2022-2023学年湖北省襄阳市保康县熊绎中学教联体八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市保康县熊绎中学教联体八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  以下列各组数据为边，不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列四个命题中，真命题是(    )

A. 两个角相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D. 有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形

5.  菱形具有而矩形不具有的性质是(    )

A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 四边相等 D. 四角相等

6.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，点在上，若，平分，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，以的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形的边长为，，，连结，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

12.  已知，是中边上的一点，，交于点，，交于点，连接请添加一个适当的条件        ，使四边形是矩形．

13.  如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于点，连接，则的长为______．

14.  化简： ______ ．

15.  在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于______．

16.  如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列结论：
；
四边形的周长为；
；
的最小值为，
其中结论正确的有：          填序号
 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．

四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算下列各题
；
 

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，平行四边形的对角线，相交于，过点的直线分别交，于，，连结，．
求证：四边形是平行四边形．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中：
尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交与点；不写作法，保留作图痕迹
连接并延长交的延长线于点，求证：．

22.  本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
求证：四边形是矩形；
若，，求和的长．
 

23.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．

求边的长；
当为直角三角形时，求的值；
当为等腰三角形时，求的值．

24.  本小题分
如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，连接，过作于，连接，．
若，求的度数；
当变化时，的大小会发生变化吗？请说明理由；
试用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

25.  本小题分
矩形在平面直角坐标系的位置如图所示，为上一点，将沿折叠，使点恰好落在与轴的交点处连接，若、的长满足．
求点，的坐标；
求点的坐标；
在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式为最简二次根式，符合题意．
故选：．
利用最简二次根式定义：分母中不含根号，根号中不含分母，被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判断方法是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
不能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，所以选项符合题意；
B.与不能合并，所以选项不符合题意；
C.与不能合并，所以选项不符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对、选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断．
本题考查了二次根式的加减法：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、一组对边平行且对角线相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意．
故选：．
分别利用平行四边形和矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据矩形、菱形的性质分别判断即可解决问题．
本题考查矩形的性质、菱形的性质．熟练掌握这些知识是解决问题的关键，属于基础题，中考常考题型．
【解答】
解：、矩形、菱形的对角都是相等的，故错误．
B、矩形、菱形的对角线都是互相平分的，故错误．
C、菱形的四边相等，矩形的四边不一定相等，故正确．
D、矩形的四角相等，菱形的四角不一定相等，菱形不具有这个性质，故错误．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：原式

，
故选：．
根据平方差公式和二次根式的性质计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
平分，
，，
，
，
．
故选：．
先根据等腰三角形三线合一的性质得，根据勾股定理计算的长即可．
本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，熟练掌握这些性质是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据菱形的性质以及，利用可得≌，可得，然后可得，继而可求得的度数．
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
，
，
，
，
故选：．
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积和等于大图形的面积．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，

，，，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
≌，
，，，
，，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，，
，
同理可得，
在中，，
故选：．
延长交于点，根据正方形的性质证明≌≌，可得、、，由勾股定理可得的长．
本题主要考查正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，解得，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：添加：，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
故答案为：．
根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
是直角三角形，
的垂直平分线分别交，于，，
，
设为，，
在中，，
即，
解得：．
即．
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用线段垂直平分线得出，进而利用勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的性质进行计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，．
 

15.【答案】或 

【解析】解：过作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
如图，，
平行四边形的面积，
如图，，
平行四边形的面积，
如图，过作于，
在中，设，则，
，，
在中，，
，
，不合题意舍去，
，
平行四边形的面积，
如图，当时，平行四边形的面积，
故答案为：或．
过作于，解直角三角形得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用，度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
证明是等腰直角三角形，则，即可判断；
根据可知四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断；
证明≌，则，根据矩形对角线相等得，即可判断；
当时，即时，的最小值等于，即可判断．
【解答】
解：连接，

是正方形的对角线，则，
而，则为等腰直角三角形，
，
，
，
四边形为正方形，
，
四边形是矩形，
，
，故正确；
四边形为矩形，
四边形的周长，故正确；
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，故正确；
由，
当最小时，最小，
则当时，即时，的最小值等于，故不正确．
综上，正确．
故答案为：．  

17.【答案】解：连接，，，，
，
，，
，
，
，
是的直角三角形，
四边形的面积的面积的面积，



．
故答案为：． 

【解析】连接，然后根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理逆定理计算出，然后根据四边形的面积的面积的面积，列式进行计算即可得解．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接，构造出直角三角形是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先进行二次根式的乘法运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可；
先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
在与中，
≌，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

证明：垂直平分，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】利用基本作图作的垂直平分线即可；
根据平行四边形的性质得到，，再证明≌得到，从而得到结论．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图作线段的垂直平分线是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
 

22.【答案】解：四边形是菱形，
，，
是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
，
由知，四边形是矩形，
，
，，
，
． 

【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据菱形的性质得到，，得到，推出，求得四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，，得到；由知，四边形是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．
 

23.【答案】解：在中，，
；
由题意知，
当为直角时，如图，点与点重合，，即；
当为直角时，如图，，，，
在中，
，
在中，，
即：，
解得：，
故当为直角三角形时，或；
当时，如图，；
当时，如图，，；
当时，如图，，，，
在中，，
所以，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，或或． 

【解析】直接根据勾股定理求出的长度；
当为直角三角形时，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出此时的值即可；
当为等腰三角形时，分三种情况：当时；当时；当时，分别求求得值．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
 

24.【答案】解：时，如图：

，
是等边三角形，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
；
当变化时，的大小不会发生变化，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
，，
，
；
线段与的数量关系为：，证明如下：
过作交延长线于，如图：

，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
由知，，
是等腰直角三角形，
，
，
，即，
． 

【解析】时，是等边三角形，可得，由四边形是正方形，可求出，即得；
由四边形是正方形，得，，可得，根据，，可得，故；
过作交延长线于，证明≌，得，，知，而是等腰直角三角形，有，即可证明．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
 

25.【答案】解：．
又，，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，；

由翻折变换的性质可知，
设，则，
，
，
，
，
，
，
；

由翻折变换的性质可知，
设，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
当是平行四边形的边时．，，
当是平行四边形的对角线时，．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 

【解析】利用非负数的性质求出，，可得结论；
设，则，利用勾股定理构建方程求出，可得结论；
画出图形，分三种情形分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．