1初中数学．与三角形有关的线段．第01讲

一、 三角形的基本概念：

⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．

三角形具有稳定性．

⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．

在同一个三角形内，大边对大角．

⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角．

⑷三角形的分类：

注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．

三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．

二、 与三角形相关的边

⑴三角形中的三种重要线段

①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．

②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部．

③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．

注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．

锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；

钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，

直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．

画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．

⑵三角形三条边的关系

①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．

②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即、、三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段．

注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．

【例1】         如图所示，∠BAC的对边是（　　）

 A、BD  B、DC

 C、BC  D、AD

【解析】根据三角形对边的定义可知：∠BAC的对边是BC．

【答案】∠BAC的对边是BC．故选C．

【例2】         三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（　　）

 A、2个  B、3个

 C、4个  D、5个

【解析】首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长，得到三角形的三边都不能大于5；

再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数．

【答案】根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过5；

再根据两边之差小于第三边，则这样的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三个．

故选B．

【例3】         为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（　　）

 A、19.5  B、20.5

 C、21.5  D、25.5

【解析】尽量选择数据较小的路线，到达4个村庄即可．

【答案】如图，最短总长度应该是5+4+5.5+6=20.5cm．故选B．

【例4】         下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　）

 A、3，8，4  B、4，9，6

 C、15，20，8 D、9，15，8

【解析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．

【答案】A：∵3+4＜8∴不能构成三角形；

B：∵4+6＞9∴能构成三角形；

C：∵8+15＞20∴能构成三角形；

D：∵8+9＞15∴能构成三角形．

故选A．

【例5】         为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（　　）

 A、5m  B、15m

 C、20m  D、28m

【解析】首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．

【答案】∵PA、PB、AB能构成三角形，

∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜28m．

故选D．

【例6】         如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第6个图中共有三角形　_________　个．

【解析】根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，即第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．

所以当n=6时，原式=21．注意规律：后面的图形比前面的多4个．

【答案】第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3．所以当n=6时，原式=21，故填21．

【例7】         已知三角形的两边为、，求第三边的范围，求周长的范围．

【解析】设第三边为，周长为，则；；

【答案】

【例8】         下列不能构成三角形三边长的数组是(      )．

A．、、    B．、、   C．、、   D．、、

【解析】略

【答案】D．

【例9】         下列长度的三条线段能组成三角形的是(    )

A．1，2，5  B．4，5，9　

C．5，8，15 D．6，8，9

【解析】略

【答案】D．

【例10】     一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为(   )

A．7      B．9      C．12       D．9或12

【解析】略

【答案】C．

【例11】     两根木棒的长分别是7和10，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是，则的取值范围是___________．

【解析】．根据三角形三边关系定理，可得，解之即得．

【答案】

【例12】     已知三角形的三边长分别为、、，则不可能是(    )

A．              B．              C．                 D．

【解析】略

【答案】D

【例13】     判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例．

已知的三边分别为，，．

（1）以，，为三边的三角形一定存在．

（2）以，，为三边的三角形一定存在．

【解析】（1）不一定．比如、、，满足，而．

（2）一定．由对称性，不妨设，故，

．

【答案】（1）不一定；（2）一定

【例14】     已知三角形两边长为和，求它的周长的取值范围．

【解析】已知两边长，求周长的取值范围，也是应用三角形三边关系，先求第三边的取值范围，再求周长的取范围．

设第三边长为，

周长．

由三边关系得，得．

所以周长，

所以周长．

【答案】周长．

【例15】     一个三角形三边长分别为，，，则的取值范围是            ．

【解析】略

【答案】．

【例16】     一个三角形三边长分别为，，，则三角形的周长的范围是            ．

【解析】略

【答案】．

【例17】     已知三角形中两边长为2和7，

（1）若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_________．

（2）若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_________．

【解析】（1）第三边长的取值范围是，因为它是奇数，故只能是7，所以三角形的周长为．

（2）由周长为奇数，可知为偶数，所以第三边的长为6或8．

【答案】（1）16；（2）6或8．

【例18】     有三条线段，其中两条线段的长为和，第三条线段的长为，若这三条线段不能构成三角形，则的取值范围是            ．

【解析】略

【答案】或．

【例19】     不等边三角形中，如果一条边长等于另两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是             ．

