4初中数学.一元二次方程整数根问题及应用.第04讲

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      知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题 板块一：一元二次方程的整数根问题 ☞有理数根问题方程（，、、均为有理数）的根为有理数的条件是：为有理数 【例1】         已知关于的一元二次方程有有理根，求的值。【解析】略【答案】∵原方程的根为有理根所以为完全平方式，因此，整理得解得或 【巩固】设是不为零的整数，关于的二次方程有有理根，求的值．【解析】一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令，其中是非负整数，于是，所以，由于，并且是偶数，所以与同奇偶，所以，或．所以，或(舍去)．　所以，这时方程的两个根为，．点评：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．【答案】 ☞整数根问题 【例2】         已知方程的根都是整数，求正整数的值；【解析】略【答案】根据题意得，∵原方程的根均为整数，且为正整数∴或或 【巩固】已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数．【解析】由原方程由整数解可知，必然是一个完全平方数．又可知，，又为奇数，故．此时原方程的两个实数根为：，不妨设，则，故．满足为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．【答案】  【例3】         已知方程(是非负整数)至少有一个整数根，那么        ．【解析】∵，∴由公式法可得，．即．【答案】、、 【例4】         当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．【解析】由题意可知，方程的判别式        方程的判别式为        故，又为整数，，故或        当时，题干中的两个方程分别为、，满足题意；        当时，题干中的两个方程分别为、，不合题意．        故．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出，此时两个判别式都要是完全平方数．【答案】 【巩固】为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？【解析】两式相减，整理得，        当时，，代入第一个方程，得        解得，当时，两方程无整数根．        ∴，相同的整数根是2【答案】，相同的整数根是2  【例5】         若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值．【解析】原方程变形、因式分解为，．即，．由为正整数得；由为正整数得．所以使得，同时为正整数，但当时，，与题目不符，所以，只有 为所求．【答案】 【例6】         已知关于的方程的两根都是整数，求的值． 【解析】本题的难点在于并不是整数，如果在采用求根公式，然后讨论是否为完全平方数，难度不小，因此本题采用韦达定理来求解【答案】设方程的两个根为、根据题意得，将②代入①，整理得∴∵、均为整数  ∴的值为或当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，综上所述，或  【例7】         求方程的所有正整数解．【解析】原方程可化为关于的一元二次方程．由于为实数，则判别式不小于，即．化简得，解得．由于是正整数，则只能取．分别将代入原方程，得原方程的两组正整数解为，．【答案】，  板块二：一元二次方程的应用 ☞增长率问题 【例8】         某校去年对实验器材的投资为万元，预计今明两年的投资总额为万元，求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少？【解析】注意“累计”等名词【答案】设平均增长率为，根据题意得整理得，解这个方程得：，（舍）答：该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是 【巩固】某个体户以元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这元资金加上第一年的利润在第二年共获利润元，而且第二年的利润率比第一年多，则第一年的利润是多少元？【解析】略【答案】设第一年的利润为元，根据题意得解得，（舍）答：第一年的利润为元 【巩固】某公司成立年以来，积极向国家上交利税，由第一年的万元增加到万元，则平均每年增长的百分数是          【解析】略【答案】设平均每年增长的百分数是根据题意得：解得或（舍）∴平均每年的增长的百分数是  【巩固】某商场年的营业额比年上升，年比年又上升，而年和年连续两年比上一年降低，那么年的营业额比年的营业额（   ）A.降低了          B. 没有变化         C.上升了    D.降低了【解析】注意题目要求，还有注意是比较“年的营业额与年的营业额”【答案】设年的营业额为元，则年的营业额为元，年的营业额元，所以年的营业额为因此年的营业额比年的营业额降低了所以选择 【巩固】北京市政府为了迎接年奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，则这两年平均每年绿地面积的增长率是（    ）A.          