14初中数学.因式分解的基本方法(二).第14讲

一、十字相乘法

十字相乘法：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成的形式，它

的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a，b，c，使得：，，，

若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解

二、分组分解

分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.

一、十字相乘

【例 1】分解因式： ⑴     ⑵

⑶     ⑷

【解析】 ⑴；⑵；⑶；⑷

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【例 2】分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【例 3】分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【例 4】分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【例 5】分解因式：⑴；

                  ⑵

【解析】 ⑴把看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.

⑵将看作整体，则原式.

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【例 6】分解因式：

【解析】 把a视为未知数，其它视为参数。

 原式

【巩固】 分解因式：

【解析】 ，利用十字相乘思想

【巩固】 分解因式：

【解析】 ，利用十字相乘思想

【巩固】 分解因式：

【例 7】多项式x2+px+12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是　　（写出一个即可）．

【解析】把12分解为两个整数的积的形式，p等于这两个整数的和．

【答案】12=（±2）×（±6）=（±3）×（±4）=（±1）×（±12），所以p=（±2）+（±6）=±8，或（±3）+（±4）=±7，或（±1）×（±12）=±13．∴整数p的值是±7（或±8或±13）．

【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键．

【例 8】一个长方形的面积为m2+m﹣2（m＞1），其长为m+2，则宽为　　．

【解析】根据长方形的面积=长×宽，列式求解，然后利用十字相乘法分解因式，再进行除法计算．

【答案】（m2+m﹣2）÷（m+2）=（m+2）（m﹣1）÷（m+2）=m+1，∴宽为m﹣1．

【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，多项式除单项式，先利用十字相乘法分解因式，然后再进行整式除法运算比较简单．

【例 9】如果二次三项式x2﹣ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a的值为（只填写一个你认为正确的答案即可）　　．

【解析】根据题意，﹣a是15分解成两个因数的和，15可以分解两个因数有几种，任意选取一种就可以．

【答案】3×5=15，﹣a=3+5，a=﹣8．

【点评】本题考查十字相乘法因式分解，不过本题比较灵活，答案不唯一．

【例 10】我们已经学过用面积来说明公式．如：（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用下图甲中的面积来说明．

①请写出图乙的面积所说明的公式x2+（p+q）x+pq=　（x+p）（x+q）　；

②请利用①中得到的公式因式分解：x2﹣7x+10=　（x﹣2）（x﹣5）　．

【分析】利用面积分割法可证，大长方形的面积=三个长方形的面积+小正方形的面积，分别用代数式表示即可．

【答案】根据题意可知，①x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；②∵（﹣2）×（﹣5）=10，（﹣2）+（﹣5）=﹣7∴x2﹣7x+10=（x﹣2）（x﹣5）．

【点评】本题考查了十字相乘法的几何意义，利用了面积分割法，根据面积相等列式是解题的关键．

【例 11】当m=　　时，二元二次六项式6x2+mxy﹣4y2﹣x+17y﹣15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．

【解析】本题先研究x，将x项和常数项进行十字分解，然后设出两个因式，相乘得到的结果与原多项式比较，可列出方程，从而达到结果，然后得到m的值．

【答案】利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式

6x2+mxy﹣4y2﹣x+17y﹣15中6x2﹣x﹣15三项应当分解为：（3x﹣5）（2x+3）；

现在要考虑y，只须先改写作（3x﹣5+ay）（2x+3+by）；然后根据﹣4y2，17y这两项式，即可断定是：解得：a=4，b=﹣1，所以（3x+4y﹣5）（2x﹣y+3）=6x2+5xy﹣4y2﹣x+17y﹣15就是原六项式，所以m=5．故答案为5．

【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．

二、分组分解

【例 12】分解因式：

【解析】 解法一：按字母的幂来分组．

解法二：按字母的幂来分组．

原式的6项是平均分配的，或者分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项．

     如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配．

  特别注意结合选主元思想，在系数上分析分组！

【巩固】 分解因式：

【解析】 法1：

法2 ：

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【例 13】分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【例 14】分解因式：

【解析】 原式，体会利用系数分组引导整体因式分解

【巩固】 分解因式：

【解析】

或

【巩固】 分解因式：

【解析】 原式

【巩固】 分解因式：

【解析】 原式=

【巩固】 分解因式：

【解析】 原式

【例 15】分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【补充】分解因式：

【解析】 原式

【巩固】 分解因式：

【解析】 解根据a的幂来分组是可以行得通的，恰好能用上公式(2)，并为下一步提公因式奠好基础．

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】

【巩固】 分解因式：

【解析】 原式

【例 16】（2009•常德）因式分解：m2﹣mn+mx﹣nx=　　．

【解析】被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．m2﹣mn可提公因式，分为一组；mx﹣nx可提公因式，分为一组．

