1初中数学.一元二次方程的概念及解法.第01讲

板块一  一元二次方程的概念

一元二次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式：

，为二次项系数，为一次项系数，为常数项．

一元二次方程的识别：

要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：

①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．

②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．

③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．

任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式．

要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．

☞一元二次方程的定义：

关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为；②最高次数为；③整式方程

【例1】判别下列方程哪些是一元二次方程

⑴；        ⑵；     ⑶；

⑷；   ⑸；     ⑹

【解析】参照一元二次方程识别方法进行即可

【答案】⑴⑸是一元二次方程；⑵只有当时，才是一元二次方程；⑶是一元一次方程，展开后不含⑷⑹不是整式方程

【例2】把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项

⑴

⑵

【解析】略

【答案】⑴化简后为，因此二次项系数为；一次项系数为；常数项为

⑵化简后为，二次项系数为；一次项系数为；常数项为

【巩固】方程，化为一元二次方程的一般形式是                ，其中二次项系数是      ，一次项系数是       ，常数项是        

【解析】略

【答案】、二次项系数是、一次项系数是，常数项是

【巩固】先把下列的一元二次方程化为一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项

⑴；⑵；⑶；⑷

【解析】略

【答案】⑴一般式：；二次项系数是、一次项系数是、常数项是

⑵一般式：；二次项系数是、一次项系数是、常数项是

⑶一般式：；二次项系数是、一次项系数是，常数项是

⑷一般式：；二次项系数是、一次项系数是、常数项是

【例3】关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ）

A.         B.         C.为任何实数        D.不存在

【解析】恒大于

【答案】C

【巩固】已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．

【解析】整理方程得：，当时，原方程是一元二次方程．

【答案】

【巩固】已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．

【解析】整理得：，当，即，则原方程是一元二次方程．

【答案】

【巩固】若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________．

【解析】由题意可知，，，故．

【答案】

【例4】若是关于的一元二次方程，则、的取值范围是（    ）

A.、    B.、     C.，     D.、

【解析】关于一元二次方程的定义考查点有两个：①二次项系数不为，②最高次项的次数为

【答案】B

【巩固】为何值时，关于的方程是一元二次方程．

【解析】由定义可知，，∴，且，∴．

【答案】

【例5】已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．

【解析】在分类讨论过程中，可能会有的学生存在一个误区，认为当、时，该方程也为一元二次方程是错误的，因为是分式，因此并不属于整式方程

【答案】当，方程化为；

当，方程化为；

当，方程化为；

当，方程化为，故不符题意．

综上可得，；；．

【巩固】若是关于的一元二次方程，求、的值．

【解析】略

【答案】分以下几种情况考虑：

⑴，，此时，；

⑵，，此时，；

⑶，，此时，

【巩固】已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．

【解析】略

【答案】本题有3种情况：；；；解得；；．

☞一元二次方程根的考察

关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。

（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）

【例6】已知是关于的方程的一个根，则的值是（    ）

A.               B.             C.              D.

【解析】方程根的定义的考察，将代入方程即可求出

【答案】C

【巩固】若是方程的一个根，那么代数式的值为       

【解析】∵是方程的一个根， ∴ 即，

∴代数式（像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练）

【答案】

【巩固】关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ）

A.                B.              C.或            D.

【解析】略

【答案】

【巩固】若两个方程和只有一个公共根，则（    ）

A.           B.         C.         D.

【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即可得、满足的关系式

【答案】设两方程的公共根为，则①，②，

①-②得，，∴，解得

将代入①得 ∴

选D

☞“降次”思想

【例7】已知是方程的一个根，则代数式的值为_________

【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点大，但是还是建议学生能够学习和掌握。我们都知道解一元二次方程最根本的思想就是“降次”，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就是“降次”，通过“降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个：①根的考查；②恒等变形

