2初中数学.一元二次方程的概念及解法.第02讲

板块一  一元二次方程的解法

☞因式分解法（也称降次法）

因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于，那么这两个因式至少有一个为，反过来，如果两个因式中有一个因式为，那么它们之积为，即，则或或

例如：，则或

☞因式分解法解一元二次方程的方法及步骤

解一元二次方程的思想方法：降次

因式分解法的一般步骤：

⑴将方程化为一元二次方程的一般形式

⑵把方程的左边分解为两个一次因式的积

⑶令每个因式为，得到两个一元一次方程

⑷解这两个一元一次方程得原方程的解

【例1】例如：对于方程，张明的解法如下：

解：方程整理得①

方程两边同时除以得；②

去括号得；③

移项并合并同类项得，，∴④

你认为张明解方程的过程有错误么？如果有，请指出错在哪一步？并说明错误的原因，并选择合适的方法解方程

【解析】略

【答案】有错误；第②步出错，当时，方程两边不能同时除以

解：方程整理得

提取公因式得，

整理得  ∴或

【例2】用因式分解法解下列方程

⑴；   ⑵；      ⑶；

【解析】略

【答案】⑴原方程变形为：，即

整理得

∴或，∴，

⑵原方程变形为

∴

整理得，∴或，∴或

⑶原方程可化为

∴或

∴，

【例3】解关于的方程：

【解析】换元法

【答案】设，则原方程可变形为

整理得

∴或

∴或

当时，，∴

当时，，∴

∴，

【巩固】采用因式分解法解下列方程

⑴                 ⑵

⑶              ⑷

【解析】略

【答案】⑴整理得

∴，∴或，∴或

⑵设，则原方程可变形为：

整理得

∴或

∴或

∴或

⑶移项得

∴

整理得

∴或

⑷移项得

提取公因式得

∴或

∴或

【巩固】采用恰当的方法解下列方程

⑴

⑵

⑶

【解析】略

【答案】⑴，；⑵，；⑶，

板块二  可转化为一元二次方程的分式方程

☞解分式方程

【例4】解方程

【解析】把分式方程化为一元二次方程，然后解答

【答案】等式两边同时乘以得：

        整理得：

解得：

经检验：是原方程的解

∴原方程的解为或

【巩固】解下列分式方程

⑴＋＝；⑵；⑶

【解析】注意检验根

【答案】⑴整理得：，解得，

经检验：，是原方程的解

∴原方程的解为，

⑵整理得：，解得，

经检验得：，是原方程的解

∴原方程的解为，

⑶整理得：，解得，

经检验得： 不是原方程的解，舍

∴原方程的解为

☞换元法

【例5】解分式方程：

【解析】换元法

【答案】设，则原方程可变形为

整理得：，解得或

经检验得或均为方程的解

当时，则，整理得：

解得，

经检验，，均为原方程的解

当时，则，整理得：

解得：，

经检验，，均为原方程的解

∴原方程的解为，，，

【巩固】

【解析】略

【答案】解：原方程可整理为

令，则原方程变形为

解得或

当时，则，整理得

解得，

经检验，是原方程的解

当时，则，整理得

解得，

经检验：，是原方程的解

∴原方程的解为，，，

☞分式方程的增根

【例6】如果关于的方程有一个增根是，则的值是多少？此时它的根是多少？

【解析】略

【答案】解：整理得：

∵原方程有一个增根是

∴是方程的解

因此将代入得

∴

∴方程为

解得，

经检验：不是原方程的解，舍

∴原方程的解为

板块三 简单的无理方程

1.无理方程的定义：根号内含有未知数的方程

2.有理方程和无理方程统称为代数方程，整式方程与分式方程又统称为有理方程，我们在初中阶段常见的整式方程有：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程。

3.无理方程的解法思路与步骤：

①去根号；②解有理方程；③检验根；④写出原方程的根

【例7】判断下列方程是否为无理方程

⑴；⑵；⑶；⑷．

【解析】略

【答案】无理方程有： ⑶、⑷

【例8】 解下列无理方程：会用平方法去根号解无理方程并会验根

⑴;     ⑵;     ⑶;