【答案】m2﹣mn+mx﹣nx=（m2﹣mn）+（mx﹣nx）=m（m﹣n）+x（m﹣n）=（m﹣n）（m+x）．

【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．要考虑分组后还能进行下一步分解．

【例 17】分解因式：a3+a2b﹣ab2﹣b3=　　．

【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题前两项、后两项都有公因式，且分解后还能继续分解，故使前两项一组，后两项一组．

【答案】a3+a2b﹣ab2﹣b3=a2（a+b）﹣b2（a+b）=（a+b）（a2﹣b2）=（a+b）2（a﹣b）．

【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．此题主要用到了提取公因式法和平方差公式进行因式分解．

【例 18】将ab﹣a+b﹣1因式分解，其结果是　　．

【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的是前两项，可以考虑把前两项分为一组．

【答案】ab﹣a+b﹣1=（ab﹣a）+（b﹣1）=a（b﹣1）+（b﹣1）=（a+1）（b﹣1）．

【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题中有a的是前两项，可以考虑把前两项分为一组．

【例 19】）因式分解：（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）=　　．

【解析】首先把式子整理，可知是将一个四项式进行因式分解，考虑运用分组分解法．此时后三项提取﹣1后b2﹣4b+4可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．

【答案】（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）=a2﹣b2+4b﹣4=a2﹣（b﹣2）2=（a+b﹣2）（a﹣b+2）．

【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．

【例 20】分解因式（ax+by）2+（bx﹣ay）2=　　．

【解析】先根据完全平方公式展开，合并同类项后再两两分组，然后两次提取公因式分解即可．

【答案】（ax+by）2+（bx﹣ay）2=a2x2+b2y2+2abxy+b2x2+a2y2﹣2abxy=a2x2+b2x2+b2y2+a2y2，

=（a2+b2）x2+（a2+b2）y2=（a2+b2）（x2+y2）．故答案为：（a2+b2）（x2+y2）．

【点评】本题考查了分组分解法分解因式，先根据完全平方公式计算，合并同类项后再分组分解因式．

【例 21】分解因式：x4﹣5x2+4x=　　．

【分析】首先提取公因式x，然后变为x（x3﹣x﹣4x+4），接着利用分组分解法即可解决问题．

【答案】x4﹣5x2+4x=x（x3﹣x﹣4x+4）=x[x（x2﹣1）﹣4（x﹣1）]=x[x（x﹣1）（x+1）﹣4（x﹣1）]=x（x﹣1）（x2+x﹣4）．故答案为：x（x﹣1）（x2+x﹣4）．

【点评】此题主要考查了利用分组分解法分解因式，首先提取公因式，接着把﹣5x变为﹣x﹣4x，然后提取公因式即可解决问题．

【例 22】若x2﹣y2﹣x+y=（x﹣y）•A，则A=　　．

【分析】观察该多项式，可以把x﹣y看作一个整体进行分解．平方差公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．

【答案】原式=（x2﹣y2）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x+y﹣1）．

因此A=x+y﹣1．

【点评】本题考查了分组分解法分解因式，当一个多项式为四项以上时，首先要合理分组，然后运用提公因式法或公式法完成因式分解．

【例 23】已知整数a、b、c满足不等式a2+b2+c2+43≤ab+9b+8c，则a、b、c分别等于　　．

【解析】由已知条件构造完全平方公式，得（a﹣）2+3（﹣3）2+（c﹣4）2≤0，然后由非负数的性质求解．

【答案】由已知得a2+b2+c2+43﹣ab﹣9b﹣8c≤0，配方得（a﹣）2+3（﹣3）2+（c﹣4）2≤0，

又∵（a﹣）2+3（﹣3）2+（c﹣4）2≥0，∴（a﹣）2+3（﹣3）2+（c﹣4）2=0，

∴a﹣=0，﹣3=0，c﹣4=0，∴a=3，b=6，c=4．故答案为：a=3，b=6，c=4．

【点评】此题考查用分组分解法进行因式分解．难点是配方成非负数的形式，再根据非负数的性质求解．

【例 24】若|m+4|与n2﹣2n+1互为相反数，把多项式x2+4y2﹣mxy﹣n分解因式．　

【解析】由题意可知|m+4|与n2﹣2n+1互为相反数，即|m+4|+（n﹣1）2=0，根据非负数的性质求出m，n=1，再把m，n的值代入所求代数式利用分组分解法和完全平方公式、平方差公式分解因式即可．

