台,其竖 直方向速度与时间关系图像如图所示,若vm、t1、t2、t3已知,不计空气阻力,则下列说法错误的 是 ( ) A.可以求出水池的深度B.可以求出跳台距离水面的高度C.0~t2时间内,运动员处于失重状态D.t2~t3时间内,运动员处于超重状态
答案 A 结合生活常识及v-t图像可知:t1时刻跳水运动员到达最高点,t2时刻跳水运动员到达 水面。v-t图像不能反映跳水运动员是否到达池底,所以不能求出水的深度,故A错误;根据v-t图 像中图线与横坐标轴围成的面积表示位移,可以求出跳台距离水面的高度,B正确;0时刻时运 动员向上起跳,说明速度的负值表示方向向上,则知0~ t1时间内在向上做匀减速运动,t1~ t2时间 内向下做匀加速直线运动,0~ t2时间内,跳水运动员一直在空中,具有向下的加速度,处于失重 状态,故C正确;由图可知,t2~ t3时间内,运动员向下做减速运动,则加速度的方向向上,处于超重 状态,故D正确。本题选择错误的,故选A。
7.(2019南开一模)A、B两物体运动的v-t图像如图所示,由图像可知 ( ) A.A、B两物体运动方向始终相同B.A、B两物体的加速度在前4 s内大小相等、方向相反C.A、B两物体在前4 s内不可能相遇D.A、B两物体若在6 s时相遇,则计时开始时二者相距30 m
答案 D A物体先向负方向做减速运动,然后再向正方向做加速运动,B物体一直向正方向做 加速运动,故选项A错误; v-t图线的斜率表示加速度,则A、B两物体的加速度在前4 s内大小相 等、方向相同,选项B错误;前4 s内两物体运动方向相反,因起始位置不确定,则A、B两物体在 前4 s内可能相遇,选项C错误;A、B两物体若在6 s时相遇,则计时开始时二者相距 ×6×7.5 m+ m=30 m,选项D正确。
8.(2019河西二模)(多选)甲、乙两辆遥控小汽车在两条相邻的平直轨道上做直线运动,以甲车 运动方向为正方向,两车运动的v-t图像如图所示。下列说法正确的是 ( ) A.两车若在t=5 s时相遇,则另一次相遇的时刻是t=10 sB.两车若在t=5 s时相遇,则t=0时两车相距15 mC.两车若在t=10 s时相遇,则另一次相遇的时刻是t=20 sD.两车若在t=10 s时相遇,则相遇前两车的间距是逐渐减小的
答案 BD 根据v-t图线与时间轴所围的面积表示位移可知,5 s时和15 s时两车的距离相等,因 此,两车若在t=5 s时相遇,则另一次相遇的时刻是t=15 s,故A错误。两车若在t=5 s时相遇,因为0 ~ 5 s内两车相向运动,所以t=0时两车距离s等于0~ 5 s内两车位移大小之和,s=2×5 m+ m=15 m,故B正确。两车若在t=10 s时相遇,因为10~20 s内乙车的位移大于甲车的位移,所以t=20 s 时两车没有相遇,故C错误。两车若在t=10 s时相遇,0时刻甲车在乙车后面20 m,在0~5 s内两车 相向运动,两车的间距逐渐减小。在5~10 s内,两车同向运动,甲车在乙车的后方,且甲车的速度 比乙车的大,所以相遇前两车的间距是逐渐减小的,故D正确。
9.(2017十二区县二模)(多选)把一小物块轻轻放在一水平匀速运动的传送带一端,物块运动到 传送带另一端,其图像如图所示,图中所标的时间和速度以及重力加速度均为已知,下列说法正 确的是 ( ) A.物块先受滑动摩擦力作用,后受静摩擦力作用B.由图中的数据可求出传送带的长度C.由图中的数据可求出因摩擦产生的热量D.由图中的数据可求出物块与传送带间的动摩擦因数
