2023年广东省广州重点学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省广州重点学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点若，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.  某工地派人去挖土和运土如果平均每人每天挖土或运土，那么怎样分配挖土和运土的人数，才能刚好被运完？设挖土的有人，运土的有人，则可得方程组(    )

A.  B.  C.  D.

4.  初三班拍合照时，最后一排位同学的身高单位：分别为，，，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度单位：分别为，，对比两组数据，下列统计量中不发生变化的是．(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

5.  若商品的买入价为，售出价为，则毛利率，已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  图是变量与变量的函数关系的图象，图是变量与变量的函数关系的图象，则与的函数关系的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在中，和都是锐角，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知二次函数过点，，三点记，，下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

10.  如图，为的直径，点为半圆上一点且，点、分别为、的中点，弦分别交，于点、若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：______．

12.  已知、两家网站用户日人均上网时间分别为和，平均每天的上网用户人数分别为和则这两家网站所有用户的日人均上网时间为______ ．

13.  根据下表估计的平方根是______ 精确到．

14.  在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______ ．

15.  在平面直角坐标系中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为______ 用“”表示

16.  如图，将▱绕点逆时针旋转到▱的位置，使点落在上，与交于点若，，，则的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，点，分别在线段，上，，，求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供，，三种午餐供师生选择，单价分别是元，元，元．为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图如图．

请你根据以上信息，解答下列问题：
该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率．
经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过元，否则应调低午餐的单价．
请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少元只能整数元，为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？

21.  本小题分
在解放军的某次台海演练中，红军无人机执行侦察任务时，在点正上方的点处发现俯角为的下方山坡上有蓝军指挥部所在的山洞，无人机发射空对地导弹予以摧毁，空对地导弹以倍音速沿直线飞向目标同时，位于点的蓝军防空雷达也发现了潜入的无人机位于点仰角方向，点距离地面，在同一竖直平面内，若蓝军收到雷达信息到完全关闭防爆大门需要，则指挥部会被摧毁吗？结果保留一位小数参考数据：，，，，，，音速为

22.  本小题分
如图，是矩形的对角线．
求作，使得与相切要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，设与相切于点，，垂足为若直线与相切于点，求的值．
 

23.  本小题分
如图，在矩形中，，，是上的一个动点不与，重合，过点的反比例函数的图象与边交于点．
当为的中点时，求该反比例函数的解析式和点的坐标．
设过中的直线的解析式为，直接写出不等式的解集．
当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点．
将沿轴正方向平移动个单位得到，当抛物线与有且仅有一个公共点时，求的取值；
当时，抛物线恒在直线的上方，求的取值范围；
将此抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域包括边界记为，在内的整点横、纵坐标都是整数的点是否存在有且只有个？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
【问题情境】如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，若，，则的长度是______ ；
【类比探究】如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且：：，连接、判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
【拓展提升】如图，在的条件下，连接，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由能得出，
，
故选：．
根据不等式的性质得出答案即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
，
，
，
故选：．
由，知，由知，结合，得，继而可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据总人数为，可以得到方程，再根据挖土和运土一样多，可以得到方程，然后即可列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

4.【答案】 

【解析】解：最后一排位同学的身高单位：分别为，，，，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度单位：分别为，，，相当于一组数都加上同一个不等于的常数后，所以方差不变，平均数，中位数，众数改变，
故选：．
根据平均数和方差的特点，结合题意：他们站到一排高度相等的桌子上，相当于一组数都加上同一个不等于的常数后，方差不变，平均数，中位数，众数改变，即可得出答案．
本题考查了方差和平均数，中位数，众数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，掌握平均数、中位数，众数、方差的特点是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，为已知量，
，
即，
，
故选：．
根据等式的性质解答即可．
本题考查等式的性质，关键是把等式变形．
 