B.           C.          D.【解析】略【答案】设绿地面积的增长率是，原有绿地面积为，根据题意得解得或（舍）则平均增长率为∴选 ☞商品利润问题 【例9】         某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出件，每件盈利元，为扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价元，商场平均每天多售出件，若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降低多少元？【解析】略【答案】解：设每件衬衫降价元，则每件所获得的利润为元，但每天可多售件，每天可卖件，根据题意得，方程化简整理得解得，∵要尽快减少库存，∴答：若商场每天要盈利元，每件应降价元 【巩固】吉安国光商场在销售中发现：某品牌衬衫平均每天可售出件，每件赢利元．为了迎接“十•一”黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存．经市场调查发现：如果每件衬衫降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天销售这种衬衫赢利元，那么每件衬衫应降价多少元？【解析】本题可设每件衬衫应降价元，则每件赢利元，平均每天可售出件，根据每件的盈利×销售的件数=衬衫的盈利，据此即可可列出方程，求出答案．【答案】设每件衬衫应降价元，根据题意得整理得解得，∵要尽快减少库存∴答：每件衬衫应降价元 【巩固】某商店以元购进某种盒装茶叶，第一个月按进价增加作为售价，售出盒；第二个月每盒以低于进价元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利元，求每盒茶叶的进价【解析】略【答案】设每盒进价元，依题意可列下列方程：整理得，解得、经检验、都是原方程的解，但进价不能为负数，所以只取答：每盒茶叶进价为元 【例10】     商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．⑴问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？⑵若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商品售价应为多少元？【解析】略【答案】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润（元）．⑵设后来该商品每件降价元，依题意，得整理得解得，当时，售价为元当时，售价为元答：商店经营该商品一天要获利润元时，每件商品应售价为元或元 【巩固】西瓜经营户以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元．该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低元．那么每千克的利润为：，由于这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克．所以降价元，则每天售出数量为：千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量固定成本=．【答案】设应将每千克小型西瓜的售价降低元．根据题意，得原式可化为：解这个方程，得，答：应将每千克小型西瓜的售价降低或元． 【巩固】宏达汽车出租公司共有出租车辆，每辆汽车的日租金为元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加元，每天出租的汽车相应地减少辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个元⑴能使公司的日租金总收入达到元？⑵使公司的日租金总收入最高？最高是多少？【解析】略【答案】⑴设公司将每辆车日租金提高个元，才能使公司的日租金总收入达到元，根据题意得，整理得解得，，检验知，均符合题意故公司将每辆汽车租金提高元或元，公司的日租金总收入达到元⑵设公司将每辆汽车日租金提高个元，则公司每天出租的汽车为辆，则每天的租金总收入为∴当时，公司的日租金收入最高，最高租金为元☞图形面积问题 【例11】     如图，一块长方形铁皮的长是宽的倍，四个角各截去一个正方形，制成高是，容积是的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．【解析】因为本题中容器的高是，长方形铁皮的长是宽的倍，所以可设这块铁皮的宽式，则长是，容器的底面面积是，利用其容积是，可列出方程，进而求出答案．【答案】设这块铁皮的宽是，根据题意得解得，（舍去）所以，答：这块铁皮的长是，宽是． 【巩固】在宽为，长为的矩形地面上，修同样宽的两条互相垂直的道路余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为，道路的宽应为多少？【解析】略【答案】设小路的宽为，根据题意得解得，不符合题意，舍去，答：道路的宽应为 【巩固】长、宽的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，若四周未铺地毯的留空空间宽度相同，则留空的宽度为          【解析】略【答案】设留空的宽度为，根据题意得整理得，解得，不符合题意，舍，∴答：留空的宽度为 【巩固】如图所示，在一个长为米，宽为米的矩形广场上，修建三条同样宽的道路，若使每块草坪的面积都是平方米，则道路宽为多少？