答案 BD 小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上,物块相对于传送带向后滑动,受到向 前的滑动摩擦力。 当小物块与传送带共速时不再受摩擦力,小物块由于惯性继续匀速运动,故 A错误;传送带的长度等于0~ t2时间内小物块的位移大小,v-t图线与时间轴所围的面积表示位 移,由图可以求出传送带的长度为L= v0,故B正确;因摩擦产生的热量Q=fΔx,Δx是匀加速过程中传送带与物块间的相对位移,由图像可求得Δx= ,0~t1时间内,小物块的加速度为a= ,根据牛顿第二定律得μmg=ma,得μ= ,所以可以求出物块与传送带间的动摩擦因数。由于小物块的质量m未知,所以不能求出因摩擦产生的热量Q,故C错误,D正确。
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
(2019原创冲刺卷七,24)大型飞机落地时为了迅速减速可采取的措施中有三种最常用。第一 种是打开减速板:打开减速板后,一方面增加空气阻力,起减速作用,同时也可减小机翼的升力, 增加机轮对地面的压力,从而增加机轮对地面的摩擦力,缩短滑跑距离;第二种是开动涡轮风扇 发动机推力反向器:作用在机翼上的力无法让飞机在很短的时间内停下来,这时候就需要一个 更有效的减速装置——推力反向器,反推在飞机着陆之后放出,将发动机产生的80%的向后推 力转而向前,以达到快速减速目的;第三种是机轮刹车:放出反推的同时,飞机还会利用机轮的 刹车进行减速,也是我们通常意义的刹车。现在飞机以v0的初速度落地,同时以第一种打开减 速板方式减速,此时飞机的平均加速度大小为a1,当飞机速度减小了 时,开始采用第二种措施,第一种措施仍然起作用,这时飞机平均加速度大小为 a1,当滑行距离与第一减速阶段位移大小相等时,三种措施同时发挥作用,此时飞机所受平均阻力为第一阶段阻力的 。求飞机从落地到停止运动的总位移大小和减速第二阶段所用时间。
答案 v0
解析 当只以第一种方式即打开减速板方式减速时,飞机速度由v0减速至 ,设第一阶段所用时间为t1,运动位移为x1根据v2- =2ax1得x1= 当第二种措施和第一种措施共同起作用时,本阶段位移x2=x1,设该阶段所用时间为t2,末速度为v 2,加速度大小为a2x2=x1= - =-2a2x2飞机第二阶段的末速度为v2= v0t2= = v0当三种措施同时发挥作用时,设加速度大小为a3,此阶段飞机减速为零所用时间为t3,位移大小 为x3,根据牛顿第二定律得:
f3=ma3= f1= ma1所以a3= a1则0- =-2a3x3解得x3= 运动的总位移x=x1+x2+x3= + + =
考点一 匀变速直线运动规律
统一命题、省（区、市）卷题组
1.(2019课标Ⅰ,18,6分)如图,篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮,离地后重心上升的最大高 度为H。上升第一个 所用的时间为t1,第四个 所用的时间为t2。不计空气阻力,则 满足 ( ) A.1< <2 B.2< <3C.3< <4 D.4< <5
答案 C 本题考查了匀变速直线运动中通过连续相邻相等位移所用时间的关系和考生的逻 辑推理能力,体现了科学思维素养中模型建构、科学论证要素。运动员离地后做竖直上抛运动,则可以按其逆过程——自由落体运动计算,将H分为相等的4 段,通过各段所用时间由上至下分别为T1、T2、T3、T4,则满足T1∶T2∶T3∶T4=1∶( -1)∶( - )∶(2- ),则 = =2+ ,则3< <4,故只有C正确。
关联知识 初速度为0的匀加速直线运动在连续相等时间内位移比为x1∶x2∶x3∶…∶xN=1∶ 3∶5∶…∶(2N-1);通过前x、前2x、前3x、…、前nx位移所用时间比值为t1∶t2∶t3∶…∶tn= 1∶ ∶ ∶…∶ 。
2.(2016课标Ⅲ,16,6分)一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动,在时间间隔t内位移为s,动能 变为原来的9倍。该质点的加速度为 ( )A. B. C. D.