6.【答案】 

【解析】解：沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，
，，
，
四边形是菱形，
连接交于，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积．
故选：．
根据折叠性质得到，，推出四边形是菱形，连接交于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图可设为常数，且，，由图可设为常数，，
将代入得：，
与的函数关系为一次函数关系，
，，，
，，
与的函数图象过一、二、四象限．
故选：．
由图可设为常数，且，，由图可设为常数，，将代入得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．
本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
则，
，，，，
，，
，
故选：．
过点作于，则，，，，于是，得到答案．
本题考查了解直角三角形，合理添加辅助线构造直角三角形，熟练运用三角函数的定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数过点，，三点，
，，，
，
，
，
若，则，
或，
故A错误，不符合题意；
若，则，
，
故B错误，不符合题意；
若，则，
，故C正确，符合题意；
若，则，即，
故D错误，不符合题意；
故选：．
由二次函数过点，，三点，可得，，即得，再逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是用含的代数式表示．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接、交、于点、，
点、分别为、的中点，
垂直平分，垂直平分，
又为的直径，，
，
，
、都是等腰直角三角形，
在中，由，
设，则，由勾股定理可得，
又，，，
，，
，，
在、中，，，
，
在中，，
，
解得，
，
故选：．
由于点、分别为、的中点，根据垂径定理可得垂直平分，垂直平分，再由直径所对的圆周角是直角得出、、都是等腰直角三角形，根据，设未知数，表示，，最后根据直角三角形的边角关系列方程求解即可．
本题考查圆周角定理及推论，直角三角形的边角关系以及解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，设未知数，表示三角形的边长是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得：
这两家网站所有用户的日人均上网时间为：，
故答案为：．
用总上网时间除以总人数即可列出式子．
本题考查了列代数式，解题的关键是掌握平均数的求法．
 

13.【答案】 

【解析】解：由表格数据可得与最接近的数字为，
则其算术平方根为，
那么的平方根约为，
故答案为：．
根据表格中数据，找到与最接近的数字，然后根据平方根定义即可求得答案．
本题考查平方根的定义及近似数，由表格数据找到与最接近的数是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：联立两个函数表达式得：，即，
则，
点在直线上，则，
故，
故答案为：．
联立两个函数表达式得：，即，则，故，即可求解．
本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，利用根与系数的关系是本题解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，，，
点到对称轴的距离最大，到对称轴距离最短，
，
故答案为：．
求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离的大小判断即可．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点．

由旋转可知，，，
，
，，
，
，
，
，则，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，
，
，
又，
，
，
∽，
，
，，
，，
，解得．
，，
．
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，由勾股定理可得，，由等面积法可得，，由勾股定理可得，，由题可得，∽，∽，则，，设，则，，则，解得最后由勾股定理可得，．
本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定等，构造正确的辅助线是解题关键．
 

17.【答案】解：原方程化为：
，
两边同乘，得：
，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是原方程的解． 

【解析】根据解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
题考查了分式方程的解，掌握解分式方程的步骤，首先对原方程进行变形，把分母化为相同的是解题关键．
 

18.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
，
即． 

【解析】利用可判定≌，从而有，即可求得．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是对全等三角形的判定定理的掌握与运用．
 

19.【答案】解：原式

，
，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算法则将式子化简，再根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，以及特殊角的三角函数值算出，最后将的值代入即可求解．
本题主要考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，能够正确根据分式的运算法则进行化简是解题关键．
 