【答案】∵是方程的一个根

∴，即

∴

∴

【巩固】已知是方程的一个根，试求的值

【解析】本题方法很多，但基本思路一样

【答案】∵是方程的一个根

∴，则

∴原式

      =

板块二  一元二次方程的解法

☞直接开平方法

对于形如或（，）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解

如（）的解为，即，

如（）转化为，即转化为或进行求解

当时，方程和均无解

【例8】解下列方程

⑴     ⑵

【解析】直接开平方法（注意培养学生的解题格式）

【答案】⑴原方程化为

开平方得：，即或

∴或

⑵原方程化为

∴或

∴，

【巩固】解关于的方程：

【解析】略

【答案】，

【巩固】解关于的方程：

【解析】略

【答案】，

【巩固】解关于的方程：

【解析】略

【答案】，

【巩固】解方程：

【解析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．

【答案】，

☞配方法

通过配方的方法把一元二次方程转化为形如的形式，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程。

用配方法解一元二次方程的步骤如下：

⑴把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边

⑵根据等式的性质把二次项的系数化为“”

⑶把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式。

用配方法解一元二次方程比较麻烦，建议优先考虑其他的方法

【例9】用配方法解下列方程

⑴     ⑵

【解析】参照配方法的基本过程即可

【答案】⑴移项得：

系数化为1得：

∴ 即

∴或

∴，

⑵移项得：

系数化为1得：

∴，即

∴  ∴，

【巩固】你能用配方法解下列方程吗？试试看

⑴    ⑵    ⑶     ⑷

【解析】略

【答案】⑴，；        ⑵

⑶，；     ⑷，

【巩固】用配方法解下列方程

⑴   ⑵   ⑶    ⑷ 

⑸   ⑹      ⑺

【解析】略

【答案】⑴，；⑵，；

⑶，；⑷，；⑸，

⑹，；⑺，

☞公式法

一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来

【例10】用配方法解方程：（、、为常数且）

【解析】因为，方程两边同除以，得

移项，得，配方

因为，所以，当时，直接开平方得：

，

又因为式子前面已有符号“”，所以无论还是，最终结果总是

即；当时，原方程无解．

【答案】当时，；当时，原方程无解

【例11】用公式法解下列方程

⑴           ⑵

【解析】学生初学注意强调步骤

【解析】⑴∵，，

∴

根据求根公式得

∴，

⑵∵，，

∴

根据求根公式得

，∴，

【巩固】用公式法解下列方程

⑴    ⑵     ⑶              ⑷

⑸      ⑹  ⑺  ⑻

【解析】略

【答案】⑴，．    ⑵，

⑶                     ⑷，

⑸无实数根                        ⑹，  

⑺，      ⑻，

1. 关于的方程是一元二次方程，则

【解析】略

【答案】

2. 一元二次方程的二次项系数为      ,一次项系数为       ，常数项为      

【解析】略

【答案】二次项系数为，一次项系数为，常数项为

3. 已知关于的方程一根为，则的值为（    ）

A.              B.             C.或          D.以上均不对

【解析】略

【答案】A

4. 对于方程下列叙述正确的是（    ）

A.不论为何值，方程均有实数根                       B.方程根是

C.当时，方程可化为：或     D.当时，

【解析】略

【答案】

5. 选择恰当的方法解下列方程

⑴；⑵；⑶；⑷

⑸；⑹；⑺；⑻

【解析】略

【答案】⑴或；⑵或；⑶或；⑷或

⑸或；⑹或；⑺或；⑻或

1. 当          时，是关于的一元二次方程

【解析】略

【答案】

2. 若，则的值为          

【解析】略

【答案】

3. 如果，则的值是           

【解析】略

【答案】

4. 若是一个完全平方式，则的值是        

【解析】略

【答案】

5. 关于的一元二次方程有一根为，则的值应为         

【解析】略

【答案】

6. 阅读材料解答下列问题

为解方程，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为①，解得，

当时，，∴

当时，，∴

∴原方程的解为，，，

解答问题：

⑴填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用         方法达到降次的目的，体现了     的数学思想

⑵解方程：

【解析】略

【答案】⑴换元、转化。⑵，