答案 A 动能变为原来的9倍,速度变为原来的3倍,a= ,s= ·t,解得a= ,A正确。
考查点 匀变速直线运动规律的应用。
一题多解 解法二 ⇒a= 解法三 ⇒a=
3.(2007北京理综,18,6分)图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片。该照片经放 大后分析出,在曝光时间内,子弹影像前后错开的距离约为子弹长度的1%~2%。已知子弹飞行 速度约为500 m/s,由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近 ( ) A.10-3 s B.10-6 sC.10-9 s D.10-12 s
答案 B 子弹的长度约为5 cm,在曝光时间内子弹移动的距离为s=5×1% cm=0.05 cm=5×10-4 m,则曝光时间t= = s=10-6 s
4.(2007北京理综,20,6分)在真空中的光滑水平绝缘面上有一带电小滑块。开始时滑块静止。 若在滑块所在空间加一水平匀强电场E1,持续一段时间后立即换成与E1相反方向的匀强电场E2。当电场E2与电场E1持续时间相同时,滑块恰好回到初始位置,且具有动能Ek。在上述过程中, E1对滑块的电场力做功为W1,冲量大小为I1;E2对滑块的电场力做功为W2,冲量大小为I2。则 ( )A.I1=I2 B.4I1=I2C.W1=0.25Ek,W2=0.75Ek D.W1=0.20Ek,W2=0.80Ek
答案 C 设E1作用的时间为t,在这段时间内发生的位移大小为x。由x= · t2和 -x= t·t- · t2 可得:E2=3E1所以: = = 。A、B均错。由W1+W2=Ek和 = = 可得:W1=0.25Ek,W2=0.75Ek。故选C。
A组 自主命题·天津卷题组
考点二 运动图像 追及相遇问题
1.(2014天津理综,1,6分)质点做直线运动的速度-时间图像如图所示,该质点 ( ) A.在第1秒末速度方向发生了改变B.在第2秒末加速度方向发生了改变C.在前2秒内发生的位移为零D.第3秒末和第5秒末的位置相同
答案 D 由题图可知0~2 s内,速度为正,运动方向未改变,2 s末时,位移最大,v-t图线斜率表示 加速度,1~3 s图线斜率未改变,故第2 s末加速度方向没有变化,A、B、C错误;由v-t图线与时间 轴所围面积表示位移知,第3 s末和第5 s末质点位置相同,D正确。
2.(2018课标Ⅱ,19,6分)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度-时间图像分 别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是 ( ) A.两车在t1时刻也并排行驶B.在t1时刻甲车在后,乙车在前C.甲车的加速度大小先增大后减小D.乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD 本题考查对v-t图线的理解、追及和相遇问题。v-t图线与时间轴包围的面积表示 车运动的位移,t2时刻两车并排行驶,故t1时刻甲车在后,乙车在前,所以A错,B对。v-t图线上各点 切线的斜率表示瞬时加速度,由此可知,C错,D对。
3.(2018课标Ⅲ,18,6分)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙 做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是 ( ) A.在t1时刻两车速度相等B.从0到t1时间内,两车走过的路程相等C.从t1到t2时间内,两车走过的路程相等D.在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等
