10初中数学．幂的运算．第10讲

模块一  同底数幂的乘法法则

1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

即（、都是正整数）

【例1】         计算：（1）．

             （2）

             （3）

【难度】1星

【解析】（1）（2）是同底数幂的乘法，运用法则即可．需要注意的是（1）的底数是．（3）要将不同底数幂的乘法问题转化为同底数幂的乘法问题．即将转化为，再运用整体的思想将整式看作一个整体即可．整体思想是近年来中考考查的一个主要思想，也是整式乘除运算章节考查的一个主要的数学思想．

【答案】（1）

       （2）

       （3）

【总结】对于，当奇数时，；当偶数时，．对于不论为奇数还是偶数，都有．

【巩固】下列计算是否正确？错误的指出错误的原因，并加以改正．

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【难度】1星

【解析】正确理解同底数幂的乘法运算性质，正确区分合并同类项与乘法运算

【答案】（1）不正确，指数应是相加而不是相乘，应改为

       （2）不正确，错在将系数也相加了，应改为

       （3）不正确，是整式的加法，应改为

       （4）不正确，的指数是1而不是0，应改为

       （5）正确

       （6）不正确，指数相加而不是相乘，应改为

【巩固】如果把看作一个整体，下列计算正确的是（      ）

A．

B．

C．

D．

【难度】2星

【解析】整体思想在整式计算中的应用

【答案】D

【例2】         的结果是           

【难度】1星

【解析】结合初一的科学记数法

【答案】

【巩固】计算：

【难度】2星

【解析】同底数幂的乘法与合并同类项结合练习

【答案】

【巩固】计算：

【难度】2星

【解析】同底数幂的乘法与合并同类项、科学记数法结合练习

【答案】

【例3】         已知：，求：的值

【难度】3星

【解析】公式的应用以及整体思想在指数中的应用

【答案】

【巩固】已知，求：的值

【难度】3星

【解析】公式的应用以及整体思想在指数中的应用，本题还要将底数化为一致

【答案】

        原式

模块二  同底数幂的乘法法则的逆用

【例4】         在中，括号中应填的代数式是            

【难度】2星

【解析】同底数幂的乘法法则的逆用。对性质的逆用是加深对性质的理解、巩固的好方法，也是训练思维、培养运算能力的有效途径。

【答案】

【总结】学生在初学时，可以采用“方程思想”来解题。即设

【巩固】已知，求的值

【难度】2星

【解析】同底数幂的乘法法则的逆用，结合方程思想

【答案】

【例5】         已知，，求下列各式的值

（1）

（2）

（3）

【难度】2星

【解析】同底数幂的乘法法则的逆用，将指数的多项式拆分成几个单项式

【答案】（1）

       （2）

       （3）

【总结】对于此类法则逆用的题目，可以先将指数的多项式看成几个单项式，再根据拆分的单项式进行公式的逆用运算

【巩固】已知，，，则的结果是           

【难度】2星

【解析】同底数幂的乘法法则的逆用，将指数的多项式拆分成几个单项式

【答案】

【例6】         计算：

【难度】2星

【解析】观察两个指数间的区别，将拆成即可

【答案】

【总结】注意区分与

模块三  幂的乘方的性质

1. 幂的乘方的性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即（、都是正整数）

【例7】         计算：（1）

             （2）

             （3）

             （4）

【难度】1星

【解析】幂的乘方法则的应用。注意（3）（4）中，既有乘方，又有乘法的时候，要先算乘方，后算乘法

【答案】（1）

       （2）

       （3）

       （4）

【总结】当既有乘方，又有乘法的时候，要先算乘方，后算乘法

【巩固】计算的结果是            

【难度】2星

【解析】注意符号

【答案】

【例8】         若，，求的值为多少？

【难度】3星

【解析】幂的乘方与同底数幂的乘法的综合运用

【答案】

        当，时

        原式

【巩固】若，，则              

【难度】3星

【解析】幂的乘方与同底数幂的乘法的综合运用。

【答案】，当，时，原式

模块四  幂的乘方的逆运用

【例9】         已知，，求的值

【难度】2星

【解析】逆用幂的乘方与同底数幂乘法法则。

【答案】

        将，代入，

原式

【总结】由于，，不便将、分别求出，所以从问题入手，利用整体代入的思想解决问题。

【巩固】已知，，你能用含有、的代数式表示吗？

【难度】3星

【解析】本题需要先发觉14与3和5之间的关系，通过计算发现

【答案】

        将，代入

        原式

模块五  运用幂的乘方的公式比较大小

【例10】     比较，，的大小

【难度】2星

【解析】本题关键是发现555,444,333之间的关系，即都是111的倍数。所以通过将它们转化成相同的指数进行计算。

【答案】；；

【总结】幂的运算中比较大小的关键是将底数或者指数化成相同

【巩固】你能比较与的大小吗？

【难度】2星

【解析】本题是要将底数化一致

【答案】；；所以

模块六  积的乘方的法则应用

1. 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘

即（为正整数）

【例11】     计算：（1）

             （2）

【难度】1星

【解析】积的乘方公式的应用。要注意系数的符号

【答案】（1）

       （2）

【巩固】计算：

【难度】1星

【解析】积的乘方公式的应用。

【答案】

【巩固】计算：

【难度】1星

【解析】积的乘方公式的应用。

【答案】

模块七  积的乘方的法则逆用

