4初中数学全等三角形 ( 一 ).第04讲

一、全等的概念

全等图形：

能够完全重合的两个图形就是全等图形．

全等多边形：

能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．

全等多边形的对应边、对应角分别相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形≌五边形．

这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．

全等三角形：

能够完全重合的三角形就是全等三角形．

全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；

反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．

全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

(3)有公共边的，公共边常是对应边．

(4)有公共角的，公共角常是对应角．

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

二、全等的性质和判定

全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

判定三角形全等的基本思路：

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：

⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)．

⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．

⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

【例1】         判定两个三角形全等的方法是：⑴      ；⑵      ；⑶      ；⑷     ；⑸      ；⑹      ．

全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别            ．

【解析】略

【答案】（1）定义，（2），（3），（4），（5），（6）；相等．

【例2】         两个三角形具备下列（     ）条件，则它们一定全等．

A．两边和其中一边的对角对应相等

B．三个角对应相等

C．两角和一组对应边相等

D．两边及第三边上的高对应相等

【解析】略．

【答案】C

【例3】         下列命题错误的是（     ）

A．全等三角形对应边上的高相等

B．全等三角形对应边上的中线相等

C．全等三角形对应角的角平分线相等

D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等

【解析】略

【答案】D．

【例4】         不能确定两个三角形全等的条件是（     ）

A．三边对应相等                    B．两边及其夹角相等

C．两角和任一边对应相等            D．三个角对应相等

【解析】略

【答案】D．

【例5】         如图，图中有两个三角形全等，且与是对应边，则下列书写最规范的是（     ）

A．  B．  C．  D．

【解析】略

【答案】B

【例6】         如图，平分,在上，则图中能全等的三角形有          对．

A．1          B．2         C．3          D．4    

【解析】略

【答案】C

【例7】         如图，中，是边上两点则等于（     ）

A．          B．         C．          D．    

【解析】略

【答案】B   

【例8】         和，若还需要（     ）

A．          B．         C．        D．以上三中情况都可以   

【解析】略

【答案】D

【例9】         如图，中，平分交于，于且则的周长为（     ）

A．40 cm          B．6 cm         C．8cm          D．10cm

【解析】略

【答案】B

【例10】如图，相交于点，下面结论不正确的是（     ）

A．   B．与不全等    C．   D．是等腰三角形

【解析】略

【答案】B

【例11】考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_________个．

【解析】正确的是②③

【答案】

【例12】已知中，，作与只有一条公共边，且与全等的三角形，这样的三角形一共能作出        个．

【解析】略

【答案】

【例13】如左下图所示，中，、分别在、上，与交于点，给出下列四个条件：

①；②；③；④

上述四个条件中，哪两个条件可判定， 是等腰三角形(用序号写出所有情形)；

【解析】略

【答案】7对：≌；≌；≌；

≌；≌；≌；≌．理由略．

【例14】如右上图所示，，，，与交于，于，于，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．

【解析】略．

【答案】①③、①④、②③、②④

【例15】在、上各取一点、，使，连接、相交于再连结、，若，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．

【解析】略

【答案】有对：≌；≌；≌；≌；≌；理由略．

【例16】如图所示，，，在上，与相交于．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．

【解析】略

【答案】共10对全等三角形．

≌；≌；≌；

≌；≌；≌；

≌；≌；≌；

≌．

【例17】如图，中，，平分，则                         

【解析】略

【答案】

【例18】斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是           ，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是            ．

【解析】略

【答案】;

【例10】     已知，的周长为，则         ，

=         ，           ．

【解析】略

【答案】；；

【例19】如图，，要使还需要知道的一个条件是            ．

【解析】略

【答案】

【例20】如图，若，，则         ，理由                 ．

【解析】略

【答案】；

【例21】如图，则按边分是           三角形．

【解析】略

【答案】等腰

【例22】如图，于于，交于，则            ．（填“”或“”或“”）

【解析】略

【答案】

【例23】如图，中，，现想利用证三角形全等证明，若证明三角形全等所用的公理是公理，则途中所添加的辅助线应是            ．

【解析】略

【答案】取中点，连接

【例24】一个三角形的三边为，另一个三角形的三边为，若这两个三角形全等，

则=          ．

【解析】略

【答案】

【例11】     如图，,若，则需要增加的条件是             ．（至少三种）

【解析】略

【答案】；；

【例25】一块三角形玻璃断裂后，如图所示的残片或残片，你对途中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由．

【解析】略

【答案】选残片，利用残片全等

【例26】如图，在中，是中线，是高线．

（1）若比长，则的周长比的周长多           cm．

（2）若的面积为10，则的面积为           ．

（3）若又是的角平分线，，求的度数．

【解析】略

【答案】（1）5cm；（2）20；（3）

【例27】已知如图，是的中点，．交于点．求证：（1）

（2）

【解析】略

【答案】（1）利用，然后根据内错角相等；（2）利用；

【例28】如图，在中，是过点的直线，于点，于．

（1）若在的同侧(如图①)且，求证：；

（2）若在的两侧（如图②）其他条件不变，问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由

                                                                  图①

                                                                        图②

【解析】略

【答案】（1）利用；（2）同第一问

一、填空题

1．        的两个图形叫做全等形.

【解析】略

【答案】完全重合

2．把两个全等的三角形重合到一起，        叫做对应顶点；        叫做对应边；        叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示        的字母写在        上．

【解析】略

【答案】重合的顶点；重合的边；重合的角；对应顶点；对应位置

3．全等三角形的对应边        ，对应角        ，这是全等三角形的重要性质．

【解析】略

【答案】长度相等；大小相等

4．如果ΔABC≌ΔBCD，则AB的对应边是        ，AC的对应边是        ，的对应角是        ，

【解析】略

【答案】；；

5．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝        cm，EC＝        cm，∠C＝        °；∠D＝        °．

图1－2

【解析】略

【答案】2cm；1.5cm；；

二、选择题

6．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是 （    ）

A．DB B．BC C．CD D．AD

图1－3

【解析】略

【答案】C

7．下列命题中，真命题的个数是 （    ）

①全等三角形的周长相等    ②全等三角形的对应角相等

③全等三角形的面积相等    ④面积相等的两个三角形全等

A．4 B．3 C．2 D．1

【解析】略

【答案】B

8．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于 （    ）

A．6 B．5 C．4 D．无法确定

图1-4         

【解析】略

【答案】C

9．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于 （    ）

A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC

 图1-5   

【解析】略

【答案】C

10．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为 （    ）

A．40° B．35° C．30° D．25°

 图1-6        

【解析】略

【答案】B

三、解答题

11．已知：如图1－7所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．

图1－7

【解析】略

【答案】