答案 CD 本题考查x-t图像的应用。在x-t图像中,图线的斜率表示物体运动的速度,在t1时刻, 两图线的斜率关系为k乙>k甲,两车速度不相等;在t1到t2时间内,存在某一时刻甲图线的切线与乙 图线平行,如图所示,该时刻两车速度相等,选项A错误、D正确。从0到t1时间内,乙车走过的路 程为x1,甲车走过的路程小于x1,选项B错误。从t1到t2时间内,两车走过的路程都为x2-x1,选项C正 确。
4.(2016课标Ⅰ,21,6分)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图像如图所示。已知两 车在t=3 s时并排行驶,则 ( ) A.在t=1 s时,甲车在乙车后B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 mC.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 sD.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD 由题中v-t图像得a甲=10 m/s2,a乙=5 m/s2,两车在t=3 s时并排行驶,此时x甲= a甲t2= ×10×32 m=45 m,x乙=v0t+ a乙t2=10×3 m+ ×5×32 m=52.5 m,所以t=0时甲车在前,与乙车的距离为L=x乙-x甲=7.5 m,B项正确。t=1 s时,x甲'= a甲t'2=5 m,x乙'=v0t'+ a乙t'2=12.5 m,此时x乙'=x甲'+L=12.5 m,所以另一次并排行驶的时刻为t=1 s,故A、C项错误;两次并排行驶的位置沿公路方向相距L‘=x 乙-x乙’=40 m,故D项正确。
5.(2013课标Ⅰ,14,6分,0.787)图是伽利略1604年做斜面实验时的一页手稿照片,照片左上角的三 列数据如下表。表中第二列是时间,第三列是物体沿斜面运动的距离,第一列是伽利略在分析 实验数据时添加的。根据表中的数据,伽利略可以得出的结论是 ( )
A.物体具有惯性B.斜面倾角一定时,加速度与质量无关C.物体运动的距离与时间的平方成正比D.物体运动的加速度与重力加速度成正比
答案 C 由图表可知,图表中的物理量未涉及物体的惯性、质量以及加速度与重力加速度 的关系,所以A、B、D错误,由表中数据可以看出,在前1秒、前2秒、前3秒……内位移与时间 的平方成正比,所以C正确。
考查点 初速度为零的匀变速直线运动的基本规律。
知识拓展 伽利略做了一个6 cm多长、3 m多宽的光滑直木板槽,再把这个木板槽倾斜固定, 让小球从木板槽顶端沿斜面由静止滑下,并用水钟测量小球下滑的时间,研究运动路程和时间 的关系。亚里士多德曾预言小球下滑的速度是不变的。伽利略却证明小球运动的路程和时 间的平方成正比。
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
1.(2019宝坻联考)以20 m/s的速度行驶的汽车,制动后以5 m/s2的加速度做匀减速直线运动。则 汽车在制动后的5 s内的位移是 ( )A.45 m B.37.5 m C.50 m D.40 m
答案 D 汽车刹车时间为t0= = s=4 s<5 s,所以汽车制动后5 s内的位移等于4 s内的位移,利用平均速度计算,即x= t0= ×4 m=40 m,故D正确。
易错警示 汽车制动问题首先要判断汽车刹车时间,再根据运动学规律进行计算。
(2018河北一模)如图所示,在倾角θ=30°的足够长光滑斜面上,一质量为2 kg的小球自与斜面底 端P点相距0.5 m处,以4 m/s的初速度沿光滑斜面向上运动。在返回P点之前,若小球与P点之间 的距离为d,重力加速度g取10 m/s2。则d与t的关系式为 ( )A.d=4t+2.5t2 B.d=4t-+4t+2.5t2 D.d=0.5+4t-2.5t2