【例12】     计算：

【难度】2星

【解析】积的乘方公式的逆运算。

【答案】

【例13】     已知，求的值

【难度】2星

【解析】积的乘方公式的逆运算。

【答案】

        原式

【巩固】已知，求的值

【难度】2星

【解析】积的乘方公式的逆运算。

【答案】

        当时，原式

【例14】     若，，则             

【难度】3星

【解析】灵活运用幂的运算法则巧解计算题。

【答案】

        当，时

        原式

模块八  幂的综合运算

【例15】     计算下列各式：

（1）

（2）

（3）

（4）

【难度】2星

【解析】幂运算的综合应用。

【答案】（1）

（2）

（3）

（4）

【例16】     计算：              

【难度】2星

【解析】幂运算的综合应用

【答案】

【例17】     已知，为正整数，你能求出的值吗？

【难度】4星

【解析】幂运算的综合应用

【答案】

       当时，原式

1. 下列运算，正确的是（      ）

A．                            B．

C．                        D．

【难度】1星

【解析】公式的对比考查。

【答案】A

2. 下列计算错误的是（      ）

A．                    B．

C．                        D．

【难度】1星

【解析】公式的对比考查。

【答案】A

3. 计算：（       ）

A．                        B．

C．                        D．

【难度】1星

【解析】同底数幂的乘法。

【答案】A

4. 若，则          

【难度】1星

【解析】同底数幂乘法公式

【答案】5

5. 直接写出结果

【难度】1星

【解析】三个公式的考查

【答案】；；

；；

；

6. 若，，则的值为（      ）

A．                         

B．

C．                       

D．

【难度】2星

【解析】同底数幂的乘法，要将底数化成相同

【答案】A

7. 计算：（1）

         （2）

【难度】1星

【解析】同底数幂的乘法法则的应用，整体思想在底数中的应用。当底数不相同的时候，通过提负号的方法将底数化为一致。

【答案】（1）

       （2）或

8. 计算：

【难度】3星

【解析】同底数幂的乘法法则的应用，整体思想在底数中的应用。当底数不相同的时候，通过提负号的方法将底数化为一致。本题中项的指数含有字母，所以不能将其改变

【答案】

9. 计算：

【难度】1星

【解析】同底数幂的乘法法则的应用，整体思想在指数中的应用。

【答案】

10. 如果，求的值

【难度】1星

【解析】幂的乘方法则的逆用。

【答案】

        ；

11. 计算：

【难度】2星

【解析】积的乘方法则的应用。

【答案】

12. 计算：

【难度】2星

【解析】法则的综合应用。

【答案】

13. 比较与的大小

【难度】2星

【解析】尽量将指数或底数化为相同才能比较大小。

【答案】;;

14. 若，求的值

【难度】3星

【解析】将4与32化成底数相同的数，在运用整体的思想。

【答案】

        当时，原式

15. 当时，求代数式的值

【难度】3星

【解析】先化简，再求值。

【答案】

当时,原式

16. 已知1平方公里的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧千克煤所产生的能量，那么我国960万平方公里土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤？

【难度】2星

【解析】略。

【答案】千克

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1. 计算： 等于（      ）

A．      B．          C．       D．

【难度】1星

【解析】考查积的乘方的逆运算，由于指数是偶数，所以最后的符号为正，D．

【答案】D

2. 下列计算正确的是（   ）． 

A．             B．         

C．                 D．

【难度】1星

【解析】公式的对比考查。

【答案】C

3. 下列运算正确的是

A．             B．         

C．                 D．

【难度】1星

【解析】公式的对比考查。

【答案】B

4. 可以写成（      ）

A．                     B．

   C．                       D．

【难度】2星

【解析】公式的逆用。

【答案】D

5. 直接写出结果

【难度】1星

【解析】三个公式的考查

【答案】；

；

；

6. 若，则         

【难度】2星

【解析】同底数幂乘法的考查，将81化成以3为底数的形式。

【答案】

7. 若，则          

【难度】2星

【解析】幂的乘方与同底数幂乘法的考查。

【答案】

8. 化简：

【难度】2星

【解析】略

【答案】；

9. 简便计算：

【难度】2星

【解析】略

【答案】

10. 若，求的值

【难度】3星

【解析】略

【答案】

11. 计算：（1）

        （2）

（3）

（4）

【难度】2星

【解析】计算时要注意符号

【答案】

12. 若，求

【难度】3星

【解析】幂的运算公式的综合运用

【答案】

13. 比较大小：与

【难度】2星

【解析】尽量将指数化为一致

【答案】；

        且

14. 如果，，求的值

【难度】2星

【解析】同底数乘法公式与幂的乘法是综合

【答案】

        ，

       原式

15. 如果且，求，的值

【难度】2星

【解析】同底数乘法公式与幂的乘法是综合

【答案】，

          解之