3初中数学.多边形的内角和与外角和.第03讲

多边形及其内角和

１ 基本概念

⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．

⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．

⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．

⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．

⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．

⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．

２ 基本性质

⑴ 稳定性．

⑵ 内角和与外角和定理．

如下图，边形的内角和为，多边形的外角和都是．

⑶ 边形的对角线：一个顶点有条对角线，共有条对角线．

⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于．

模块一 多边形的对角线

【例1】         如果一个多边形共有条对角线，则这个多边形的边数是　　　　　．

【解析】略

【答案】．

【巩固】已知从边形的一个顶点出发共有条对角线，其周长为，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边之长．

【解析】提示：根据对角线条数先判断边数，在设未知数列方程求解．

【答案】．

【巩固】已知一个多边形的对角线的条数为边数的倍，求该多边形的边数．

【解析】提示：设边数为，则．

【答案】

【例2】         一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是（　）边形．

【解析】设多边形有n条边，则根据题意可列：，解得n1=5，n2=0（舍去），

故多边形的边数为5．
【答案】C．

【巩固】一个边形的边数增加一条，那么它的对角线增加　　　条．

【解析】略

【答案】；

【例3】         从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（　　）

【解析】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n-2）．
【答案】C

【巩固】一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数（　　）

【解析】通过分析可知，n-2=12，则n=14．
【答案】A．

模块二 多边形的内角和与外角和

内角和

【例4】         已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是(    )

A．四边形　　　B．五边形　　　C．六边形　　　D．七边形

【解析】略

【答案】Ｂ．

【巩固】一个多边形共有14条对角线，则它的内角和为___________.

【解析】一个边形，从一个顶点出发，有条对角线，故共有条对角线，

于是有，从而，

∴这个三角形的内角和为

【答案】

【例5】         在四边形中，，比大，是的倍，求，，的大小．

【解析】设(度)，则，．

根据四边形内角和定理得，．

解得，，∴，，．

【答案】，，

【巩固】如图，已知在一次科技活动中，需要将一张面积为的四边形四角都剪去一个扇形的区域，扇形的半径均为，求剩余纸张的面积．

【解析】四边形的内角和为，故四个扇形的面积和等于，∴剩余纸张的面积为．

【答案】

【例6】         一个凸多边形的内角中，最多有　　　个锐角．

【解析】略

【答案】

【巩固】如果一个多边形的边数增加倍后，它的内角和是，那么原来多边形的边数是　    　．

【解析】略

【答案】

【巩固】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于，则第个多边形中，所有扇形面积之和是       (结果保留)．

【解析】略

【答案】．

外角和

【例7】         若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是(    )

A．10      B．9          C．8          D．6

【解析】略

【答案】Ｂ

【答案】已知一个五边形的外角度数之比为，求它的内角大小．

【解析】略

【答案】，，，，；

【例8】         如右图，小明从点出发，向前走米，左拐，再向前走米，再左拐，如此下去，小明能否回到出发点？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？

【解析】略

【答案】能，．

【例1】         如图，讲六边形沿直线折叠，使点落在六边形内部，则下列结论正确的是（     ）

A．

B．

C．

D．

【解析】如图，设的延长线与的延长线交于点，的延长线与的延长线交于点，连接，

由对称性知，

∴，

又∵，∴．

【答案】B

模块三 正多边形与镶嵌

知识点播：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

【例9】         下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（　　）

.正三角形      .正方形      .正五边形       .正六边形

【解析】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．不能铺满地面的是正五边形．

【答案】C．

【巩固】若限于用同一种正多边形磁砖镶嵌（要求镶嵌的正多边形的边必须与另一正多边形的边重合），则不能镶嵌成一个平面的正多边形磁砖的形状是（　　）

A、正三角形      B、正方形        C、正六边形       D、正八边形

【解析】A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
D、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．

【答案】D．

【例10】     有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（　　）

.4种      .3种      .2种       .1种

【解析】①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能够铺满地面；

②正方形的每个内角是90°，能整除360°，能够铺满地面；

③正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能够铺满地面；

④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能够铺满地面；

⑤正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能够铺满地面．
【答案】B．

【巩固】下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（　　）

.任意一种三角形      .任意一种正方形  .任意一种正五边形    .任意一种正六边形

【解析】∵用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案，

∴A、B能镶嵌平面的图形；C、任意一个正五边形的内角为108°，不能镶嵌平面的图形；

∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图

∴D能镶嵌平面的图形．
【答案】C．

【例11】     下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（　　）

A、 B、 C、 D、

【解析】A、从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而成的；B、从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成的；
C、从一个顶点处看，由正六边形和正方形镶嵌而成的；
D、从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成的．

【答案】D．

【巩固】张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（　　）

A、 B、 C、 D、

【解析】∵能够铺满地面的图形是内角能凑成360°，

∵正三角形一个内角60°，正方形一个内角90°，正五边形一个内角108°，正六边形一个内角120°，只有正五边形无法凑成360°．

【答案】C．

【巩固】小莹家的地面是由一个小正方形和四个等腰梯形这样的正方形地板砖镶嵌而成的，小莹发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少（　　）

.8      .9      .11       .12

【解析】由于正方形的一个内角为90°，同一顶点处等腰梯形的一个内角为：（360-90）÷2=135°，而八边形的内角为：180-360÷8=135°，那么小正方形的边长即为八边形的边长，画图如下．

【答案】A．

【例12】     黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（　　）

A、n2+n+2，2n+1          B、2n+2，2n+1      C、4n，n2-n+3       D、4n，2n+1

【解析】第1个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4，2×1+1=3；

第2个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是2×4=8，2×2+1=5；

第3个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是3×4=12，2×3+1=7；

…

第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是4n，3+（n-1）×2=2n+1．
【答案】D．

1. 请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成（）个三角形．

【解析】四边形可分割成4-2=2个三角形；五边形可分割成5-2=3个三角形；六边形可分割成6-2=4个三角形；七边形可分割成7-2=5个三角形，同理，10边形可分割成10-2=8个三角形

【答案】8

2. 一凸边形最小的内角为，其它内角依次增加，则_________．

【解析】这个凸边形的内角由小到大依次为，

它的外角依次为

而这六个外角之和为

∴．

【答案】6

3. 已知小娟家的地板全由同一形状且大小相同的地砖紧密地铺成．若此地砖的形状是一正多边形，则下列何者不可能是此地砖的形状（　　）

.正三角形      .正方形      .正五边形       .正六边形

【解析】A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；

B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；

C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；

D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
【答案】C．