答案 D 以沿斜面向上为正方向,据牛顿第二定律可求小球在光滑斜面上的加速度为:a=-g sin 30°=-5 m/s2。据运动学公式得:x=4t-2.5t2。据小球位移与d的关系可知:d=0.5+4t-2.5t2, 故A、B、C均错误,D正确。
3.(2019七校联考)核潜艇是战略核威慑手段之一,我国自主研制的“094A”核潜艇在世界上 处于比较领先的地位。如图所示,在某次实战训练中潜艇遇到情况需要紧急下潜,假设在某段 时间内潜艇的运动可视为匀减速下潜。若在这段时间内5 s末的速度比2 s末的速度小3 m/s,则 “094A”潜艇在该段时间内的加速度大小为 ( ) A.1 m/s2 B.1.5 m/s2 C.2 m/s2 D.3 m/s2
答案 A 5 s末与2 s末之间的时间间隔为3 s,速度变化量为-3 m/s,a= =-1 m/s2,即“094A”潜艇在该段时间的加速度大小为1 m/s2,A正确。
4.(2019耀华中学月考)一个物体做末速度为零的匀减速直线运动,比较该物体在减速运动的倒 数第3 m、倒数第2 m、倒数第1 m内的运动,下列说法中正确的是 ( )A.经历的时间之比是1∶2∶3B.平均速度之比是3∶2∶1C.平均速度之比是1∶( -1)∶( - )D.平均速度之比是( + )∶( +1)∶1
答案 D 初速度为零的匀加速直线运动中,相邻相等位移所用时间之比为1∶( -1)∶( - )∶…∶( - ),将末速度为零的匀减速直线运动看成反向的匀加速直线运动,所以通过倒数第3 m、倒数第2 m、倒数第1 m内的时间之比为( - )∶( -1)∶1,故A错误;平均速度 = ,位移都一样,即平均速度之比为 ∶ ∶ ,化简为( + )∶( +1)∶1,故D正确,B、C错误。
5.(2017滨海七校联考)一物体自t=0时开始做直线运动。其速度-时间图像如图所示,下列说法 正确的是 ( ) A.t=6 s时刻,物体离出发点最远B.前5 s内,物体的平均速度为7 m/sC.4~6 s物体的加速度大小不变,但方向改变D.在5~6 s内,物体所受的合外力做负功
考点二 运动图像 追及相遇问题
答案 B 在0~5 s,物体向正方向运动,5~6 s向负方向运动。故5 s末离出发点最远,故A错误; 根据速度-时间图像的面积大小等于位移大小,得前5 s内物体的位移x= ×10 m=35 m,平均速度为 = = m/s=7 m/s,故B正确;根据图像的斜率表示加速度,知4~6 s物体的加速度不变,即加速度大小不变,方向也不变,故C错误;在5~6 s内,物体的速度增大,动能增加,由动能定理知 物体所受的合外力做正功,故D错误。
6.(2018十二区县一模)(多选)甲、乙两辆玩具小汽车同时同地沿同一条平直路面并排行驶,速 度-时间图像如图所示,下列说法正确的是 ( ) A.甲车在0到4 s内的平均速度大小为4.5 m/sB.甲车启动的加速度大小为1 m/s2C.2 s末乙车位于甲车前方4 m处D.6 s时两车停在同一位置
答案 AC 由图可知,4 s内甲车的位移x= ×6 m=18 m,故甲车在0到4 s内的平均速度大小为 = = m/s=4.5 m/s,故A正确;图像的斜率表示加速度,故甲车启动的加速度大小为a= = m/s2=3 m/s2,故B错误;由图可知,2 s末两车的距离x'= ×2 m- m=4 m,由于乙车位移大于甲车位移,故2 s时乙车位于甲车前方4 m处,故C正确;由图可知,6 s时两车的位移并不相同,甲 车的位移大于乙车的位移,故两车并不停在同一位置,故D错误。