【解析】略

【答案】⑴整理得：

两边平方得：

整理得：，解得，

经检验不是原方程的解，舍

∴原方程的解为

⑵整理得

两边平方，整理得：

两边平方得，解得

经检验：是原方程的解

∴原方程的解为

⑶整理得：

两边平方得：

整理得：

解得：，

经检验不是原方程的解

∴原方程的解为

☞无理方程的增根

【例9】已知关于的方程有一个增根，⑴求的值．⑵求方程的根

【解析】类似问题需要注意的是，不能将代入方程，因为是它的增根，所以必须先将无理方程转化为整式方程，然后再将代入整式方程中

【答案】⑴整理得

两边平方得：

整理得：

两边平方得：①

将代入方程①，整理得

解得，

经检验：当时，是原方程的根，不符合题意，舍

∴

⑵将代入方程①，整理得：

解得，

经检验是原方程的根

∴原方程的根为

☞换元法解无理方程

【例10】解无理方程（换元法）

【解析】略

【答案】令，则，∴

则原方程变形为，整理得

解得，

∵  ∴

则，整理得，解得，

经检验，均为原方程的解

∴原方程的解为，

【巩固】解无理方程：

【解析】略

【答案】设，则，∴

∴原方程可变形为，整理得，

解得或

∵

∴，则，平方得，整理得

解得或

经检验或均是原方程的解

∴原方程的解为或

板块四 含字母参数方程的解法

解含字母参数方程的时候，最主要的是分类讨论的基本思想的应用。

【例11】解方程

【解析】因为题目并没有明确说明该方程一定是一元二次方程，所以需要讨论二次项系数是否为0

【答案】若，则；

若，则，故，

【例12】已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有几个？

【解析】对二次项系数进行分类讨论

【答案】当时，，解得，符合题意要求。

当时，则，整理得

解得，，因为原方程的两个根均为整数

∴也为整数，因此或

∴或或或

综上所述，整数的值有个，分别为，，，，

【例13】解关于的方程：

【解析】化为一般式：，然后讨论二次项系数是否为

【答案】原方程可整理为  ①

⑴当时，则或；

若，则方程①可整理为，解得

若，则方程①可整理为

⑵当时，且时

，解得或

【例14】已知关于的一元二次方程，请找出的一个合适的值，使这个方程的两个根都是整数，并求出这两个根。

【解析】略

【答案】原方程可变形为，整理得，

因此只需满足是整数即可，将代入即可求出方程的解，因此答案不唯一

略

方法二，也可以直接采用赋值法。

1．     用因式分解法解下列方程

⑴；⑵；⑶；⑷

【解析】注意题目要求

【答案】⑴,；⑵，；⑶，；⑷，

2．     解方程：

【解析】略

【答案】，，，

3．     解方程：

【解析】略

【答案】

4．     解方程

【解析】略

【答案】或

1．     用恰当的方法解下列方程

⑴；    ⑵；  ⑶；

⑷；          ⑸

【解析】略

【答案】⑴，；⑵，；⑶，；⑷；

⑸当时，方程的解为；当时，方程的解为，

2．     解方程，这是一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设，那么，于是原方程可化为 ①，解这个方程得，．

当时，，；当时，．

故原方程有四个根：，，，．

⑴ 填空：由原方程得到①的过程中，利用       法达到降次的目的，体现了      的数学思想；

⑵ 解方程．

【解析】⑴ 换元，转化；

⑵ 设，原方程可化为，∴，．

当时，，解得，；

当时，，方程无解．

故原方程的根为，．

【答案】⑴ 换元，转化  ⑵，

3．     解方程：

【解析】略

【答案】

4．     解方程：．

【解析】令，则原方程化为．解之得（舍去）或．于是得到原方程的解为或．

【答案】或