【答案】由题意可得|m+4|+（n﹣1）2=0，∴，解得，

∴x2+4y2﹣mxy﹣n=x2+4y2+4xy﹣1=（x+2y）2﹣1=（x+2y+1）（x+2y﹣1）．

【点评】本题主要考查公式法、分组分解法分解因式，利用非负数的性质求出m、n的值是解题的关键．

【例 25】先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

例1：1+ax+ax（1+ax）=（1+ax）（1+ax）

=（1+ax）2；

例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2

=（1+ax）2+ax（1+ax）2

=（1+ax）2（1+ax）

=（1+ax）3

（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=　；

（2）分解因式：x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004（答题要求：请将第（1）问的答案填写在题中的横线上）

【解析】首先把式子整理，可知是将一个多项式进行因式分解，考虑运用分组分解法．

（1）可以把1+ax分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．

（2）可以把x﹣1分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．

【答案】（1）1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=（1+ax）2+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=（1+ax）2（1+ax）+…+ax（1+ax）n=（1+ax）3+…+ax（1+ax）n=（1﹣ax）n（1+ax），=（1+ax）n+1；

（2）x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，

=（x﹣1）（1﹣x））+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，

=（x﹣1）2（﹣1+x）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，

=（x﹣1）2（1﹣x）+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，

=（x﹣1）2005．

【点评】本题考查了分组分解法分解因式，关键是将原式转化为（x﹣1）n的形式，解题时要有构造意识和想象力．

1. 把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（　　）

 A、（x+y+1）（x﹣y﹣1）  B、（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）

 C、（x+y﹣1）（x+y+1）  D、（x﹣y+1）（x+y+1）

【解析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．

【答案】原式=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）．故选A．

【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可以构成完全平方式，首要考虑的就是三一分组．

2. 因式分解：1﹣4x2﹣4y2+8xy，正确的分组是（　　）

 A、（1﹣4x2）+（8xy﹣4y2）  B、（1﹣4x2﹣4y2）+8xy

 C、（1+8xy）﹣（4x2+4y2）  D、1﹣（4x2+4y2﹣8xy）

【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中﹣4x2﹣4y2+正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．

【答案】1﹣4x2﹣4y2+8xy=1﹣（4x2+4y2﹣8xy）．

故选D．

【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一、三分组．由于2，3，4项符合完全平方式，故采取一三分组．

3. 分解因式：x2﹣2xy+y2+x﹣y的结果是（　　）

 A、（x﹣y）（x﹣y+1）  B、（x﹣y）（x﹣y﹣1）

 C、（x+y）（x﹣y+1）  D、（x+y）（x﹣y﹣1）

【解析】当被分解的式子是四，五项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中x2﹣2xy+y2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组，x﹣y为一组．

【答案】x2﹣2xy+y2+x﹣y=（x2﹣2xy+y2）+（x﹣y）=（x﹣y）2+（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y+1）．故选A．

【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用什么方法分组，本题中本题中x2﹣2xy+y2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组．x﹣y为一项．需要同学们熟知完全平方式公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2．

4. 把多项式ac﹣bc+a2﹣b2分解因式的结果是（　　）

 A、（a﹣b）（a+b+c）  B、（a﹣b）（a+b﹣c）

 C、（a+b）（a﹣b﹣c）  D、（a+b）（a﹣b+c）

【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中a2﹣b2正好符合平方差公式，应考虑为一组，ac﹣bc可提公因式，为一组．

【答案】ac﹣bc+a2﹣b2=c（a﹣b）+（a﹣b）（a+b）=（a﹣b）（a+b+c）．故选A．

【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题中a2﹣b2正好符合平方差公式，应考虑为一组，ac﹣bc可提公因式，为一组．

5. 若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（　　）

 A、正数  B、负数

 C、非负数  D、非正数

【解析】解此题时可把多项式m3﹣m2﹣m+1分解因式，根据分解的结果即可判断．

【答案】多项式m3﹣m2﹣m+1=（m3﹣m2）﹣（m﹣1）=m2（m﹣1）﹣（m﹣1）=（m﹣1）2（m+1），∵m＞﹣1，∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0，故选C．

【点评】本题考查了分组分解法分解因式，合理分组是分解因式的关键．