7.(2017南开三模)甲、乙两辆汽车在同一水平直道上运动,其运动的x-t图像如图所示,则下列 关于两车运动情况说法正确的是( ) A.甲车先做匀减速直线运动,后做匀速直线运动B.乙车在0~10 s内的平均速度大小大于0.8 m/sC.在0~10 s内,甲车的位移小于乙车的位移D.若乙车做匀变速直线运动,则图线上P点所对应的瞬时速度大小一定大于0.8 m/s
答案 D x-t图像的斜率表示速度,根据图像可知,甲车先做匀速直线运动,后静止,故A错误;乙 车在0~10 s内的位移x=0-8 m=-8 m,则平均速度 = = m/s=-0.8 m/s,所以乙车在0~10 s内的平均速度大小等于0.8 m/s,故B错误;由图可知,甲车的位移为2 m-10 m=-8 m,乙车的位移为0-8 m=-8 m,大小相等,故C错误;若乙车做匀变速直线运动,则乙车做匀加速直线运动,中间时刻的 瞬时速度等于平均速度,所以5 s末的速度等于0.8 m/s,所以P点速度一定大于0.8 m/s,故D正 确。
时间:30分钟 分值:54分选择题(每小题6分,共54分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
1.(2017河西二模)a、b两物体从同一位置沿同一直线运动,它们的速度-时间图像如图所示,下 列说法正确的是 ( ) A.a、b加速时,物体a的加速度等于物体b的加速度B.40 s时,a、b两物体相距最远C.60 s时,物体a追上物体bD.40 s时,a、b两物体速度相等,相距50 m
答案 B a、b加速时,a图线的斜率小于b图线的斜率,则物体a的加速度小于物体b的加速度, 故A错误;速度-时间图线与时间轴围成的面积表示物体通过的位移,由图可知,前40 s内两图线 所围面积之差最大,故40 s时相距最远,故B正确;由图可知,前60 s内,a的位移比b的位移大,两个 物体又是从同一位置沿同一直线运动的,所以60 s时物体a在前方,故C错误;由图可知,40 s 时,a、b两物体速度相等,两者前40 s内位移之差Δs= ×20 m+ m=900 m,故D错误。
2.(2017河东一模)某物体以一定的初速度沿足够长的斜面从底端向上滑去,此后该物体的运动 图像不可能的是(图中x是位移、v是速度、t是时间) ( )
答案 D 物体可能先斜向上做匀减速直线运动,后斜向下做匀加速直线运动,根据x=v0t+ at2得知,位移是时间的二次函数,图线是曲线,A可能正确。物体可能先向上做匀减速直线运动,后 停在斜面上,故B、C可能正确;选项D中,物体返回时加速度大于出发时加速度,不符合物体的 运动情况,不可能正确。故选D。
3.(2018南开三模)(多选)在某次军事演习中,空降兵从悬停在高空中的直升机上跳下,当下落到 距离地面适当高度时打开降落伞,最终安全到达地面。空降兵从跳离飞机到安全到达地面的 过程中,在竖直方向上运动的v-t图像如图所示,则以下判断中正确的是 ( ) A.空降兵在0~t1时间内做自由落体运动B.空降兵在t1~t2时间内的加速度方向竖直向上,大小在逐渐减小C.空降兵在0~t2时间内的平均速度 = v2D.空降兵在t1~t2时间内的平均速度 < (v1+v2)
答案 BD 图像在0~t1时间内斜率越来越小,故加速度不恒定,空降兵不做自由落体运动,故A 错误;由图像可知,空降兵在t1~t2时间内的加速度方向竖直向上,大小在逐渐减小,故B正确;因空 降兵不是做匀变速直线运动,故空降兵在0~t1时间内的平均速度不等于 ,故C错误;若物体做匀减速直线运动,t1~t2时间内的平均速度为 '= ;而由题图可知,图像与横坐标轴围成的面积小于匀变速直线运动时的面积,故空降兵在t1~t2时间内的平均速度 < ,故D正确。
4.(2018五区县二模)平直公路上有甲、乙两车,t=0时刻从同一位置同向运动,它们运动的v-t图 像如图所示。下列说法正确的是( ) A.t1时刻甲、乙两车相距最远B.t2时刻,两车的加速度相同C.0~t2时间内,乙车的速度先减小后变大D.0~t2时间内,乙车平均速度大于