20.【答案】元 

【解析】解：全校总人数为人，
将午餐价格按从小到大的顺序排列，可得中位数为元．
故答案为：元．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选择“”组合的结果有种，
小芳选择“”组合的概率为．
根据条形统计图可知，种午餐每份的利润为元，种午餐每份的利润为元，种午餐每份的利润为元，
平均每份午餐的利润为元，
，
需要调低午餐的单价．
若降低种午餐的单价元，
则平均每份午餐的利润为元；
若降低种午餐的单价元，
则平均每份午餐的利润为元；
若降低种午餐的单价元，
则平均每份午餐的利润为元，
应该应该调低种午餐的单价．
，，种午餐的单价调的越低，利润就越低，
单价降低元，平均每份午餐的利润不超过但更接近元，
应把种午餐的单价调整为元．
由统计表可得全校总人数为人，根据中位数的定义，将午餐价格按从小到大的顺序排列，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数和小芳选择“”组合的结果数，再利用概率公式可得出答案．
根据条形统计图可得种、种、种午餐每份的利润，再求出平均每份午餐的利润，与元作比较即可得出结论．
，，种午餐的单价调的越低，利润就越低，故分别算出单价降低元时，，，种午餐平均每份的利润，即可得出结论．
本题考查条形统计图、中位数、列表法与树状图法，能够读懂题意，掌握中位数的定义、列表法与树状图法以及概率公式等知识是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：指挥部会被推毁，
理由：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

由题意得：，
在中，，，
，
，
在中，，
，
空对地导弹到达点处需要的时间，
，
指挥部会被推毁． 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出空对地导弹到达点处需要的时间，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意作图如下：

设，的半径为，

与相切于点，与相切于点，
，，
即，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
在和中，，，
，
在中，，
，
四边形是矩形，
，，
，
又，
≌，
，
，
在中，，
即，
，
即，
，
，
即的值为． 

【解析】本题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性质，锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
以为圆心长为半径画弧交与，作的垂直平分线，交与，以为圆心为半径画圆即为所求；
设，的半径为，证四边形是正方形，根据证≌，得出，，根据等量关系列出关系式求出的值即可．
 

23.【答案】解：
四边形为矩形，，，
，，
为的中点，
点坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为，
点在上，
点纵坐标为，
在中，令，可求，
点坐标为；
不等式的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，
由可知点、两点的横坐标分别为、，
不等式的解集为：或；
由题意可知点的纵坐标为为，点的横坐标为，且、在反比例函数的图象上，
可设，，
，，
，
，
，
是关于的开口向下的抛物线，
当时，有最大值，最大值为，
即当的值为时，的面积最大，最大面积为． 

【解析】由条件可求得点坐标为，代入函数解析式可求得，可求得反比例函数解析式，再令代入可求得的值，可求得点坐标；
由的条件中、的坐标，结合函数图象可求得答案；
可用分别表示出点、的坐标，从而可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．
本题为反比例函数综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、函数与不等式、反比例函数图象上的点的坐标特征、二次函数的最值及数形结合思想等知识点．在中求得、点的坐标是解题的关键，在中注意数形结合，在中用表示出的面积是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度适中．
 

24.【答案】解：，
抛物线顶点坐标为，
由题意可得：当抛物线与有且仅有一个公共点时，即过顶点，
应沿轴正方向平移个单位，
；
由题意可得：当时，恒成立，
即当时，恒成立，
当时，且当时，，
即，
由得，由得，
；
由得，抛物线顶点坐标为，
令，得或，
设，，
此抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内包括边界有且只有个整点横、纵坐标都是整数的点，且顶点坐标为，
，，
解得． 

【解析】将抛物线解析式化作顶点式可得出顶点坐标，由题可知，当抛物线与有且仅有一个公共点时，即过顶点，可得解；
由题意可得：当时，恒成立，即当时，恒成立，由此得出关于的不等式组，解之即可；
根据可求出顶点坐标和、的坐标，再根据题意可列出关于的不等式组，求解即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确已知条件列出关于的不等式．
 

25.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
正方形，
，，
正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
故答案为：；
，理由如下：
延长、相交于点．

矩形、矩形，
，，
，
：：：，：：，
：：，
，
∽，
，，
；
矩形，
，
，，
，
，
；
作于，交的延长线于．

，
，
，
∽，
，
，
，
点在直线上运动，
作点关于直线的对称点，则：，
当，，三点共线时，的值最小，连接交于，此时的最小值为，
由知，，
，
，
的最小值就是的最小值．
，，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
通过证明≌全等，得到；
通过证明∽得到，，延长、相交于点可以证明；
作于，交的延长线于首先证明点的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值．
本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等，注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值是解题的关键．