【解析】注意：是“每块草坪的面积是平方米”【答案】设道路的宽为米，根据题意得米整理得，解得或不符合题意，舍∴答：道路宽为米 ☞传播问题 【例12】     ⑴有一人得了流感，他把流感传染给了个人，共有        人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了个人，经过两轮传染后，共有       人得流感．⑵有一人得了流感，他把流感传染给了个人，共有       人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了个人，经过两轮传染后，共有       人得流感．【解析】以此加就可以，一人传染给人就有人感冒了，然后人每人又传染了人感冒的人数就达到人；一人感冒传染给人，感冒人数就达到人，以此再推下下去就得到答案．【答案】⑴、⑵、 【巩固】一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染电脑会不会超过台？【解析】略【答案】设每轮感染中平均一台电脑感染台，根据题意得，解得或（舍）所以每轮感染中，平均一台电脑感染台经过三轮感染，一共有台电脑，超过了台电脑  【巩固】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？【解析】设每个支干长出个小分支，则主干有个，支干有个，小分支有个【答案】设每个支干长出个小分支根据题意得解得、（舍）答：每个支干长出个小分支 ☞动点问题 【例13】     如图，中，，，，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动（点到达点运动停止）．如果点，分别从点，同时出发秒（）⑴为何值时，？⑵为何值时，可使得的面积等于？【解析】略【答案】根据题意，知、⑴根据勾股定理，得，即整理得解得（舍）或⑵根据三角形的面积公式，得，则，解得或当或秒时，的面积等于 【巩固】如图所示，某海军基地位于处，在其正南方向海里处有一重要目标,在的正东方向海里处有一重要目标小岛。小岛位于的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从出发，经到匀速巡航，一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的倍，军舰在到的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里（结果保留根号） 【解析】略【答案】解：∵，海里，∴海里，过点作，垂足为，则，，即海里设相遇时补给船航行了海里，那么海里，海里，海里在中，根据勾股定理可得方程，整理得，解得，（不符合题意，舍去）所以相遇时补给船大约航行了海里 1．     设为整数，且，方程有两个整数根，求的值及方程的根．【解析】为完全平方数，又为的整数，则或．当时，，；当时，，．点评：测及一元二次方程的整数根问题，一般用公式法把根表示出来，再让其为整数即可；或先让为完全平方数，再检验．当然测及二次项系数的讨论更容易错．【答案】当时，，；当时，，． 2．     小明要在一幅长厘米、宽厘米的水彩画得外围镶上一条宽度相等的金色彩条，要求使水彩画的面积是整幅画面积的，设金色彩条的宽为厘米，根据题意列方程为（   ）A.       B.C.      D.【解析】略【答案】 3．     有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【解析】略【答案】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意得解得或（舍）答每轮传染中平均一个人传染了人 4．     编一道可化为一元二次方程的应用题，并解答，编题要求：⑴要联系实际生活，其解符合实际；⑵方程不含常数项，其有一解为⑶题目完整，题意清楚【解析】根据条件⑵，其中有一解为4，可不含常数项，则方程（）或，这样就可以编一道题【答案】（答案不唯一）、、三家商场，在节假期间采取不同的促销活动销售电视，结果同一天商场比商场多销售台，商场比商场少销售台，恰好、两商场销售彩电的数量积为，求商场销售数量   
 1．     为了绿化校园，某中学在年植树棵，计划到年底使这三年的植树总数达到棵，求该校植树平均每年增长的百分数。 【解析】注意是“三年的植树总数达到”【答案】设该校植树平均每年增长的百分数为根据题意得，整理得解得（舍）或答：该校植树平均每年的增长百分数为 2．     如图，有长为米的篱笆，一面用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间有一道篱笆的长方形花圃⑴如果花圃的面积为平方米，求花圃的宽的长⑵花圃的面积能围成平方米吗？如果能，请求出这时花圃的宽的长，若不能，请说明理由⑶花圃的面积能围成平方米吗？若能，请求出这时花圃的宽的长，若不能，请说明理由【解析】注意【答案】设花圃的宽米，则⑴当，解得，当时，，不符合题意舍∴的长为⑵假设能围成，则有，整理得解得，，当时，；当时，，符合题意故可以围成，这时宽米⑶假设能围成，则有，整理得，解得，当时，，不符合题意，故不能围成  3．     已知：关于的一元二次方程．⑴若原方程有实数根，求的取值范围；⑵设原方程的两个实数根分别为，，当取哪些整数时，，均为整数； 【解析】略【答案】⑴∵原方程有实数根 ∴，整理得，对任意的都成立但又因为，∴的取值范围是⑵由求根公式得，∵、均为整数  ∴的值为、