答案 C 当速度相同时,两者相距最远,故在t2时刻甲、乙两车相距最远,故A错误;在v-t图像 中,斜率表示加速度,t2时刻,斜率不同,故两车的加速度不相同,故B错误;由图可知,0~t2时间内,乙 车的速度先减小后变大,故C正确;在v-t图线中,图像与时间轴所围面积为物体运动的位移,相同 时间内甲的位移大,故甲的平均速度大于乙的平均速度,甲做匀变速运动,甲的平均速度为 ,故乙的平均速度小于 ,故D错误。
5.(2018河东二模)如图所示是利用DIS测得的运动小车的v-t图像,由图可知 ( )A.小车做曲线运动B.小车的最大位移是0.8 mC.小车运动的最大速度约为0.8 m/sD.小车先做匀加速运动,后做匀减速运动
答案 C v-t图像只能描述直线运动,故小车做直线运动,故A错误;图像中曲线与t轴所围的面 积表示小车的最大位移,图中每一小格表示0.1 m,面积超过方格一半的算一个,不足半格舍去, 总共有84格,所以小车的最大位移为8.4 m,故B错误;由图像读出速度的最大值约为0.8 m/s,故C 正确;图线的斜率一直在变化,说明小车的加速度一直在变化,所以小车做的不是匀变速运动, 故D错误。
6.(2018南开一模)某运动员(可看作质点)参加跳水比赛,t=0时运动员向上起跳离开跳台,其竖 直方向速度与时间关系图像如图所示,若vm、t1、t2、t3已知,不计空气阻力,则下列说法错误的 是 ( ) A.可以求出水池的深度B.可以求出跳台距离水面的高度C.0~t2时间内,运动员处于失重状态D.t2~t3时间内,运动员处于超重状态
答案 A 结合生活常识及v-t图像可知:t1时刻跳水运动员到达最高点,t2时刻跳水运动员到达 水面。v-t图像不能反映跳水运动员是否到达池底,所以不能求出水的深度,故A错误;根据v-t图 像中图线与横坐标轴围成的面积表示位移,可以求出跳台距离水面的高度,B正确;0时刻时运 动员向上起跳,说明速度的负值表示方向向上,则知0~ t1时间内在向上做匀减速运动,t1~ t2时间 内向下做匀加速直线运动,0~ t2时间内,跳水运动员一直在空中,具有向下的加速度,处于失重 状态,故C正确;由图可知,t2~ t3时间内,运动员向下做减速运动,则加速度的方向向上,处于超重 状态,故D正确。本题选择错误的,故选A。
7.(2019南开一模)A、B两物体运动的v-t图像如图所示,由图像可知 ( ) A.A、B两物体运动方向始终相同B.A、B两物体的加速度在前4 s内大小相等、方向相反C.A、B两物体在前4 s内不可能相遇D.A、B两物体若在6 s时相遇,则计时开始时二者相距30 m
答案 D A物体先向负方向做减速运动,然后再向正方向做加速运动,B物体一直向正方向做 加速运动,故选项A错误; v-t图线的斜率表示加速度,则A、B两物体的加速度在前4 s内大小相 等、方向相同,选项B错误;前4 s内两物体运动方向相反,因起始位置不确定,则A、B两物体在 前4 s内可能相遇,选项C错误;A、B两物体若在6 s时相遇,则计时开始时二者相距 ×6×7.5 m+ m=30 m,选项D正确。
8.(2019河西二模)(多选)甲、乙两辆遥控小汽车在两条相邻的平直轨道上做直线运动,以甲车 运动方向为正方向,两车运动的v-t图像如图所示。下列说法正确的是 ( ) A.两车若在t=5 s时相遇,则另一次相遇的时刻是t=10 sB.两车若在t=5 s时相遇,则t=0时两车相距15 mC.两车若在t=10 s时相遇,则另一次相遇的时刻是t=20 sD.两车若在t=10 s时相遇,则相遇前两车的间距是逐渐减小的