【解析】不妨设三角形三边长分别为，，且，故，设三角形的面积为，则，则，由，，则．故．

【答案】

【例20】     已知有两边长为、，其中，则其周长一定满足(      )．

A．   B．   C．   D．

【解析】略

【答案】A．

【例21】     、、为三角形的三边长，化简，若此三角形周长为，求上面式子的值．

【解析】∵三角形任意两边之和大于第三边

∴，，

∴原式

【答案】11

【例22】     下列长度的线段能否组成三角形：、、()；

【解析】，均小于，而．

因为，所以，它们可以构成三角形；

【答案】能

【例23】     下列长度的线段能否组成三角形：、、()；

【解析】有，，而，因为，

所以，即，它们可以组成三角形；

【答案】可以

【巩固】               下列线段能组成三角形的是(   )

A．，，      B．，，

        C．，，           D．，，

【解析】略

【答案】D

【例24】     周长为整数的三角形三边长分别为、、，且满足不等式，这样的三角形有     个．

【解析】略

【答案】．

【巩固】               将三边长为，，的三角形记作．写出周长为20，各边长为正整数的所有不同的三角形．

【解析】周长等于20的三解形中，最长边小于10，且大于等于，由于边长是整数，所以最长边可为9，8，7．用穷举法可以得下面8个三角形：(9，9，2)、(9，8，3)、(9，7，4)、 (9，6，5)、(8，8，4)、(8，7，5)、(8，6，6)、(7，7，6)．

【答案】8个

【例25】     用根火柴棒首尾顺序连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为           ．

【解析】第一：火柴是等长的，不能折断；第二：一次用完根火柴，不能剩下若干根；第三：要满足三角形的三边关系．先确定周长为根，由三角形最大的边的范围可知最大的边必为根，为什么？然后用枚举法：(怎样做到不重不漏？)

【答案】2

【例26】     如图，为内一点，试说明．

【解析】略

【答案】图中有很多个三角形，在几个三角形中利用三边关系进行判断．

因为，，，

所以，

即．

所以．

【例27】     如图，在三角形中，，为三角形内任意一点，连结，并延长交于点．求证：

（1）；

（2）．

【解析】略

【答案】（1）∵，∴

∵，∴，∴

∵，∴

（2）过点作∥，交、于、，

则，

由(1)知

∵，

∴

即

几何证明中后一问常常要用到前一问的结论．

【习题1】如图，△ABC中，已知AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（　　）

 A、0＜x＜3  B、x＞3

 C、3＜x＜6  D、x＞6

【解析】根据三角形的三边关系定理来确定腰长x的取值范围．

【答案】若△ABC是等腰三角形，需满足的条件是：

6﹣x＜x＜6+x，解得x＞3；

故选B．

【习题2】在下列长度的线段中，能组成三角形的是(    )．

A．，，      B．，，     C．，，    D．，，

【解析】略

【答案】D．

【习题3】如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是(   )

A．5米  B．10米  C． 15米 D．20米

【解析】略

【答案】A．

【习题4】已知三角形的两边长分别为和，则此三角形的第三边的长可能是(    )

A．   B．  C．    D．

【解析】略

【答案】Ｃ．

【习题5】 现有长度分别为，，，的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为     ．

【解析】应用枚举法：满足题意有下面三组．

【答案】3

【习题6】已知，如图，为三角形内两点，构成凸四边形，求证：．

【解析】略

【答案】作直线，分别与交于点

由三角形的三边关系可得

①+②+③得

∴即

【习题7】如图，在中取一点，使，求证：．

【解析】略

【答案】如图，延长交于点，．

∵，故．