答案 BD 根据v-t图线与时间轴所围的面积表示位移可知,5 s时和15 s时两车的距离相等,因 此,两车若在t=5 s时相遇,则另一次相遇的时刻是t=15 s,故A错误。两车若在t=5 s时相遇,因为0 ~ 5 s内两车相向运动,所以t=0时两车距离s等于0~ 5 s内两车位移大小之和,s=2×5 m+ m=15 m,故B正确。两车若在t=10 s时相遇,因为10~20 s内乙车的位移大于甲车的位移,所以t=20 s 时两车没有相遇,故C错误。两车若在t=10 s时相遇,0时刻甲车在乙车后面20 m,在0~5 s内两车 相向运动,两车的间距逐渐减小。在5~10 s内,两车同向运动,甲车在乙车的后方,且甲车的速度 比乙车的大,所以相遇前两车的间距是逐渐减小的,故D正确。
9.(2017十二区县二模)(多选)把一小物块轻轻放在一水平匀速运动的传送带一端,物块运动到 传送带另一端,其图像如图所示,图中所标的时间和速度以及重力加速度均为已知,下列说法正 确的是 ( ) A.物块先受滑动摩擦力作用,后受静摩擦力作用B.由图中的数据可求出传送带的长度C.由图中的数据可求出因摩擦产生的热量D.由图中的数据可求出物块与传送带间的动摩擦因数
答案 BD 小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上,物块相对于传送带向后滑动,受到向 前的滑动摩擦力。 当小物块与传送带共速时不再受摩擦力,小物块由于惯性继续匀速运动,故 A错误;传送带的长度等于0~ t2时间内小物块的位移大小,v-t图线与时间轴所围的面积表示位 移,由图可以求出传送带的长度为L= v0,故B正确;因摩擦产生的热量Q=fΔx,Δx是匀加速过程中传送带与物块间的相对位移,由图像可求得Δx= ,0~t1时间内,小物块的加速度为a= ,根据牛顿第二定律得μmg=ma,得μ= ,所以可以求出物块与传送带间的动摩擦因数。由于小物块的质量m未知,所以不能求出因摩擦产生的热量Q,故C错误,D正确。
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
(2019原创冲刺卷七,24)大型飞机落地时为了迅速减速可采取的措施中有三种最常用。第一 种是打开减速板:打开减速板后,一方面增加空气阻力,起减速作用,同时也可减小机翼的升力, 增加机轮对地面的压力,从而增加机轮对地面的摩擦力,缩短滑跑距离;第二种是开动涡轮风扇 发动机推力反向器:作用在机翼上的力无法让飞机在很短的时间内停下来,这时候就需要一个 更有效的减速装置——推力反向器,反推在飞机着陆之后放出,将发动机产生的80%的向后推 力转而向前,以达到快速减速目的;第三种是机轮刹车:放出反推的同时,飞机还会利用机轮的 刹车进行减速,也是我们通常意义的刹车。现在飞机以v0的初速度落地,同时以第一种打开减 速板方式减速,此时飞机的平均加速度大小为a1,当飞机速度减小了 时,开始采用第二种措施,第一种措施仍然起作用,这时飞机平均加速度大小为 a1,当滑行距离与第一减速阶段位移大小相等时,三种措施同时发挥作用,此时飞机所受平均阻力为第一阶段阻力的 。求飞机从落地到停止运动的总位移大小和减速第二阶段所用时间。
答案 v0
解析 当只以第一种方式即打开减速板方式减速时,飞机速度由v0减速至 ,设第一阶段所用时间为t1,运动位移为x1根据v2- =2ax1得x1= 当第二种措施和第一种措施共同起作用时,本阶段位移x2=x1,设该阶段所用时间为t2,末速度为v 2,加速度大小为a2x2=x1= - =-2a2x2飞机第二阶段的末速度为v2= v0t2= = v0当三种措施同时发挥作用时,设加速度大小为a3,此阶段飞机减速为零所用时间为t3,位移大小 为x3,根据牛顿第二定律得:
f3=ma3= f1= ma1所以a3= a1则0- =-2a3x3解得x3= 运动的总位移x=x1+x2+x3= + + =
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